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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Fr 07.01.2011 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Gegeben sind im dreidimensionalen Raum zwei windschiefe Geraden g und h sowie ein Punkt A, der nicht auf g oder h liegt.
Gesucht ist die Gleichung einer Gerade j, die den Punkt A enthält und die die Geraden g und h schneidet. |
Hallo zusammen,
bei der obigen Aufgabe habe ich die Gleichungen von g und h gegeben und auch die Koordinaten von A liegen vor.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man den Richtungsvektor der Gerade j mit den gegebenen Größen bekommen kann ?
Der Ortsvektor der Gerade j ist ja schon durch [mm] \overrightarrow{OA} [/mm] gegeben.
Benötigt man hier vielleicht eine Hilfsebene ?
Vielen Dank für eure Hinweise.
Viele Grüße
Rubi
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Hallo rubi,
> Gegeben sind im dreidimensionalen Raum zwei windschiefe
> Geraden g und h sowie ein Punkt A, der nicht auf g oder h
> liegt.
>
> Gesucht ist die Gleichung einer Gerade j, die den Punkt A
> enthält und die die Geraden g und h schneidet.
Vorab: es wäre vielleicht leichter gewesen, wenn die Aufgabe hier die Formulierung "...die Gleichung der Geraden j, die..." enthielte. Es gibt nämlich nur eine.
> Hallo zusammen,
>
> bei der obigen Aufgabe habe ich die Gleichungen von g und h
> gegeben und auch die Koordinaten von A liegen vor.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man den
> Richtungsvektor der Gerade j mit den gegebenen Größen
> bekommen kann ?
>
> Der Ortsvektor der Gerade j ist ja schon durch
> [mm]\overrightarrow{OA}[/mm] gegeben.
> Benötigt man hier vielleicht eine Hilfsebene ?
Gute Idee. Du brauchst sogar zwei.
1) Da A nicht auf g liegt, muss die gesuchte Gerade j in der Ebene [mm] E_g [/mm] liegen, die durch A und g eindeutig bestimmt ist.
2) Entsprechend wird die Ebene [mm] E_h [/mm] durch A und h eindeutig bestimmt.
3) Da g und h windschief sind, kann es keine Ebene geben, in der beide liegen.
4) Auch können [mm] E_g [/mm] und [mm] E_h [/mm] nicht zueinander parallel liegen, da sie dann nicht beide den Punkt A enthalten könntne.
5) Also ist die gesuchte Gerade j die Schnittgerade der Ebenen [mm] E_g [/mm] und [mm] E_h.
[/mm]
Herzliche Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Sa 08.01.2011 | | Autor: | weduwe |
alternativ kommst du mit einer hilfsebene aus
mit g: [mm] \vec{x}=\vec{p}+\lambda\vec{r} [/mm]
erhält man den normalenvektor der ebene [mm] \vec{n}=\vec{r}\times(\vec{a}-\vec{p})
[/mm]
diese schneidet man nun mit [mm] h:\vec{x}=\vec{q}+\mu\vec{s} [/mm] und erhält die gesuchte gerade
[mm] \vec{x}=\vec{a}+\lambda\cdot(\vec{q}-\vec{a}+\frac{(\vec{a}-\vec{q})\cdot\vec{n}}{\vec{s}\cdot\vec{n}}\cdot\vec{s})
[/mm]
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