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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Eschie |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass ein Kompositum von drei Geradenspiegelungen, deren achsen nicht alle drei parallel sind und sich nicht alle drei in einem Punkt schneiden, keinen Fixpunkt besitzt. |
Die Aufgabe haben wir in Elementargeometrie, sie wird also nicht durch Vektoren gelöst. Ich habe mir einige Sachen überlegt und Skizzen gemacht, aber mir fällt noch nicht wirklich was ein für den Beweis.
Dass sie sich schneiden, aber in unterschiedlichen Punkten heißt ja schon mal:
g,h,i [mm] \in \IG [/mm] mit
g [mm] \cap [/mm] g [mm] \not= \emptyset
[/mm]
g [mm] \cap [/mm] h [mm] \not= \emptyset
[/mm]
h [mm] \cap [/mm] i [mm] \not= \emptyset
[/mm]
g [mm] \cap [/mm] h [mm] \cap [/mm] i = [mm] \emptyset
[/mm]
Das Kompositum wäre [mm] \phi [/mm] = [mm] S_g \circ S_h \circ S_i
[/mm]
Wollte man es mit einem Widerspruch zeigen, so müsste man widerlegen, dass ein Punkt A [mm] \in \IE [/mm] existiert, für den gilt A = [mm] \phi(A) [/mm] = A' (was ja die Definition für den Fixpunkt ist).
Wie kann ich da anfangen? Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
angenommen A ist ein Fixpunkt [mm] $A=\Phi(A)$.
[/mm]
$ [mm] S_g \circ S_h \circ S_i [/mm] $
Sei [mm] $A_i$ [/mm] die Spiegelung von A an i und [mm] $A_g$ [/mm] die von A an g, dann muß h [mm] $A_i$ [/mm] auf [mm] $A_g$ [/mm] spiegeln.
Die Spiegelungsgerade ist die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen den gespiegelten Punkten.
A, [mm] $A_i$ [/mm] und [mm] $A_g$ [/mm] bilden ein Dreieck, die Spiegelungsgeraden sind die Mittelsenkrechten, und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Widerspruch.
ciao
Stefan
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