Gernzwerte, konverg. Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Do 04.01.2007 | | Autor: | Nico82 |
| Aufgabe | Wenn vorhanden, berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen. Falls diese nicht konvergent sind, bestimmen Sie, ob es eine konvergente Teilfolge gibt und berechnen Sie deren Grenzwert.
b)
[mm]\left( \bruch{(2n)^n + (-2n)^n}{3n} \right)[/mm] |
Mir liegt eine Lösung vor, ich habe jedoch z.T. Schwierigkeiten diese Lösung nachzuvollziehen. Hier der Lösungsvorschlag:
Fall n ungerade:
[mm]\bruch{(2n)^n + (-2n)^n}{3n} = \bruch{(2n)^n + (-1)^n(-2n)^n}{3n} = \bruch{(2n)^n - (2n)^n}{3n} = 0[/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] konvergiert gegen 0
Fall n gerade:
[mm]\bruch{(2n)^n + (-2n)^n}{3n} = \bruch{2(2n)^n}{3n} = \bruch{2^{n+1}n^n}{3n} = \bruch{2^{n+1}n^{n-1}}{3} \ge \bruch{2^{n+1}}{4} n^{n-1} = 2^{n-1} n^{n-1} \ge 2^{n-1} > 0[/mm]
Verständnissproblem 1: Woher kommt [mm] \bruch{2^{n+1}}{4} n^{n-1}[/mm] und folgende? Ich kann mir kaum vorstellen, dass man hier beliebige Brüche wählt nur um irgendetwas zu haben das kleiner ist. Insbesondere letzte Schritt scheint wichtig zu sein([mm]2^{n-1} > 0[/mm]) nur: woher kommt dies?
Weiter geht es:
Ann: Die Folge ist beschränkt
[mm] \Rightarrow [/mm] es existiert ein [mm] \beta \in \IN:[/mm] [mm]a_n[/mm] [mm] \le \beta [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow \beta \ge a_n \ge[/mm] [mm]2^{n-1}[/mm] also [mm] \beta \ge[/mm] [mm]2^{\beta-1}[/mm] für [mm] \beta [/mm] > 2 [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch!
Mein Problem hier: Wo ist der Widerspruch? Was ist [mm] \beta? [/mm] Trotz relativ ausführlichem Skript + Bücher komme ich nicht dahinter.
Vielen Dank für jede Hilfe!
Grüsse,
Nico
P.S.: mir geht es weniger um alternative oder einfachere Lösungswege sondern vielmehr darum diesen verstehen zu können.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Do 04.01.2007 | | Autor: | baufux |
Hallo!
Im Fall n gerade kann man ja erstmal die Vermutung aufstellen, das die Folge nicht konvergent ist. Das kann man daran sehen, dass, wenn man bis zum letzten = gerechnet hat Zähler und Nenner für alle n [mm] \in \IN [/mm] positiv sind und der Zähler mit wachsendem n immer weiter wächst, der Nenner aber konstant bleibt.
Das Problem liegt jetzt noch darin das ganze zu Beweisen:
Wenn man beweisen kann, dass eine Folge [mm] b_{n}, [/mm] mit [mm] b_{n} [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] für alle n, nicht konvergent ist, hat man bewiesen, dass [mm] a_{n} [/mm] nicht konvergent ist.
Nun hat man [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n+1}n^{n-1}}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2^2*2^{n-1}n^{n-1}}{3} [/mm] gegeben um nun leichter weiter rechnen zu können wählt man eben diese Folge [mm] b_{n} [/mm] hier günstigerweise [mm] \bruch{2^2*2^{n-1}n^{n-1}}{4}, [/mm] da sich dann der [mm] 2^2 [/mm] Term weggkürzt und der Bruch wegfällt, man könnte aber im Nenner auch 8 oder 10 oder irgendwas anderes > 3 nehmen Hauptsache [mm] b_{n} [/mm] wird kleiner als [mm] a_{n}.
[/mm]
Beim 2. Ungleich-Zeichen verhält sich das genauso.
Das > 0 braucht man, da jede Folge natürlicher Zahlen die ab einem bestimmten n gleich 0, also konstant ist konvergent ist. Außerdem brauch man dann nur noch die Unbeschränktheit im Positiven zu zeigen, um zu beweisen, dass die Folge divergent ist.
Weiter mit [mm] \beta \ge a_{n} \ge 2^{n-1}:
[/mm]
Wie gesagt, wenn man die Unbeschränktheit beweist folgt daraus direkt die Divergenz.
[mm] \beta \ge 2^{n-1} [/mm] soll für alle n [mm] \in \IN [/mm] und ein bestimmtes [mm] \beta \in \IN [/mm] erfüllt sein, da [mm] \beta [/mm] aber [mm] \in \IN [/mm] ist tritt irgendwann der Fall [mm] n=\beta [/mm] ein und erhält somit [mm] \beta \ge 2^{\beta-1}. [/mm] Das ist für [mm] \beta [/mm] > 2 nicht erfüllt. Also muss [mm] \beta \le [/mm] 2, also 1 oder 2 sein.
Nun kann man aber einfach ein n angeben für die die Ungleichung [mm] \beta \ge 2^{n-1} [/mm] für [mm] \beta [/mm] = 1 bzw. = 2 nicht erfüllt ist. Also ist die Ungleichung nicht für alle n erfüllt. Hieraus folgt wiederum, dass man kein [mm] \beta [/mm] finden kann, so dass [mm] \beta \ge a_{n} \ge 2^{n-1} [/mm] gilt, also ist die Folge [mm] 2^{n-1} [/mm] Unbeschränkt und hierin liegt der Widerspruch zu der Aussage: "Es existiert ein [mm] \beta, [/mm] sodass [mm] \beta \ge 2^{n-1}", [/mm] was in diesem Fall äquivalent zur Aussage [mm] "2^{n-1} [/mm] ist Beschränkt" ist.
Da man nun bewiesen hat, dass die "kleinere" Folge divergent ist, ist auch die ursprüngliche "größere" Folge divergent.
Hoffe es ist ausführlich genug.
Grüße Baufux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Do 04.01.2007 | | Autor: | Nico82 |
Vielen Dank für die super ausführliche Antwort, hilft mir sehr viel weiter! Danke!
Grüsse,
Nico
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