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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Mi 02.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo zusammen,
es ist mal wieder soweit, dass ich kurz vor Abgabe noch nicht alle Übungsaufgaben lösen konnte. Ist das eigentlich normal, dass ich bisher immer ca. die Hälfte der Aufgaben weitesgehend lösen konnte und für die andere Hälfte höchstens Ansätze finde, aber einen Schubser in die richtige Richtung brauche?
Aber mal zu der Aufgabe:
Für v [mm] \in \IR^{2} [/mm] mit v [mm] \not= [/mm] 0 betrachten wir die Gerade
Lv := [mm] \{ x \in \IR^{2} | \exists \lambda \in \IR : x = \lambda v \}
[/mm]
Es sei v, w [mm] \in \IR^{2} \backslash \{0 \}, [/mm] etwa v=(v1,v2) und
w=(w1,w2) mit v1,v2,w1,w2 [mm] \in \IR. [/mm] Dann beweise man:
Wenn Lv [mm] \cap [/mm] Lw = [mm] \{ 0 \} [/mm] gilt, so läßt sich jedes [mm] x\in \IR^{2} [/mm] auf eindeutige Weise als Linearkombination von v und w, das heißt in der Form
x = [mm] \lambda [/mm] v + [mm] \mu [/mm] w mit [mm] \lambda [/mm] , [mm] \mu \in \IR
[/mm]
darstellen.
Mein Ansatz:
Wir wissen, dass entweder Lv = Lw oder Lv [mm] \cap [/mm] Lw = [mm] \{ 0 \}
[/mm]
Dann hab ich mir überlegt mit welchem Verfahren der Beweis machbar wäre. Ich denke "Beweis durch Kontraporition" wäre eine Idee.
Dazu würde man Lv [mm] \cap [/mm] Lw = [mm] \{ o \} [/mm] als wahr vorraussetzen (das wäre Aussage A) und x = [mm] \lambda [/mm] v + [mm] \mu [/mm] w wäre zu beweisen (Aussage S).
Beweist man nun, dass aus [mm] \neg [/mm] S (also x [mm] \not \lambda [/mm] v + [mm] \mu [/mm] w) [mm] \neg [/mm] A (also Lv = Lw) folgt, hat man ebenso bewiesen: aus A folgt S !!!
Ich hoffe der Ansatz ist richtig, aber selbst wenn hab ich keine Ahnung, wie ich diesen Beweis anstellen soll! Also wer hilft mir?
Gruß, Patrick
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Patrick,
Auch auf die Gefahr das es zu spät ist.
2 linear unabhängige Vektoren(v,w) bilden eine Basis des [mm] R^2. [/mm] Sprich jedes x lässt sich als Linearkombination von v,w darstellen, Also ist zu zeigen das aus deiner Voraussetzung folgt das v,w linear unabhängig sind.
Noch zu deinem Ansatz die Negation dieser Aussagen wären jeweils
Es existiert ein x das sich nicht als Linearkombination von v,w darstellen lässt
und
Es existiert ein x ungleich Null in Lw [mm] \bigcap [/mm] Lv bzw. Lw [mm] \bigcap [/mm] Lv [mm] \neq [/mm] {0}
viele Grüße
mathemaduenn
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