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| Aufgabe | | zeige, das alle Geraden der Schar [mm] h_{t} [/mm] in einer Ebene verlaufen. Stelle eine Koordinatengleichung dieser Ebene auf. |
[mm] h_{t} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\3}+u \vektor{2 \\ t \\ 0}
[/mm]
Ich hab es wie folgt gelöst und würde gerne wissen ob es richtig ist:
da ich für die Koordinatengleichung den normalen Vektor brauche,mach ich:
n [mm] \perp \vektor{2 \\ t \\ 0}
[/mm]
dann n ausrechnen:
[mm] 2n_{1}+tn_{2}+0n_{3}=0
[/mm]
für [mm] n_{1} [/mm] wähle ich = 1
daraus folgt für [mm] n_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{t}
[/mm]
da es egal ist was [mm] n_{3} [/mm] ist weil er den Vorfaktor 0 hat wähle ich für [mm] n_{3}=0
[/mm]
somit hab ich n = [mm] \vektor{1 \\ -\bruch{2}{t} \\ 0}
[/mm]
somit habe ich die Koordinatenform:
[mm] x_{1}-\bruch{2}{t}x_{2}=d
[/mm]
um d herauszubekommen setze ich einfach einen Punkt der Geraden ein. In dem Falle nehme ich den Stützvektor und bekomme so für d = 3 raus
Koordinatenform:
[mm] x_{1}-\bruch{2}{t}x_{2}=3
[/mm]
Es wäre nett wenn ihr mir sagen könntet ob dies richtig ist und falls nciht wo mein Fehler liegt
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Hallo!
Also, was mir daran nicht gefällt ist die Tatsache, daß in deiner Ebene immernoch das t auftaucht. Das hieße ja, daß die Ebene vom t abhängt, und damit, daß nicht alle Graden in dieser Ebene liegen..
Erstmal der Nachweis, daß die Graden in einer Ebene liegen:
[mm] $h_{t}= \vektor{3 \\ 0 \\3}+u \vektor{2 \\ t \\ 0}$
[/mm]
Den letzten Vektor spalten wir etwas auf:
[mm] $h_{t}= \vektor{3 \\ 0 \\3}+u \vektor{2 \\ 0 \\ 0}+ut \vektor{0 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
Meinetwegen kannst du jetzt ut=v setzen, aber das ist auf jeden Fall eine Ebenengleichung.
Und das beste daran: Die aufspannenden Vektoren sind parallel zur x- und y-Achse. Damit kannst du deinen Normalenvektor auch einfach hinschreiben: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\1}
[/mm]
ZUsammen mit dem Aufpunktvektor kannst du die Normalengleichung hinschreiben:
[mm] $\left(\vec x -\vektor{3 \\ 0 \\3} \right)*\vektor{0 \\ 0 \\1}=0$
[/mm]
und durch Auflösen der Klammer bekommst du deine Koordinatendarstellung:
[mm] $\vec x*\vektor{0 \\ 0 \\1} -\vektor{3 \\ 0 \\3} *\vektor{0 \\ 0 \\1}=0$
[/mm]
[mm] $x_3-3=0$
[/mm]
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Also das mit dem Vektor aufspalten hatte ich noch nie. Und einen Aufpunktvektor kenne ich auch nicht. Gibt es vielleicht noch einen anderen Weg dies zu lösen?
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Hallo!
Naja, einen Aufpunktvektor kennst du auch, vielleicht nennst du das Stützvektor oder wie auch immer. Das ist eben der Vektor, der auf einen Punkt deiner Graden oder ebene zeigt.
Und zu der anderen Sache:
Du könntest auch einfach für t zwei unterschiedliche werte, beispielsweise 0 und 1 einsetzen. Das gibt dir zwei unterschiedliche Graden, die ja eine Ebene bilden sollen.
Die beiden Richtungsvektoren dieser beiden Graden spannen dann deine Ebene auf.
Zugegeben, ich bin über diese Aufgabe ziemlich hinweggefegt, aber ich denke doch, daß du verstehen solltest, wie ich den Vektor zerlegt habe. Mach die Augen nicht einfach zu und sag: "Das hatte ich nicht, das kenn ich nich, das mach ich nicht", denn damit kommt man nicht weit. Versteh das nicht falsch, ich will dir nichts. Es ist nur ein Rat (Verdammt, ich hör mich an wie Lehrer / Eltern!)
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Ok. Die 2te Variante versteh ich schon besser! Es ist nur so dass wir grade die Sachen fürs Abitur noch mal wiederholen und wenn ich da plötzlich mit neuen Rechenwegen ankomme, könnte das die anderen eventuell verwirren.
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