"Geradengleichung" < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Salva |
Hallo ihr Lieben!
Ich habe bald eine mündliche Prpfung in Mathe und bräuchte dringend eure Hilfe!
Mein Thema lautet Geradengleichung und ich soll eine Parametergleichung einer Geraden im Raum erläutern. Ich habe bereits angefangen, weiß jedoch nicht ob ich auf dem richtigen Weg bin. Kann ich zum Berechnen die Normalform f(x)=mx+b benutzen und dann normal auflösen?
Welche Rolle spielen die Vektoren?
Vielen Dank schon im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Mein Thema lautet Geradengleichung und ich soll eine
> Parametergleichung einer Geraden im Raum erläutern.
Ok, also die Parametergleichung im Raum!
> Ich
> habe bereits angefangen, weiß jedoch nicht ob ich auf dem
> richtigen Weg bin. Kann ich zum Berechnen die Normalform
> f(x)=mx+b benutzen und dann normal auflösen?
f(x)=mx+b ist erst einmal eine Gerade im [mm] \IR^2 [/mm] also noch keineswegs eine Gerade im Raum.
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{x_1 \\ y_1\\z_1}+t\vektor{x_r \\ y_r\\z_r}
[/mm]
Dies ist die Gerade im Raum. Dabei ist [mm] \vektor{x_1 \\ y_1\\z_1} [/mm] ein "Punkt" auf der Geraden. Genauer: Es ist ein Orstvektor.
Der Vektor [mm] \vektor{x_r \\ y_r\\z_r} [/mm] ist der Richtungsvektor und zeigt also in die Richtung der Geraden.
f(x)=mx+b kann man auch so interpretieren:
[mm] \vektor{x\\y}=\vektor{b_1\\b_2}+t\vektor{x_r\\x_y}
[/mm]
> Welche Rolle spielen die Vektoren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Salva |
Das bedeutet, wenn die Aufgabe lautet, dass ich die Parametergleichung von der Geraden g bestimmen soll, die durch die Punkte P(4/0/2) und Q(0/2/4) geht, dann muss ich den Richtungsvektor bestimmen um den Funktionsterm zu erhalten?
Welche Bedeutung hat das "t" , welches mal die Klammer (xr yr zr) gerechnet wird?
Vielen Dank im vorraus!
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Genau!
Der Ortsvektor ist ja klar. Das ist einfach ein Punkt von den beiden.
Und der Richtungsvektor ist ja auch klar. Einfach jeweils eine Komponente von der anderen abziehen. Ich denke mal, den Richtungsvektor zu bestimmen ist auch kein Problem.
t ist ein beliebiger Paramter. Du hast ja eine endlose Gerade (also in beide Richtungen). Mit der Geradengleichung möchte man ja alle Punkte ermitteln können, die auf der Geraden sind. Daher ist t im Intervall [mm] (-\infty,\infty) [/mm] definiert.
Häufig gibt es in Prüfungen aber die Frage: Liegt der Punkt S=(1,4,1) auf der Geraden?
Dann muss man ein Gleichungssystem aufstellen und schauen, ob jeweils das gleiche t herauskommt. Wenn ja, dann liegt der Punkt auf der Geraden. Ich nehme aber stark an, dass ihr das auch dran hattet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Salva |
Hallo, ich bins nochmal!
Ich wollte mich mal vergewissern ob meine Rechnung so stimmt:
Also für den Richtungsvektor gilt: r = q-p
--> r1 =q1 -p1
r2 =q2 -p2
r3 = q3- p3
Wenn ich den Richtungsvektor dann habe, was bedeutet das dann für die Funktionsgleichung der lineraen Funktion?
Angenommen ich habe für r= -2/2/2 (ich weiß, die schreibweise ist nicht korrekt), was kann ich dann über die Gerade aussagen?
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Soweit ich deine Rechnung nachvollziehen kann ist es richtig.
Der Richtungsvektor sagt einem eigentlich ziemlich wenig. Aber mit der Geraden kann man shcon einiges anstellen. Zum Beispiel kann man fragen, durch welche Oktanten die Gerade verläuft.
Bsp.:
P=(1,4,2), Q=(2,3,4)
Dann ist die Geradengleichung
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{1 \\ 4\\2}+t\vektor{1 \\ -1\\2}
[/mm]
Frage: Liegt der Punkt R=(1,1,1) auf der Geraden?
Dann wäre:
[mm] \vektor{1 \\ 1\\1}=\vektor{1 \\ 4\\2}+t\vektor{1 \\ -1\\2}
[/mm]
=>
1=1+t -> t=0
1=4-t -> t=3
1=2+2t -> t=-1/2
Unteschiedliche t, also ist R nicht auf der Geraden.
Frage: Durch welche Oktanten verläüft die Gerade?
Nur der Lösungsbeginn: Entweder man versucht es einfach mal bildlich sich vorzustellen oder man sucht einfach die Schnittpunkte mit der xy-Ebene, xz-Ebene und yz-Ebene.
Übrigens: Der Richtungsvektor gibt ja nur die Richtung an! Also kann der Richtungsvektor auch ein beliebig Vielfaches sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Salva |
Das habe ich soweit verstanden, außer, dass ich von meinem Lehrer die Aufgabe habe zu zeigen, dass der Punkt P (8/-2/0) auf der Gerade g liegt.
Die Punkte K(4/0/2) und Q (0/2/4) habe ich gegeben, daraus ergibt sich:
(8/-2/0) = (4/0/2) + t (-4/2/2)
8=4 - 4t --> t= -3
-2 =2t --> t=-1
0 = 2 + 2t --> t=1
Stimmt das so? Aber das kann ja nicht sein, wenn ich zeigen soll, dass der Punkt au der Geraden liegt, dann muss ich was falsch gemacht haben...
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> die Aufgabe habe zu zeigen, dass der Punkt P
> (8/-2/0) auf der Gerade g liegt.
>
> Die Punkte K(4/0/2) und Q (0/2/4) habe ich gegeben, daraus
> ergibt sich:
>
> (8/-2/0) = (4/0/2) + t (-4/2/2)
>
> 8=4 - 4t --> t= -3
> -2 =2t --> t=-1
> 0 = 2 + 2t --> t=1
>
> Stimmt das so? Aber das kann ja nicht sein, wenn ich zeigen
> soll, dass der Punkt au der Geraden liegt, dann muss ich
> was falsch gemacht haben...
Diese Erkenntnis ist auf jeden Fall wertvoll.
Dein Gleichungssystem
> 8=4 - 4t
> -2 =2t
> 0 = 2 + 2t
ist goldrichtig, bloß wie Du dann zu den dubiosen t kommst, ist mir rätselhaft...
Schauen wir die erste Gleichung an:
> 8=4 - [mm] 4t\qquad [/mm] |-4
4=-4t [mm] \qquad [/mm] |:(-4)
-1=t
Löst Du die anderen beiden entsprechend, bekommst Du immer t=-1, und wenn Du inder Geradengleichung für t die -1 einsetzt, bekommst Du ja wie gewünscht den Ortsvektor von P.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Salva |
Oh, ich habe gerade meinen Fehler entdeckt!
Vielen vielen Dank für die Hilfe! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Salva |
Hallo nochmal,
ich hatte mich gefragt, was mit "Anwendungsbeispielen" gemeint ist...soll ich hier einfach eine Beispielaufgabe berechnen? Zudem soll ich die Paramtergleichung einer Geraden im Raum darstellen, auch zeichnerisch...reicht es, wenn ich einfach eine Gerade in 3d-Koordinatensystem einzeichne?
Danke im vorraus!
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Anwendungsbeispiele findet man schon ein bisschen was. Vor allem, wenn man noch die Ebenen mit einbezieht. Da kann man nach Längne und Durchstoßpunkten,... fragen.
Das Einzeichen ist eigentlich auch kein Prooblem. Du zeichnest einfach das kartesisch Koordinatensystem und gehst von deinem Stützvektor in die Längeneinheiten des Richtungsvektors.
Auf 2D etwas dreidimensionales zu zeichnen ist eben schwer und benötigt auch Vorstellungskraft.
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