Geraden im Raum < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
A ( 1 | 1 | 1 )
B ( 7 | 4 | 7 )
C ( 5 | 6 | -1 ) |
Ich komme nicht weiter!
Logisch ist:
[mm] \bruch{g \* h}{2}
[/mm]
Und die Grundseite wäre in diesem Falle für mich |AB|. Also rechne ich den Betrag von |AB| aus. Da kommt dann der Vektor ( 6 | 3 | 6 ) raus, damit der Betrag 9.
Die Grundseite haben wir demnach schonmal. Nur wie komme ich jetzt auf die Höhe? Meine Idee dazu: Die Höhe ist gleich der Abstand von C auf g. Und g ist nichts anderes als die Strecke A --> B.
Aber ich weiß leider Gottes nicht mehr, wie ich aus den beiden Vektoren eine Geradengleichung erstellen kann.
Dass ich des Weiteren eine Ebene aus g erstellen muss, ist mir auch klar.... aber soweit bin ich bisher noch nicht gekommen.
Kann mir wer helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Mo 29.10.2007 | | Autor: | CatDog |
Hi,
eine Gerade durch 2 Punkte A und B erstellt man einfach durch [mm] \vec{A} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \overrightarrow{AB},
[/mm]
eine Ebene brauchst du nicht für den Abstand Punkt-Gerade gibts ne Formel in jeder brauchbaren Formelsammlung
Gruss CatDog
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, das Problem liegt darin, einen Fußpunkt von C auf g zu finden.
In der Fläche ist das ja einfach, da du einfach nur einen Normalenvektor zu AB finden müsstest. Dann könntest du eine Gerade durch C mit dem gefundenen Normalenvektor von AB als Richtungsvektor aufstellen und sie mit g(AB) schneiden lassen.
Im Raum ist das Problem, dass nicht jede Gerade von C aus (die auch orthogonal zu g ist) die Gerade g auch schneidet.
Deswegen musst du nun eine Hilfsebene, wie du auch schon angedeutet hast, bilden, die orthogonal zu g ist und durch C geht.
Tipp: Stelle sie in Normalenform auf. Normalenvektor und einen Aufpunkt hast du ja!
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> Deswegen musst du nun eine Hilfsebene, wie du auch schon
> angedeutet hast, bilden, die orthogonal zu g ist und durch
> C geht.
>
> Tipp: Stelle sie in Normalenform auf. Normalenvektor und
> einen Aufpunkt hast du ja!
Danke zunächst für die Antworten!
Das mit der Hilfsebene leuchtet mir ja ein.... aber dennoch weiß ich nicht, wie ich daran kommen sollte.
Wo habe ich denn den Normalenvektor gegeben?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mo 29.10.2007 | | Autor: | CatDog |
Hallo nochmal,
wie gesagt, die Ebene ist nicht zwingend nötig. Den Lotfusspunkt auf der Geraden erhält man durch (in diesem Fall)
[mm] \vec{t} [/mm] = [mm] (\vec{C} [/mm] - [mm] \vec{A}) [/mm] * [mm] (\vec{B} [/mm] - [mm] \vec{A})/\parallel (\vec{B} [/mm] - [mm] \vec{A})\parallel^2
[/mm]
und der Abstand ergibt sich dann zu
d = [mm] \parallel(\vec{A} [/mm] - [mm] \vec{C}) [/mm] + [mm] \vec{t} [/mm] * [mm] (\vec{B} [/mm] - [mm] \vec{A})\parallel
[/mm]
Gruss CatDog
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mo 29.10.2007 | | Autor: | crashby |
Hey mal dir mal ein Dreick auf ABC.
A= (Grundseite * Höhe )/2
also wenn du die Grundseite hast, dann du auch deine Gerade. h bekommst du dann raus indem du den Abstand von der Geraden g zum gegenüberliegenden Punkt berechnest.
Und die Formel für Punkt-Gerade findest du eben in einer Formelsammlung oder in deinem Buch.
Man kann natürlich auch den mit dem Lotfußpunkt gehen, ist aber ein wenig aufwendiger.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Der Normalenvektor der Hilfsebene ist g(AB)! Da dieser Vektor senkrecht auf der Ebene steht.
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Okay....
da wir die anderen Berechnungen noch nie behandelt haben, verscuhe ich es weiterhin mit meiner Hilfsebene.
Dafür habe ich nun die Gerade g (=Grundseite) aufgestellt. In dem Falle wäre es dann:
g: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + t * [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 6}
[/mm]
also ist der Normalenvektor [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 6}
[/mm]
und daraus folgert die Ebene:
E: [mm] 6x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3}=b
[/mm]
in diese Gleichung setze ich nun den Punkt A ein, um b ausrechnen zu können.
b= 15
jetzt möchte ich g in E einsetzen, um t rauszukriegen.
Leider steht hinterher bei mir 81 t = 0
was habe ich falsch gemach oder wie komme ich nun weiter?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Du darfst nicht A als Aufpunkt nehmen! C soll der Aufpunkt sein, da die Ebene ja durch C gehen soll.
Und den [mm] \vec{AB} [/mm] hattest du ja eh schon berechnet, bei der Bestimmung der Länge der Grundseite.
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Endlich geschafft! Danke für die Hilfe...
Dass ich A als Aufpunkt genommen habe, war ein typischer Flüchtigkeitsfehler:
nun ist t = 1/3
dementsprechend ist (3|2|3) der Fußpunkt, der Betrag davon ist 6 und der Flächeninhalt 27!
Nochmals vielen Dank! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Stimmt genau! Und kein Problem :)
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