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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Di 09.03.2010 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | Gegeben seien die Punkte
A = (1, 0, 1) , B = (2, 1, 1) , C = (1, 1, 2) , D = (2, 2, 2) , Q = (5, 1, 4) .
Es sei E die Ebene durch die Punkte A, B, C und P das Parallelogramm mit den
Ecken A, B, C, D.
i) Zeigen Sie, dass P tatsächlich ein Parallelogramm ist.
ii) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes Q von der Ebene E und den Lotfußpunkt
F von Q auf E.
iii) Prüfen Sie, ob der Lotfußpunkt F in dem Parallelogramm P liegt.
iv) Bestimmen Sie einen weiteren Punkt R, der den gleichen Abstand von E wie Q
hat.
v) Ist E ein Unterraum von R3 ? |
Hallo,
ich habe diese Altklausur-Aufgabe durchgerechnet und es gibt bei einigen Punkten Unstimmigkeiten.
Außerdem keine Idee für iv)
i)
ABCD ein Parallelogramm wenn gilt:
- gegenüberliegende Seiten sind gleich lang
- gegenüberliegende Winkeln auch gleich
also:
AB= (2, 1, 1) - (1, 0, 1)= (1, 1, 0) --> [mm] {\wurzel2}
[/mm]
DC= (1, 1, 2) - (2, 2, 2)= (-1,-1, 0)--> [mm] {\wurzel2}
[/mm]
BC=(1, 1, 2) - (2, 1, 1) = (-1, 0, 1)--> [mm] {\wurzel2}
[/mm]
AD=(2, 2, 2) - (1, 0, 1) = (1, 2, 1) --> [mm] {\wurzel6}
[/mm]
Da [mm] BC\not=AD [/mm] kann ABCD kein Parallelogramm sein.
ii)
Normalenform der Ebene lautet:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1\\1}*\vec{x}=2
[/mm]
Abstand: d(Q;E)= [mm] \bruch{6}{\wurzel3}
[/mm]
Lotpunkt: [mm] \vektor{3 \\ 3\\2}
[/mm]
iii) Ich würde jetzt einfach den Lotpunkt in die Ebenengleichung einsetzen
und es stimmt 2=2
aber in i ) habe ich nachgewiesen, dass ABCD kein Parallelogramm ist.
iv) ???
v) E ist kein Unterraum, da nicht durch den Nullpunkt geht.
Grüße
splin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Di 09.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
skizzier mal die 4 Punkte. das Parallelogramm ist nur nicht nacheinander mit ABCD durchlaufen, sondern ABDC dann ist es auch eins! sogar eine Raute.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 09.03.2010 | | Autor: | splin |
Ja, es klappt tatsächlich.
Eine Raute, die Länge beträgt überall [mm] \wurzel2
[/mm]
Wie sieht es mit der Richtigkeit anderer Aufgaben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Di 09.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
für iV kannst du Q an der Ebene spiegeln, d.h. vom Lotfusspunkt gleich weit in die andere Richtung gehen, oder mit irgendeinem Vektor der Ebene von Q parallel zur Ebene gehen,
die anderen Teile hab ich nur überflogen, sie scheinen richtig.
Gruss leduart
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