Gesamtbahndreimpulsquantezahl < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Mo 20.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo liebes Forum,
>
> irgendwie verstehe ich diese ganzen Drehimpulse in der
> Quantenmechanik nicht...
>
> Zb. bei der LS-Kopplung:
>
> Es gilt [mm]\vec j=\vec s +\vec l[/mm] und [mm]|\vec j|=\sqrt{j(j+1))}[/mm]
> aber nicht:
> [mm]j_z=l_z+s_z=m_l*\hbar+m_s\cdot \hbar[/mm]
Das ist nicht ganz richtig. Die Wellenfunktion ist zwar eine Eigenfunktion des Operators [mm] $j_z$, [/mm] aber nicht der Operatoren $L-z$ oder [mm] $s_z$, [/mm] daher gibt es keine Quantenzahlen [mm] $m_l$ [/mm] oder [mm] $m_s$.
[/mm]
> Auf
> ![[]](/images/popup.gif) dieser Seite
> steht dass man real. einfach zu der Beziehung (ich habs
> leider nicht geschafft)[mm]|l-s|\le j \le |l+s|[/mm] kommt.
>
> Wenn ich das akzeptiere ohne es mir selber herleiten zu
> koennen kann ich auch nachvollziehen dass dann nie
> [mm]j_z=l_z+s_z[/mm] sein kann, weil die [mm]\vec l[/mm] und [mm]\vec s[/mm] jetzt
> eine andere Orientierung haben müssen.
Das ist eine semiklassische Betrachtung, aber ok.
>
>
> Dann kommt jetzt aber die Sache mit der
> GesamtbahndrehimpulsQZ bei Anwendung der Hundschen Regel.
>
> Angenommen ich habe 2 Elektronen in einer D-Schale.
> Dann werden diese erstmal einen größtmöglichen
> Gesamtspin annehmen.
>
> Dann werden sie sich so anordnen, dass [mm]\vec L=\sum \vec l[/mm]
> maximal ist.
>
> Jetzt finde ich bei
> Wikipedia
> und auf anderen Seiten (leider kaum was dazu im Demtröder
> zb) dass das erste Elektron einen Zustand mit [mm]m_l_1=2[/mm]
> einnehmen wird und das zweite, da es nach Pauli nicht auch
> [mm]m_l_2=2[/mm] annehmen darf wird dann [mm]m_l_2=1[/mm] annehmen, so dass
>
> die GesamtbahndrehimpulsQZ zu [mm]L=m_l_1+m_l_2=3[/mm] führt.
>
> Aber jetzt frage ich mich, woher kommt das? Wieso kann ich
> da einfach die magn. Quantenzahlen addieren? Darf ich das
> immer?
Leider werden in diesen Erklärungen mehrere Dinge durcheinander gebracht, oder nicht richtig erklärt.
Letzen Endes geht es um eine Näherung für ein nicht geschlossen lösbares System: genausowenig wie das Mehrkörperproblem der klassischen Mechanik geschlossen lösbar ist, genausowenig kann man eine Wellenfunktion für einen Atomkern mit mehreren Elektronen hinschreiben.
Wie in der klassischen Mechanik kennt man die Hamiltonfunktion bzw. den Hamiltonoperator sehr genau. Er enthält zunächst das Zentralpotential des Atomkerns, dann die elektrischen und magnetischen Wechselwirkungen der Elektronen miteinander. Ein einzelnes Elektron im Zentralpotential wäre nicht das Problem, das ergibt die üblichen Quantenzahlen n,l,m,s. Man tut daher so, als wären die Elektronen unabhängige Teilchen im Zentralpotential; damit hat jedes Elektron einen Satz von Quantenzahlen n,l,m,s. Das ist die nullte Näherung und der größte Beitrag zur Energie. Jedes Elektron hat also ein eigene Wellenfunktion, die Gesamtwellenfunktion ist das Produkt dieser einzelnen Wellenfunktionen.
Wegen der Wechselwirkung der Elektronen untereinander ist diese Gesamtwellenfunktion aber keine Eigenfunktion des kompletten Hamiltonoperators. Man nimmt nun die elektrischen Wechselwirkungsterme hinzu und schaut sich an, wie sich dadurch die Energie der Zustände ändert; die Änderung der Energie ist näherungsweise der Erwartungswert der zusätzlichen Wechselwirkungsterme für die bereits berechnete Gesamtwellenfunktion. Das ist natürlich nicht richtig, weil diese Gesamtwellenfunktion ja auch eine Näherung ist, aber es kommt der richtigen Energie sehr nahe.
Wenn nun, wie bei den leichteren Atomen, die elektrische Wechselwirkung dominiert, so ist es eine gute Näherung, zunächst diese zu betrachten, alle Spins zusammenzufassen und die kleine magnetische Wechselwirkung zwischen Bahndrehimpuls und Spin am Schluss hinzuzunehmen. Das funktioniert deswegen, weil der Teil des Hamiltonoperators, der die elektrischen Wechselwirkungen der Elektronen beschreibt, mit den Drehimpulsoperatoren $L$ und $S$ kommutiert und daher auch gemeinsame Eigenfunktionen hat. Das ist die LS-Kopplung.
Die Hundschen Regeln sind der Ausdruck dieser Reihenfolge.
> Wieso ist ein Zustand mit [mm]L=4[/mm] nicht erlaubt? Wie vorher
> beim [mm]\vec j[/mm] hätte ich doch dann nur die z-Komponente von L
> und die Gesamtlänge von L vorgegeben und koennte dann
> meine [mm]\vec l_1[/mm] und [mm]\vec l_2[/mm] so orientieren, dass sie
> zusammen eben [mm]\vec L[/mm] ergeben.
Ein einzelnes Elektron in einer D-Scahle kann höchsten [mm] $m_l=2$ [/mm] haben. Nach dem Pauliprinzip kann es dann kein weiteres Elektron mit [mm] $m_l=2$ [/mm] geben.
> Und wie bei [mm]\vec j[/mm] wären doch dann [mm]m_l_1[/mm] und [mm]m_l_2[/mm] nicht
> mehr relevant? Wieso aber muss ich die hier beachten?
Wie gesagt, das ist der zweite Schritt der Näherung.
1. Schritt: unabhängige Elektronen im Zentralpotential
2. Schritt: elektrische Wechselwirkung der Elektronen: nur Gesamtbahndrehimpuls und Gesamtspin sind relevant
3. Schritt: Hinzunahme der Spin-Bahn-Kopplung, Aufspaltung der Energieniveaus
Schau mal hier.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
