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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Do 12.03.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der beiden Geraden
[mm] g_1: \vec{r}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+s*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
und
[mm] g_2: \vec{r}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0}+t*\vektor{3 \\ -3 \\1}
[/mm]
b) Liegt der Schnittpunkt innerhalb der Einheitskugel? Bestimmen Sie die Länge des Teils von [mm] g_1, [/mm] der innerhalb der Einheitskugel liegt. |
Also... a) ist soweit ziemlich einfach.
Ich habe 3 Gleichungen:
1-s=2+3*t [mm] \gdw [/mm] s=-1-3*t
0+s=-1-3*t ist das selbe wie oben...
-1+s=t ... also setze ich t in die 2 te Gleichung ein:
s=-1+3-3s [mm] \gdw s=\bruch{1}{2}
[/mm]
Schnittpunkt: [mm] \vec{0S}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\bruch{1}{2}*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2}}
[/mm]
Der Schnittwinkel:
[mm] \sphericalangle(g_1, g_2)=\arccos\left(\bruch{\left|\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}*\vektor{3 \\ -3 \\ 1}\right|}{\left|\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}\right|*\left|\vektor{3 \\ -3 \\ 1}\right|}\right)=\arccos\left(\bruch{-3-3+1}{\sqrt{3}*\sqrt{19}}\right)=\arccos\left(\bruch{5}{\sqrt{57}}\right)=48,53°
[/mm]
Zu b)
Um zu wissen ob der Schnittpunkt im Einheitskreis liegt, muss ich wissen wie lang der Ortsvektor des Schnittpunktes ist.
... [mm] |\vec{0S}|=\sqrt{\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}}=0,87
[/mm]
Also liegt der Schnittpunkt im Einheitskreis...
Allerdings fehlt mir die Idee zum zweiten Teil der Aufgabe b):
"Bestimmen Sie die Länge des Teils von [mm] g_1, [/mm] der innerhalb der Einheitskugel liegt."
Dafür muss ich wissen an welchen Stellen die Gerade die Einheitskugel durchstößt, bzw an welchen Stellen die Gerade 1 Längeneinheit vom Koordinatenursprung entfernt ist. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Danke und Gruß,
tedd 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Do 12.03.2009 | | Autor: | weduwe |
schneide [mm] g_1 [/mm] mit der einheitskugel [mm]x^2=1[/mm]
die quadratische gleichung ergibt 2 werte für s, damit hast du beide schnittpunkte und kannst deren abstand bestimmen.
[mm]s_1=1\to S_1(0/1/0)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:48 Fr 13.03.2009 | | Autor: | tedd |
Sorry irgendiwe werde ich nicht ganz schlau daraus...
so etwa?
[mm] \left| s\cdot{}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} \right| [/mm] =1
[mm] \sqrt{s^2*{1+1+1}}=1
[/mm]
[mm] 3*s^2=1
[/mm]
[mm] s=\pm{\bruch{1}{3}} [/mm] ?
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> Sorry irgendiwe werde ich nicht ganz schlau daraus...
Hallo,
ich formuliere das mal etwas anders:
wenn Du wissen möchtest, an welchen Stellen die Gerade g die Einheitskugel durchstößt, mußt Du ermittlen, welche Geradenpunkte vom Ursprung den Abstand 1 haben.
Du mußt also die t bestimmen, für welche
[mm] \left| \vektor{1 \\ 0 \\ -1}+s\cdot{}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} \right| [/mm] =1 ist.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Fr 13.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> Sorry irgendiwe werde ich nicht ganz schlau daraus...
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> so etwa?
>
> [mm]\left| s\cdot{}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} \right|[/mm] =1
>
> [mm]\sqrt{s^2*{1+1+1}}=1[/mm]
>
> [mm]3*s^2=1[/mm]
>
> [mm]s=\pm{\bruch{1}{3}}[/mm] ?
nicht ganz [mm] g_1 [/mm] in K: [mm] x^2 [/mm] = 1 eingesetzt ergibt:
[mm] ((\vektor{1\\0\\-1}+s\vektor{-1\\1\\1})^2=1
[/mm]
und damit
[mm] (1-s)^2+s^2+(-1+s)^2=1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Sa 14.03.2009 | | Autor: | tedd |
> nicht ganz [mm]g_1[/mm] in K: [mm]x^2[/mm] = 1 eingesetzt ergibt:
>
> [mm]((\vektor{1\\0\\-1}+s\vektor{-1\\1\\1})^2=1[/mm]
>
> und damit
>
> [mm](1-s)^2+s^2+(-1+s)^2=1[/mm]
Ahhh!
Alles klar!
Also:
[mm] 1-2*s+s^2+s^2+s^2-2*s+1=1
[/mm]
[mm] \gdw 3*s^2-4*s+1=0
[/mm]
[mm] \gdw s^2-\bruch{4}{3}*s+\bruch{1}{3}=0
[/mm]
[mm] \gdw s=\bruch{2}{3}\pm\sqrt{\bruch{4}{9}-\bruch{3}{9}}=\bruch{2}{3}\pm\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \gdw s_1=1 \vee s_2=\bruch{1}{3}
[/mm]
Also sind die 2 Punkte, an denen die Gerade die Einheitskugel durchstösst folgende:
[mm] ES_1=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+1*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} =\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und
[mm] ES_2=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\bruch{1}{3}*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ -\bruch{2}{3}}
[/mm]
Um jetzt die Länge auszurechnen:
[mm] |\vektor{\bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ -\bruch{2}{3}}-\vektor{0 \\ 1 \\ 0}|=\left|\vektor{\bruch{2}{3} \\ -\bruch{2}{3} \\ -\bruch{2}{3}}\right|=\sqrt{\bruch{4}{9}+\bruch{4}{9}+\bruch{4}{9}}=\bruch{\sqrt{12}}{3}
[/mm]
Hoffe so stimmt es jetzt
Danke und Gruß,
tedd
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> Hoffe so stimmt es jetzt
Hallo,
ich habe keinen Fehler entdeckt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Sa 14.03.2009 | | Autor: | tedd |
ALles klar!
Vielen dank für's drüber schauen angela
Gruß,
tedd
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