Geraden & Ebenen: Dreieck < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Lycka |
| Aufgabe | A (4/-2/0), B (-2/2/2) und C (4/0/7) sind die Eckpunkte eines Dreiecks.
a) Zeichne das Dreieck ABC in ein Koordinatensystem.
b) Berechne die Innenwinkel des Dreiecks.
c) Gib die Gleichungen der Geraden an, auf denen die Seitenhalbierenden sa, sb und sc des Dreiecks liegen. Zeige: Die drei Geraden schneiden sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt. Welche Koordinaten hat er? Berechne seine Koordinaten zur Kontrolle mit der "Schwerpunktformel".
d) Überprüfe an einer Seitenhalbierenden, dass S diese im Verhältnis 2:1 teilt. |
Hallo zusammen,
Teilaufgabe a) bereitet mir soweit natürlich keine Probleme. Schwieriger wird es schon mit Teilaufgabe b).
Bis jetzt habe ich hier Folgendes ausgerechnet:
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = (-6/4/2)
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = (0/2/7)
[mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = (6/-2/5)
(Entschuldigt bitte, ich weiß nicht, wie man die Zahlen hier übereinander schreibt).
Daraus ergibt sich:
[mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] 2\wurzel{14}
[/mm]
[mm] \overline{AC} [/mm] = [mm] \wurzel{53}
[/mm]
[mm] \overline{BC} [/mm] = [mm] \wurzel{65}
[/mm]
Stimmt das bis hierher? Ich glaube eher nicht, denn wenn ich damit nun cos [mm] \alpha [/mm] ausrechnen will, erhalte ich folgendes Ergebnis: [mm] \bruch{22}{2\wurzel{14} * \wurzel{65}} [/mm] bzw. [mm] \bruch{11}{\wurzel{910}}
[/mm]
Damit kann ich aber kaum die Innenwinkel berechnen?!
Zu den Teilaufgaben c) und d) fehlt mir bisher leider jeglicher Ansatz. Eventuell kann ich hier mit dem Thaleskreis arbeiten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Fr 11.02.2011 | | Autor: | abakus |
> A (4/-2/0), B (-2/2/2) und C (4/0/7) sind die Eckpunkte
> eines Dreiecks.
>
> a) Zeichne das Dreieck ABC in ein Koordinatensystem.
>
> b) Berechne die Innenwinkel des Dreiecks.
>
> c) Gib die Gleichungen der Geraden an, auf denen die
> Seitenhalbierenden sa, sb und sc des Dreiecks liegen.
> Zeige: Die drei Geraden schneiden sich in einem Punkt S,
> dem Schwerpunkt. Welche Koordinaten hat er? Berechne seine
> Koordinaten zur Kontrolle mit der "Schwerpunktformel".
>
> d) Überprüfe an einer Seitenhalbierenden, dass S diese im
> Verhältnis 2:1 teilt.
>
> Hallo zusammen,
>
> Teilaufgabe a) bereitet mir soweit natürlich keine
> Probleme. Schwieriger wird es schon mit Teilaufgabe b).
> Bis jetzt habe ich hier Folgendes ausgerechnet:
>
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = (-6/4/2)
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = (0/2/7)
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] = (6/-2/5)
>
> (Entschuldigt bitte, ich weiß nicht, wie man die Zahlen
> hier übereinander schreibt).
>
> Daraus ergibt sich:
>
> [mm]\overline{AB}[/mm] = [mm]2\wurzel{14}[/mm]
> [mm]\overline{AC}[/mm] = [mm]\wurzel{53}[/mm]
> [mm]\overline{BC}[/mm] = [mm]\wurzel{65}[/mm]
>
> Stimmt das bis hierher? Ich glaube eher nicht, denn wenn
> ich damit nun cos [mm]\alpha[/mm] ausrechnen will, erhalte ich
> folgendes Ergebnis: [mm]\bruch{22}{2\wurzel{14} * \wurzel{65}}[/mm]
> bzw. [mm]\bruch{11}{\wurzel{910}}[/mm]
>
> Damit kann ich aber kaum die Innenwinkel berechnen?!
Hallo,
du wirst doch wohl auf dem Taschenrechner eine Taste haben, die die Umkehrfunktion des Kosinus berechnet?
Achte vorher aber darauf, dass das Gradmaß (DEG) eingestellt ist.
Gruß Abakus
>
> Zu den Teilaufgaben c) und d) fehlt mir bisher leider
> jeglicher Ansatz. Eventuell kann ich hier mit dem
> Thaleskreis arbeiten?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Lycka |
Hallo Abakus,
leider hilft mir dein Tipp noch nicht sehr viel weiter, da ich nicht weiß, wie ich die Umkehrfunktion des Cosinus bzw. mit dem daraus resultierenden Ergebnis den Innenwinkel berechnen soll?
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Hallo Lycka,
> Hallo Abakus,
>
> leider hilft mir dein Tipp noch nicht sehr viel weiter, da
> ich nicht weiß, wie ich die Umkehrfunktion des Cosinus
> bzw. mit dem daraus resultierenden Ergebnis den Innenwinkel
> berechnen soll?
Auf Deinem TR befinden sich doch bestimmt Tasten
wie INV und COS oder [mm]COS^{-1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Sa 12.02.2011 | | Autor: | Lycka |
Hallo MathePower,
klar, die Taste [mm] \cos [/mm] bzw. [mm] \cos^{-1} [/mm] lässt sich natürlich finden, nur hab ich trotzdem noch Probleme damit...
Ich hab jetzt mal versucht, mit meinen bisherigen Ergebnissen den Winkel [mm] \alpha [/mm] damit auszurechnen und komme auf einen gerundeten Wert von 68,61. Ist das richtig?
Bei den Teilaufgaben c) und d) bin ich leider auch noch nicht weiter gekommen.
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Hallo Lycka,
> Hallo MathePower,
>
> klar, die Taste [mm]\cos[/mm] bzw. [mm]\cos^{-1}[/mm] lässt sich natürlich
> finden, nur hab ich trotzdem noch Probleme damit...
> Ich hab jetzt mal versucht, mit meinen bisherigen
> Ergebnissen den Winkel [mm]\alpha[/mm] damit auszurechnen und komme
> auf einen gerundeten Wert von 68,61. Ist das richtig?
Ich hab einen anderen Wert heraus: [mm]\alpha \approx 66,18^{\circ}[/mm]
>
> Bei den Teilaufgaben c) und d) bin ich leider auch noch
> nicht weiter gekommen.
Zu Aufgabe c):
Eine Seitenhalbierende geht durch den Mittelpunkt der Strecke AB
und und durch den Punkt C
Für die anderen Seitenhalbierenden analog.
Gruss
MathePower
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> Hallo MathePower,
>
> klar, die Taste [mm]\cos[/mm] bzw. [mm]\cos^{-1}[/mm] lässt sich natürlich
> finden, nur hab ich trotzdem noch Probleme damit...
> Ich hab jetzt mal versucht, mit meinen bisherigen
> Ergebnissen den Winkel [mm]\alpha[/mm] damit auszurechnen und komme
> auf einen gerundeten Wert von 68,61. Ist das richtig?
>
> Bei den Teilaufgaben c) und d) bin ich leider auch noch
> nicht weiter gekommen.
Hallo Lycka,
zuerst mal eine kleine Frage: ist dir das Skalarprodukt
bekannt ?
Dann sollte die Berechnung der Dreiecks-Innenwinkel
keine Probleme bereiten.
Auch der Cosinussatz ergibt einen möglichen Lösungsweg.
Bei der Berechnung von [mm] cos(\alpha) [/mm] ist dir wohl ein Fehler
passiert. Ich erhalte [mm] \alpha [/mm] = 66.18° (das Grad-Symbol muss
dabei angegeben werden). Das entspricht nicht deinem Wert.
Gib doch deine Rechnungen an, wenn du eine Kontrolle
wünschst !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 13.02.2011 | | Autor: | Lycka |
Hallo,
das Skalarprodukt ist mir zwar bekannt und ich habe auch versucht, damit auf ein Ergebnis zu kommen, jedoch ist mir schleierhaft, wie ich damit den Wert von 66,18° erhalte.
Ich habe zunächst die Werte für die Strecken [mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] 2\wurzel{14} [/mm] und [mm] \overline{AC} [/mm] = [mm] \wurzel{53} [/mm] sowie [mm] \overline{BC} [/mm] = [mm] \wurzel{65} [/mm] berechnet.
Dazu habe ich die Zahlen aus den Vektoren genommen. Als Beispiel:
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Der Betrag dessen ist die Strecke [mm] \overline{AB}, [/mm] die ich so berechnet habe: [mm] \wurzel{(-6){^²}+4{^²}+2{^²}}
[/mm]
(Die Zahlen jeweils im Quadrat, das wird leider nicht richtig dargestellt.)
Dadurch erhalte ich dann eben [mm] 2\wurzel{14}.
[/mm]
Für die Berechnung von [mm] \cos \alpha [/mm] schreibe ich dann in den Zähler das Skalarprodukt von [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] und in den Nenner [mm] \overline{AB} \cdot \overline{BC}. [/mm] Damit erhalte ich am Ende [mm] \bruch{11}{\wurzel{910}}, [/mm] was gerundet 68,61° entspräche.
Was genau ist denn daran nun falsch?
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Hallo Lycka,
> Hallo,
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> das Skalarprodukt ist mir zwar bekannt und ich habe auch
> versucht, damit auf ein Ergebnis zu kommen, jedoch ist mir
> schleierhaft, wie ich damit den Wert von 66,18° erhalte.
>
> Ich habe zunächst die Werte für die Strecken
> [mm]\overline{AB}[/mm] = [mm]2\wurzel{14}[/mm] und [mm]\overline{AC}[/mm] =
> [mm]\wurzel{53}[/mm] sowie [mm]\overline{BC}[/mm] = [mm]\wurzel{65}[/mm] berechnet.
> Dazu habe ich die Zahlen aus den Vektoren genommen. Als
> Beispiel:
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Der Betrag dessen ist die Strecke [mm]\overline{AB},[/mm] die ich so
> berechnet habe: [mm]\wurzel{(-6){^²}+4{^²}+2{^²}}[/mm]
> (Die Zahlen jeweils im Quadrat, das wird leider nicht
> richtig dargestellt.)
Benutze hier nicht die dritte Belegung der Taste "2".
Schreibe den Exponenten in geschweiften Klammern: \wurzel{(-6)^{2}+4^{2}+2^{2}}
> Dadurch erhalte ich dann eben [mm]2\wurzel{14}.[/mm]
>
> Für die Berechnung von [mm]\cos \alpha[/mm] schreibe ich dann in
> den Zähler das Skalarprodukt von [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] und in den Nenner [mm]\overline{AB} \cdot \overline{BC}.[/mm]
> Damit erhalte ich am Ende [mm]\bruch{11}{\wurzel{910}},[/mm] was
> gerundet 68,61° entspräche.
>
> Was genau ist denn daran nun falsch?
Hier hast Du statt [mm]\wurzel{53}[/mm] die Zahl [mm]\wurzel{65}[/mm]
eingesetzt, da [mm]14*53 \not= 910[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 So 13.02.2011 | | Autor: | Lycka |
Oh, der Fehler ist mir jetzt auch aufgefallen, vielen Dank!
Jetzt weiß ich also, dass [mm] \alpha [/mm] ungefähr 66,18° groß ist.
Wie aber kann ich nun die restlichen Winkel [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] berechnen?
(Die Innenwinkelsumme muss ja 180° betragen - hilft mir das in diesem Fall weiter?)
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Hallo Lycka,
> Oh, der Fehler ist mir jetzt auch aufgefallen, vielen
> Dank!
>
> Jetzt weiß ich also, dass [mm]\alpha[/mm] ungefähr 66,18° groß
> ist.
> Wie aber kann ich nun die restlichen Winkel [mm]\beta[/mm] und
> [mm]\gamma[/mm] berechnen?
Hier musst Du die Vektoren mit ihrer Orientierung berücksichtigen.
Berechnest Du als nächstes den Winkel [mm]\beta[/mm],
so musst Du mit [mm]\vec{BA}[/mm] rechnen, anstatt mit [mm]\vec{AB}[/mm]
Demnach mußt Du den Vektor immer vom Bezugspunkt
(hier: Punkt B) aus rechnen.
Dann kommen die richtigen Winkel heraus.
> (Die Innenwinkelsumme muss ja 180° betragen - hilft mir
> das in diesem Fall weiter?)
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 So 13.02.2011 | | Autor: | Lycka |
Dankeschön! Ich hab das jetzt ausprobiert und erhalte die Ergebnisse [mm] \beta \approx [/mm] 55,70° und [mm] \gamma \approx [/mm] 58,12°. Zusammen mit den 66,18° von [mm] \alpha [/mm] ergibt das dann 180° und müsste damit korrekt sein.
Stimmt das so?
Zu Aufgabe c):
Gesucht werden ja die Seitenhalbierenden. Nehme ich nun beispielsweise die Seitenhalbierende von c, also [mm] s_c. [/mm] Zuerst muss ich den Mittelpunkt von c bzw. von [mm] \overline{AB} [/mm] bestimmen: [mm] M_c [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + 0,5 [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + 0,5 [mm] \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Soweit richtig?
Anschließend stelle ich die Gleichung von [mm] s_c [/mm] auf:
[mm] s_c [/mm] : [mm] \vex{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{M_c} [/mm] + [mm] \lambda M_c \vec{c} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}
[/mm]
Gekürzt:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Korrekt?
Dann zum Schwerpunkt (= Schnittpunkt der Seitenhalbierenden):
Hier muss ich wohl die Gleichungen der Seitenhalbierenden gleichsetzen, sehe ich das richtig? Allerdings ist mir nicht ganz klar wie...
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Hallo Lycka,
> Dankeschön! Ich hab das jetzt ausprobiert und erhalte die
> Ergebnisse [mm]\beta \approx[/mm] 55,70° und [mm]\gamma \approx[/mm]
> 58,12°. Zusammen mit den 66,18° von [mm]\alpha[/mm] ergibt das
> dann 180° und müsste damit korrekt sein.
> Stimmt das so?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu Aufgabe c):
> Gesucht werden ja die Seitenhalbierenden. Nehme ich nun
> beispielsweise die Seitenhalbierende von c, also [mm]s_c.[/mm]
> Zuerst muss ich den Mittelpunkt von c bzw. von
> [mm]\overline{AB}[/mm] bestimmen: [mm]M_c[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + 0,5
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> + 0,5 [mm]\cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Soweit richtig?
Ja.
>
> Anschließend stelle ich die Gleichung von [mm]s_c[/mm] auf:
> [mm]s_c[/mm] : [mm]\vex{x}[/mm] = [mm]\overrightarrow{M_c}[/mm] + [mm]\lambda M_c \vec{c}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Gekürzt:
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Korrekt?
Ja.
> Dann zum Schwerpunkt (= Schnittpunkt der
> Seitenhalbierenden):
> Hier muss ich wohl die Gleichungen der Seitenhalbierenden
> gleichsetzen, sehe ich das richtig? Allerdings ist mir
Ja, das siehst Du richtig.
> nicht ganz klar wie...
Du kannst zwei Geraden schneiden
und dann prüfen, ob der Schnittpunkt
auf der dritten Geraden liegt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 13.02.2011 | | Autor: | Lycka |
Oh je, so langsam kapituliere ich. Ich komm einfach nicht mehr weiter.
Folgendes hab ich jetzt noch, glaube aber, es ist nicht ganz richtig:
Mittelpunkte der Strecken:
[mm] M_c [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] M_a [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4,5 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] M_b [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 10,5 \end{pmatrix}
[/mm]
Gleichungen der Seitenhalbierenden:
[mm] s_c: \vec{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{M_c} [/mm] + [mm] \lambda M_c\vec{c} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] s_a: \vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4,5 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \Gamma \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -4,5 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] s_b: \vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 10,5 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \varphi \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ -8,5 \end{pmatrix}
[/mm]
Schwerpunkt (=Schnittpunkt der Seitenhalbierenden):
Hier würde ich [mm] s_a [/mm] und [mm] s_c [/mm] gleichsetzen, komme aber zu keinem vernünftigen Ergebnis und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.
Für Teilaufgabe d) müsste ich meiner Meinung nach die Länge von [mm] M_c\vec{c} [/mm] und [mm] M_c\vec{s} [/mm] berechnen, doch auch hier bin ich leider rat- und hilflos.
Ich wäre wirklich wahnsinnig dankbar, wenn mir jemand die noch fehlenden Lösungswege verraten könnte, denn nach so vielen Stunden komme ich echt nicht mehr weiter.
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Hallo Lycka,
> Oh je, so langsam kapituliere ich. Ich komm einfach nicht
> mehr weiter.
> Folgendes hab ich jetzt noch, glaube aber, es ist nicht
> ganz richtig:
>
> Mittelpunkte der Strecken:
>
> [mm]M_c[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]M_a[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4,5 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]M_b[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 10,5 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Gleichungen der Seitenhalbierenden:
>
> [mm]s_c: \vec{x}[/mm] = [mm]\overrightarrow{M_c}[/mm] + [mm]\lambda M_c\vec{c}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]s_a: \vec{x}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4,5 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\Gamma \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -4,5 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]s_b: \vec{x}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 10,5 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\varphi \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ -8,5 \end{pmatrix}[/mm]
Diese Geradengleichung stimmt nicht.
>
> Schwerpunkt (=Schnittpunkt der Seitenhalbierenden):
> Hier würde ich [mm]s_a[/mm] und [mm]s_c[/mm] gleichsetzen, komme aber zu
> keinem vernünftigen Ergebnis und wäre sehr dankbar, wenn
> mir jemand helfen könnte.
Poste doch hier Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> Für Teilaufgabe d) müsste ich meiner Meinung nach die
> Länge von [mm]M_c\vec{c}[/mm] und [mm]M_c\vec{s}[/mm] berechnen, doch auch
Ja, das ist richtig-
> hier bin ich leider rat- und hilflos.
>
> Ich wäre wirklich wahnsinnig dankbar, wenn mir jemand die
> noch fehlenden Lösungswege verraten könnte, denn nach so
> vielen Stunden komme ich echt nicht mehr weiter.
Dann mach mal ne Pause. Das wirkt oft Wunder.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 So 13.02.2011 | | Autor: | Lycka |
Hallo MathePower,
stimmt nur die letzte Geradengleichung nicht oder gar keine von den dreien?
Ich bin jetzt alle nochmal durchgegangen, finde aber ehrlich gesagt den Fehler nicht.
Sind denn die Mittelpunkte der Strecken richtig oder stimmt hier auch schon was nicht? (Wenn ja, würdest du mir verraten was?)
Zum Gleichsetzen:
[mm] s_a [/mm] = [mm] s_c \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4,5 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \Gamma \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -4,5 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Wie es dann weiter geht, weiß ich leider wirklich nicht.
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Hallo Lycka,
> Hallo MathePower,
>
> stimmt nur die letzte Geradengleichung nicht oder gar keine
> von den dreien?
Es stimmt nur [mm]s_{b}[/mm] nicht.
Hier stimmt der Mittelpunkt nicht
und somit auch der Richtungsvektor nicht.
> Ich bin jetzt alle nochmal durchgegangen, finde aber
> ehrlich gesagt den Fehler nicht.
>
> Sind denn die Mittelpunkte der Strecken richtig oder stimmt
> hier auch schon was nicht? (Wenn ja, würdest du mir
> verraten was?)
>
> Zum Gleichsetzen:
> [mm]s_a[/mm] = [mm]s_c \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4,5 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\Gamma \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -4,5 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Wie es dann weiter geht, weiß ich leider wirklich nicht.
Jetzt hast Du 3 Gleichungen:
[mm]1+3*\Gamma=1+\lambda[/mm]
[mm]1-3*\Gamma=0[/mm]
[mm]4,5-4,5*\Gamma=1+2*\lambda[/mm]
Aus 2 der 3 Gleichungen bestimmst Du die Paramter [mm]\Gamma, \ \lambda[/mm]
Diese setzt Du in die verbliebene 3. Gleichung ein,
und überprüfst damit, ob diese Gleichung auch erfüllt wird.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 So 13.02.2011 | | Autor: | Lycka |
Hallo MathePower,
ich bin die Berechnung des Mittelpunkts jetzt nochmal durchgegangen, kann aber keinen Fehler finden?
Was die drei Gleichungen angeht:
1.) 1 + 3 [mm] \cdot \Gamma [/mm] = 1 + [mm] \lambda \Rightarrow \lambda [/mm] = 3 [mm] \Gamma
[/mm]
2.) 1 - 3 [mm] \cdot \Gamma [/mm] = 0 | -1+3
[mm] \Rightarrow \Gamma [/mm] = -1+3 [mm] \Rightarrow \Gamma [/mm] = 2 [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = 6
3.) 4,5 - 4,5 [mm] \cdot [/mm] 2 = 1 + 2 [mm] \cdot [/mm] 6
4,5 - 9 = 1 + 12
-4,5 [mm] \not= [/mm] 13
Stimmt das so? Und was sagt mir das jetzt?
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Hallo Lycka,
> Hallo MathePower,
>
> ich bin die Berechnung des Mittelpunkts jetzt nochmal
> durchgegangen, kann aber keinen Fehler finden?
Die weitere Rechnung wird das zeigen,
ob [mm]s_{b}[/mm] stimmt oder nicht.
>
> Was die drei Gleichungen angeht:
>
> 1.) 1 + 3 [mm]\cdot \Gamma[/mm] = 1 + [mm]\lambda \Rightarrow \lambda[/mm] =
> 3 [mm]\Gamma[/mm]
> 2.) 1 - 3 [mm]\cdot \Gamma[/mm] = 0 | -1+3
> [mm]\Rightarrow \Gamma[/mm] = -1+3 [mm]\Rightarrow \Gamma[/mm] = 2
Hier muß doch [mm]\Gamma=\bruch{1}{3}[/mm] herauskommen.
> [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] = 6
> 3.) 4,5 - 4,5 [mm]\cdot[/mm] 2 = 1 + 2 [mm]\cdot[/mm] 6
> 4,5 - 9 = 1 + 12
> -4,5 [mm]\not=[/mm] 13
>
> Stimmt das so? Und was sagt mir das jetzt?
Daß Du irgendwo einen Fehler gemacht hast.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 13.02.2011 | | Autor: | Lycka |
Hallo MathePower,
für die weitere Rechnung brauche ich [mm] s_b [/mm] aber nicht unbedingt, oder?
Was den Fehler betrifft, stimmt die Gleichung meiner Meinung nach nun folgendermaßen:
1 - 3 [mm] \cdot \Gamma [/mm] = 0 | -1
-3 [mm] \cdot \Gamma [/mm] = -1 [mm] \Rightarrow [/mm] - [mm] \Gamma [/mm] = - [mm] \bruch{1}{3} \Rightarrow \Gamma [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Damit wäre dann [mm] \lambda [/mm] = 1.
Das hieße:
4,5 - 4,5 [mm] \cdot \bruch{1}{3} [/mm] = 1 + 2 [mm] \cdot [/mm] 1
4,5 - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = 3
3 = 3
Jetzt richtig?
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Hallo Lycka,
> Hallo MathePower,
>
> für die weitere Rechnung brauche ich [mm]s_b[/mm] aber nicht
> unbedingt, oder?
Du musst doch noch überprufen,
ob der Schnittpunkt von [mm]s_{a}[/mm] und [mm]s_{c}[/mm] auf [mm]s_{b}[/mm] liegt.
>
> Was den Fehler betrifft, stimmt die Gleichung meiner
> Meinung nach nun folgendermaßen:
>
> 1 - 3 [mm]\cdot \Gamma[/mm] = 0 | -1
> -3 [mm]\cdot \Gamma[/mm] = -1 [mm]\Rightarrow[/mm] - [mm]\Gamma[/mm] = - [mm]\bruch{1}{3} \Rightarrow \Gamma[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Damit wäre dann [mm]\lambda[/mm] = 1.
>
> Das hieße:
>
> 4,5 - 4,5 [mm]\cdot \bruch{1}{3}[/mm] = 1 + 2 [mm]\cdot[/mm] 1
> 4,5 - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] = 3
> 3 = 3
>
> Jetzt richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Do 17.02.2011 | | Autor: | Lycka |
So, die Meldung kommt zwar spät, aber sie kommt ;)
Ich hab meinen Fehler zwar leider erst in der Schule erkannt, das war aber nicht allzu schlimm. Letztlich hätte ich für [mm] s_b [/mm] nur einen anderen Vektor nehmen müssen, das ist mir jetzt klar.
Jedenfalls war ich seit Langem nicht mehr so gut in Mathe (12 Punkte auf das Vorrechnen der Aufgabe bekommen) und möchte mich deshalb nochmal herzlich bei allen bedanken, die mir hier geholfen haben, vor allem natürlich bei dir, MathePower :)
Liebe Grüße,
Lycka
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