Geraden im Körper \IF_{3}^{2} < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:14 So 05.11.2006 | | Autor: | Hollo |
| Aufgabe | a) Gebe alle Geraden in [mm] \IF_{3}^{2} [/mm] an.
b) Sei p [mm] \in \IN [/mm] prim und n eine natürliche Zahl mit n>0.
Wieviele Elemente enthält [mm] \IF_{p}^{n}? [/mm] Zeig, dass [mm] \IF_{p}^{n} [/mm] genau [mm] \bruch{p^{n}-1}{p-1} [/mm] Ursprungsgeraden (eindimensionale Untervektorräume) enthält. |
Hallo zusammen!
Bei der Aufgabe a) kann ich mir nicht vorstellen wie das mit Geraden gemeint sein soll. [mm] \IF_{3}^{2} [/mm] ist doch gleich {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}. Eine Gerade erhält man durch zwei verschiedene Punkte. Das was zwischen den Punkten liegt ist doch dann nicht in [mm] \IF_{3}^{2}!? [/mm] Ich glaub ich hab eine falsche Vorstellung. Mir ist anschaulich völlig klar, dass eine Gerade ein Unterraum von [mm] \IR^{2} [/mm] ist. Ich weiß nicht wie ich das auf diesen Restklassenkörper übertragen soll.
Zur b) fällt mir dementsprechend auch nicht viel ein, da ich a) ja nicht wirklich nachvollziehen kann. Aber intuitiv weiß ich, dass [mm] \IF_{p}^{n} p^{n} [/mm] Elemente besitzt..
Wäre für Tipps/Lösungen/Ansätze dankbar!
Gruß Hollo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Hollo,
> a) Gebe alle Geraden in [mm]\IF_{3}^{2}[/mm] an.
> b) Sei p [mm]\in \IN[/mm] prim und n eine natürliche Zahl mit n>0.
> Wieviele Elemente enthält [mm]\IF_{p}^{n}?[/mm] Zeig, dass
> [mm]\IF_{p}^{n}[/mm] genau [mm]\bruch{p^{n}-1}{p-1}[/mm] Ursprungsgeraden
> (eindimensionale Untervektorräume) enthält.
> Hallo zusammen!
>
> Bei der Aufgabe a) kann ich mir nicht vorstellen wie das
> mit Geraden gemeint sein soll. [mm]\IF_{3}^{2}[/mm] ist doch gleich
> {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}.
> Eine Gerade erhält man durch zwei verschiedene Punkte. Das
> was zwischen den Punkten liegt ist doch dann nicht in
> [mm]\IF_{3}^{2}!?[/mm] Ich glaub ich hab eine falsche Vorstellung.
Und warum soll man nur Geometrie in [mm] $\IR$ [/mm] betreiben  ? Minkowski hat z.B. eine "Geometrie der Zahlen" entwickelt; genaueres weiß ich da jetzt gerade auch nicht.
> Mir ist anschaulich völlig klar, dass eine Gerade ein
> Unterraum von [mm]\IR^{2}[/mm] ist. Ich weiß nicht wie ich das auf
> diesen Restklassenkörper übertragen soll.
Dann nimm dochmal den Körper [mm] $\IQ$. [/mm] Jetzt betrachte z.B. die Teilmenge [mm]\{(x,y) \in \IQ \mid 2x=y\}[/mm] von [mm] $\IQ^2$. [/mm] Die ist doch auch ein Unterraum von [mm] $\IQ^2$ [/mm] oder ?
>
> Zur b) fällt mir dementsprechend auch nicht viel ein, da
> ich a) ja nicht wirklich nachvollziehen kann. Aber intuitiv
> weiß ich, dass [mm]\IF_{p}^{n} p^{n}[/mm] Elemente besitzt..
So isses: Wenn $K$ ein Körper mit $p$ Elementen ist, und Du hast ein $n$-Tupel aus [mm] $K^n$, [/mm] dann hast Du ja auf jeder Position $p$ Auswahlmöglichkeiten. Schätze der Weg führt über die Ordnung der Faktorgruppe nach der multiplikativen Gruppe des Körpers.
Vielleicht fällt mir ja noch mehr ein...
Mfg
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Hallo!
Erst mal vielen Dank Zahlenspieler! Ehm ich bin jetzt aber nicht wirklich weitergekommen.. Hat jemand noch eine Idee?
Gruß Hollo
|
|
|
| |
|
Hallo Hollo,
tja, ich hab hier im matheraum eine ganz ähnlich gestellte Aufgabe gefunden; find sie leider nich mehr :-(.
Klar ist eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig festgelegt; aber es gibt auch eine Darstellung, wo nur ein Punkt und ein "Richtungsvektor" benutz wird. Dann sieht das etwa so aus: [mm]\{\vec{a} +\lambda\vec{b} \forall\; \lambda \in K\}[/mm], wobei $K$ ein Körper.
Jetzt ist ja in der Aufgabe nach Ursprungsgeraden gefragt, d.h. die "0" von [mm] $\IF[3]^2$ [/mm] soll auf solch einer Geraden liegen.
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 20:11 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Wäre Vollständige Induktion eine Möglichkeit Teil b) zu zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 08.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
