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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 So 15.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Geradenschar [mm] g_{a}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 3 \\ -1}+r*\vektor{2a \\ 1 \\ a+1}, a\in\IR, [/mm] sowie die Ebene E:2x+y-3z=5.
a) Gehört die Gerade [mm] h:\vec{x}=\vektor{-3 \\ 5 \\ -1}+s*\vektor{-4 \\ 2 \\ 0} [/mm] zur Geradenschar [mm] g_{a}?
[/mm]
b) Gibt es eine Ursprungsgerade in der Schar [mm] g_{a}?
[/mm]
c) Untersuchen Sie die relative Lage der Schar [mm] g_{a} [/mm] zur Ebene E in Abhängigkeit vom Parameter a. |
Hallo zusammen^^
Ich hab diese Aufgabe gerechnet,hab da aber einige Probleme.
Bei der a) weiß ich nicht genau wie ich vorgehen soll.Vielleicht den Stützpunkt von h in die Schar einsetzen?
b) Hier hab ich folgendes berechnet:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 3 \\ -1}+r*\vektor{2a \\ 1 \\ a+1}
[/mm]
Das daraus entstehende Gleichungssystem ist aber unlösbar,d.h. es gibt keine Ursprungsgerade in der Schar.
c) Hier hab ich die Punkte der Geraden aufgeschrieben,also x=1+2ar, y=3+r, z=-1+ra+r und diese in die Ebenengleichung eingesetzt.Dan kam ich am Ene auf [mm] r=\bruch{-3}{(a-2)}.
[/mm]
Das bedeutet doch,dass für [mm] a\not=2 [/mm] die Geraden der Schar die Ebene shcneiden.Und heißt das jetzt auch,dass für a=2 die Gerade parallel zur Ebene ist?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 So 15.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben sind die Geradenschar [mm]g_{a}:\vec{x}=\vektor{1 \\ 3 \\ -1}+r*\vektor{2a \\ 1 \\ a+1}, a\in\IR,[/mm]
> sowie die Ebene E:2x+y-3z=5.
>
> a) Gehört die Gerade [mm]h:\vec{x}=\vektor{-3 \\ 5 \\ -1}+s*\vektor{-4 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> zur Geradenschar [mm]g_{a}?[/mm]
>
> b) Gibt es eine Ursprungsgerade in der Schar [mm]g_{a}?[/mm]
> c) Untersuchen Sie die relative Lage der Schar [mm]g_{a}[/mm] zur
> Ebene E in Abhängigkeit vom Parameter a.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich hab diese Aufgabe gerechnet,hab da aber einige
> Probleme.
>
> Bei der a) weiß ich nicht genau wie ich vorgehen
> soll.Vielleicht den Stützpunkt von h in die Schar
> einsetzen?
Nicht ganz. Schaue mal, ob es ein a gibt, so dass
[mm] \vektor{-3\\5\\-1}+s\cdot{}\vektor{-4\\2\\0}=\vektor{1\\3\\-1}+r*vektor{2a\\1\\a+1}
[/mm]
Also ist das LGS
[mm] \gdw \vmat{-3-4s=1+2ar\\5+2s=3+r\\-1=-1+r(a+1)}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{-4s-2ar=4\\2s-r=-2\\-ar=-1+r}
[/mm]
eindeutig lösbar?
>
> b) Hier hab ich folgendes berechnet:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 3 \\ -1}+r*\vektor{2a \\ 1 \\ a+1}[/mm]
>
> Das daraus entstehende Gleichungssystem ist aber
> unlösbar,d.h. es gibt keine Ursprungsgerade in der Schar.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> c) Hier hab ich die Punkte der Geraden aufgeschrieben,also
> x=1+2ar, y=3+r, z=-1+ra+r und diese in die Ebenengleichung
> eingesetzt.Dan kam ich am Ene auf [mm]r=\bruch{-3}{(a-2)}.[/mm]
> Das bedeutet doch,dass für [mm]a\not=2[/mm] die Geraden der Schar
> die Ebene shcneiden.Und heißt das jetzt auch,dass für a=2
> die Gerade parallel zur Ebene ist?
Das Ergebnis habe ich jetzt nicht nachgerechnet, der Weg ist aber korrekt.
>
> Vielen Dank
>
> lg
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 15.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen Dank.
> > Bei der a) weiß ich nicht genau wie ich vorgehen
> > soll.Vielleicht den Stützpunkt von h in die Schar
> > einsetzen?
>
> Nicht ganz. Schaue mal, ob es ein a gibt, so dass
> [mm]\vektor{-3\\5\\-1}+s\cdot{}\vektor{-4\\2\\0}=\vektor{1\\3\\-1}+r*vektor{2a\\1\\a+1}[/mm]
> Also ist das LGS
> [mm]\gdw \vmat{-3-4s=1+2ar\\5+2s=3+r\\-1=-1+r(a+1)}[/mm]
> [mm]\gdw \vmat{-4s-2ar=4\\2s-r=-2\\-ar=-1+r}[/mm]
>
> eindeutig lösbar?
>
Nein,das System ist nicht eindeutig lösbar.Heißt das die Gerade h gehört nicht zur Schar?
Ich versteh aber nicht warum man jetzt h und [mm] g_{a} [/mm] gleichsetzt.Mit gleichsetzen berechnet man doch den Schnittpunkt und wir wollten doch wissen ob h zu [mm] g_{a} [/mm] gehört?Ich versteh grad den Zusammenhang nicht.
lg
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Hallo Mandy_90,
> Vielen Dank.
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> > > Bei der a) weiß ich nicht genau wie ich vorgehen
> > > soll.Vielleicht den Stützpunkt von h in die Schar
> > > einsetzen?
> >
> > Nicht ganz. Schaue mal, ob es ein a gibt, so dass
> >
> [mm]\vektor{-3\\5\\-1}+s\cdot{}\vektor{-4\\2\\0}=\vektor{1\\3\\-1}+r*vektor{2a\\1\\a+1}[/mm]
> > Also ist das LGS
> > [mm]\gdw \vmat{-3-4s=1+2ar\\5+2s=3+r\\-1=-1+r(a+1)}[/mm]
> > [mm]\gdw \vmat{-4s-2ar=4\\2s-r=-2\\-ar=-1+r}[/mm]
Hier muß es doch heißen:
[mm]\gdw \vmat{-4s-2ar=4\\2s-r=-2\\-ar=\red{0}+r}[/mm]
>
> >
> > eindeutig lösbar?
> >
>
> Nein,das System ist nicht eindeutig lösbar.Heißt das die
> Gerade h gehört nicht zur Schar?
> Ich versteh aber nicht warum man jetzt h und [mm]g_{a}[/mm]
> gleichsetzt.Mit gleichsetzen berechnet man doch den
> Schnittpunkt und wir wollten doch wissen ob h zu [mm]g_{a}[/mm]
> gehört?Ich versteh grad den Zusammenhang nicht.
Nun, wir nehmen an, daß h zur Geradeschar [mm]g_{a}[/mm] gehört.
Dann müssen wir zeigen, daß
1. [mm]\pmat{-4 \\ 2 \\ 0}= \lambda * \pmat {2a \\ 1 \\ a+1}[/mm]
2. [mm]\pmat{-3 \\ 5 \\ -1}=\pmat{1\\3\\-1}+r*\pmat{2a \\ 1 \\ a+1}[/mm]
Zusammengefasst:
[mm]\pmat{-3 \\ 5 \\ -1}+s\pmat{-4 \\ 2 \\ 0}=\pmat{1\\3\\-1}+r*\pmat{2a \\ 1 \\ a+1}[/mm]
>
> lg
>
Gruß
MathePower
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