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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Geraden, Schnittpunkte im R^3
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Geraden, Schnittpunkte im R^3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Mi 06.03.2013
Autor: Labrinth

Aufgabe
Im [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] seien vier Punkte gegeben:
[mm] $A:=(x_1,y_1,z_1)$ [/mm]
[mm] $B:=(x_1,y_1,z_2)$ [/mm]
[mm] $C:=(x_3,y_3,z_2)$ [/mm]
[mm] $D:=(x_3,y_3,z_3)$ [/mm]


Guten Tag!

Ich habe leider kaum Vorwissen in LA.

Ich benötige den Schnittpunkt [mm] $AD\cap{}BC$ [/mm] (falls man das so notiert). Wie ich eventuell Geradengleichungen aufstelle, weiß ich im Dreidimensionalen nicht.

Für jede Hilfe bin ich dankbar und auch bereit mitzudenken.

Beste Grüße,
Labrinth

        
Bezug
Geraden, Schnittpunkte im R^3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Mi 06.03.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Im [mm]\mathbb{R}^3[/mm] seien vier Punkte gegeben:
>  [mm]A:=(x_1,y_1,z_1)[/mm]
>  [mm]B:=(x_1,y_1,z_2)[/mm]
>  [mm]C:=(x_3,y_3,z_2)[/mm]
>  [mm]D:=(x_3,y_3,z_3)[/mm]


> Ich benötige den Schnittpunkt [mm]AD\cap{}BC[/mm] (falls man das so
> notiert). Wie ich eventuell Geradengleichungen aufstelle,
> weiß ich im Dreidimensionalen nicht.


Dann stelle doch erstmal beide Geradengleichungen auf.

Bsp: Gerade AD

Du brauchst einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Den Stützvektor [mm] $v_1$ [/mm] erhältst du einfach als einen der beiden vorgegebenen Punkte (z.B. A), der Richtungsvektor [mm] $w_1$ [/mm] ist die Differenz der beiden Punkte (D-A).

Die Geradengleichung lautet dann z.B.

[mm] $g(\lambda) [/mm] = [mm] v_1 [/mm] + [mm] \lambda*w_1$ [/mm]   mit   [mm] $\lambda \in \IR$. [/mm]

Wenn du das auch noch mit der anderen Geraden machst, erhältst du eine zweite Geradengleichung

[mm] $h(\mu) [/mm] = [mm] v_2 [/mm] + [mm] \mu*w_2$ [/mm]    mit    [mm] $\mu \in \IR$. [/mm]

Dann kannst du diese beiden Geraden gleichsetzen und musst das Gleichungssystem für [mm] $\mu, \lambda$ [/mm] lösen:

[mm] $g(\lambda) [/mm] = [mm] h(\mu)$. [/mm]

Wenn du die Lösungen für [mm] $\lambda$ [/mm] bzw. [mm] $\mu$ [/mm] in die Geradengleichungen einsetzt, erhältst du die Schnittpunkte.

Ich rate dir, das mal an einem konkreten Beispiel durchzurechnen, und dann anhand dieses konkreten Beispiels Fragen zu stellen :-)


> Für jede Hilfe bin ich dankbar und auch bereit
> mitzudenken.

Bestens :-)

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
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