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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass im 3-dim affinen Raum gilt: [mm] |P|=|g|^{3} [/mm] für [mm]g\in G[/mm]. |
Hallo,
hat zu der Aufgabe vielleicht jemand ne Idee? Muss ich hier irgendwie die Dimensionsformel benutzen? Ansonsten hätte ich dazu keine Idee!
Bitte um Hilfe!
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Fr 05.05.2006 | | Autor: | statler |
> Zeigen Sie, dass im 3-dim affinen Raum gilt: [mm]|P|=|g|^{3}[/mm]
> für [mm]g\in G[/mm].
> Hallo,
>
> hat zu der Aufgabe vielleicht jemand ne Idee?
Hallo Daniel!
Eine Gerade g wird hier als Menge von Punkten gesehen, und wenn du die Darstellung mit Stütz- und Richtungsvektor kennst, dann siehst du, das die Ordnung der Menge g gleich der Ordnung der Parametermenge ist, und das ist gerade [mm] \IR.
[/mm]
Und die Punkte werden durch ihre Koordinaten beschrieben; jede Koordinate kann beliebig in [mm] \IR [/mm] liegen. Also steht auf beiden Seiten der Gleichung [mm] |\IR|^{3}.
[/mm]
Ich bin beim ersten Lesen dem Irrtum erlegen, daß g die Menge der Geraden sei, aber das ist ja Quatsch.
Jetzt noch alles schön hinschreiben, mit bijektiven Abb. und so...
Gruß aus dem sonnigen HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
danke zunächst für die Antwort. Das bringt mich ja schon ein Stück weiter. Was genau meinst du denn mit bijektiven Abbildungen? f von der Menge der Punkte in die Menge der Geraden oder wie?
Danke, Daniel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Fr 05.05.2006 | | Autor: | statler |
Hi Daniel,
nach meinem altertümlichen Wissen sind zwei Mengen genau dann gleich groß, wenn es eine bijektive Abb. zwischen ihnen gibt. Oder macht man das heute anders? Oder bist du so fortgeschritten, daß du einfach trivial schreiben darfst?
Mahlzeit
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Dieter!
> nach meinem altertümlichen Wissen sind zwei Mengen genau
> dann gleich groß, wenn es eine bijektive Abb. zwischen
> ihnen gibt. Oder macht man das heute anders?
Nein, das macht man heute immer noch genauso 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass im 3-dim affinen Raum gilt: [mm]|P|=|g|^{3}[/mm]
> für [mm]g\in G[/mm].
Also $P$ ist die Punktemenge, also $P = [mm] \IR^3$, [/mm] oder?
Also rein Mengentheoretisch ist ja $|g| = [mm] |g|^2 [/mm] = [mm] |g|^3 [/mm] = [mm] |g|^4 [/mm] = [mm] \dots$, [/mm] und das ist gleich $|P| = [mm] |P|^2 [/mm] = ...$. Also gehe ich mal davon aus das es nicht rein mengentheoretisch gemeint ist...
Vielleicht ist die Aufgabe ja, dass man eine bijektive Abbildung $P [mm] \to [/mm] g [mm] \times [/mm] g [mm] \times [/mm] g$ angeben soll, die durch rein geometrische Methoden konstruiert wird?
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:03 Fr 05.05.2006 | | Autor: | mathmetzsch |
Hallo Felix, hallo Dieter,
also eine Abbildung finden. Sagen wir also [mm]f:P\to g\times g\times g[/mm].
Belibt zu zeigen, dass sie bijektiv ist? Sollte kein Problem sein. Muss ich die Abbildung nun noch konkret angeben oder genügt das so?
VG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> also eine Abbildung finden. Sagen wir also [mm]f:P\to g\times g\times g[/mm].
> Belibt zu zeigen, dass sie bijektiv ist? Sollte kein
> Problem sein. Muss ich die Abbildung nun noch konkret
> angeben oder genügt das so?
Sorry, das hab ich jetzt nicht verstanden Wenn du zeigen willst, dass sie bijektiv ist, musst du sie doch erstmal konkret angeben. Oder etwa nicht?
Beides (Abbildung angeben und Bijektivitaet zeigen) kannst du ganz geometrisch machen: Du faengst mit der Geraden $g$ an. Sei $O [mm] \in [/mm] g$ beliebig und [mm] $x_1 \in [/mm] g [mm] \setminus \{ O \}$ [/mm] beliebig. Waehle ein [mm] $x_2 \in [/mm] P [mm] \setminus [/mm] g$. Sei [mm] $E_{12}$ [/mm] die Ebene durch $O$, [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$.
[/mm]
Nun ist der Raum dreidimensional, also gibt es ein [mm] $x_3 \in [/mm] P [mm] \setminus E_{12}$. [/mm] Sei [mm] $E_{13}$ [/mm] die Ebene durch $O$, [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_3$, [/mm] und [mm] $E_{23}$ [/mm] die Ebene durch $O$, [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$.
[/mm]
Ist jetzt $P$ ein beliebiger Punkt, so betrachte die Ebene [mm] $E_{ij}^P$, [/mm] welche parallel zu [mm] $E_{ij}$ [/mm] liegt und welche $P$ enthaelt. Dann ist [mm] $E_{ij}^P \cap \{ x_k \} [/mm] = [mm] \{ y_k \}$ [/mm] mit $k [mm] \neq [/mm] i, j$, und so erhaelst du einen Punkt [mm] $(y_1, y_2, y_3) \in g^3$. [/mm] Damit haettest du die Abbildung definiert.
(Evtl. muss man das teilweise noch etwas ausfuehrlicher machen.)
Zeigen dass sie injektiv und surjektiv ist sollte auch nicht so schwer sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> Beides (Abbildung angeben und Bijektivitaet zeigen) kannst
> du ganz geometrisch machen: Du faengst mit der Geraden [mm]g[/mm]
> an. Sei [mm]O \in g[/mm] beliebig und [mm]x_1 \in g \setminus \{ O \}[/mm]
> beliebig. Waehle ein [mm]x_2 \in P \setminus g[/mm]. Sei [mm]E_{12}[/mm] die
> Ebene durch [mm]O[/mm], [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm].
>
> Nun ist der Raum dreidimensional, also gibt es ein [mm]x_3 \in P \setminus E_{12}[/mm].
> Sei [mm]E_{13}[/mm] die Ebene durch [mm]O[/mm], [mm]x_1[/mm] und [mm]x_3[/mm], und [mm]E_{23}[/mm] die
> Ebene durch [mm]O[/mm], [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm].
Die Konstruktion ist ab diesem Punkt noch nicht ganz vollstaendig gewesen. Ich verbesser das jetzt mal.
Sei [mm] $g_1 [/mm] := g$, sei [mm] $g_2$ [/mm] die Gerade durch $O$ und [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $g_3$ [/mm] die Gerade durch $O$ und [mm] $x_3$.
[/mm]
Ich nehme mal an, du hast schon, dass es zu je zwei Geraden eine bijektive Abbildungen zwischen den Punkten derer gibt (anders ausgedrueckt: Je zwei Geraden haben die gleiche Anzahl von Punkten). Deswegen gibt es Bijektionen [mm] $g_2 \to [/mm] g$ und [mm] $g_3 \to [/mm] g$. Anstatt also eine Bijektion $P [mm] \to [/mm] g [mm] \times [/mm] g [mm] \times [/mm] g$ anzugeben, geben wir einfach eine $P [mm] \to g_1 \times g_2 \times g_3$ [/mm] an.
> Ist jetzt [mm]P[/mm] ein beliebiger Punkt, so betrachte die Ebene
> [mm]E_{ij}^P[/mm], welche parallel zu [mm]E_{ij}[/mm] liegt und welche [mm]P[/mm]
> enthaelt.
Dann ist [mm]E_{ij}^P \cap g_k = \{ y_k \}[/mm] mit [mm]k \neq i, j[/mm], und so erhaelst du einen Punkt [mm](y_1, y_2, y_3) \in g_1 \times g_2 \times g_3[/mm].
Zur Surjektivitaet:
Ist [mm] $(y_1, y_2, y_3) \in g_1 \times g_2 \times g_3$, [/mm] so betrachte die Ebenen [mm] $E_{ij}^k$, [/mm] welche parallel zu [mm] $E_{ij}$ [/mm] sind und welche durch [mm] $y_k$ [/mm] gehen (mit $k [mm] \neq [/mm] i, j$). Die Ebenen schneiden sich in genau einem Punkt; sei dieser mit $P$ bezeichnet. Man sieht sofort, dass $P$ durch die obige Konstruktion genau auf [mm] $(y_1, y_2, y_3)$ [/mm] abgebildet wird.
Zur Injektivitaet:
Seien $P, P'$ zwei Punkte, die beide auf [mm] $(y_1, y_2, y_3) \in g_1 \times g_2 \times g_3$ [/mm] abgebildet werden. Wenn du nun die Ebenen [mm] $E_{ij}^P$ [/mm] und [mm] $E_{ij}^{P'}$ [/mm] wie eben konstruierst, dann gilt also [mm] $E_{ij}^P \cap g_k [/mm] = [mm] \{ y_k \} [/mm] = [mm] E_{ij}^{P'} \cap g_k$, [/mm] womit [mm] $E_{ij}^P [/mm] = [mm] E_{ij}^{P'}$ [/mm] sein muss (da die Ebenen parallel sind). Wenn du nun die drei Ebenen [mm] $E_{12}^P$, $E_{13}^P$, $E_{23}^P$ [/mm] schneidest, ist die Schnittmenge genau [mm] $\{ P \}$. [/mm] Aus dem gleichen Grund ist sie aber auch gerade [mm] $\{ P' \}$ [/mm] (da [mm] $E_{ij}^P [/mm] = [mm] E_{ij}^{P'}$ [/mm] ist), womit schliesslich $P = P'$ ist.
Hier fehlen mal wieder viele Kleinigkeiten, etwa gute Begruendungen warum sich die Objekte die ich angegeben hab in genau einem Punkt schneiden etc.
LG Felix
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Hi Felix,
da bleibt mir nur super vielen Dank zu sagen!
VG Daniel
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