Gesetz der großen Zahl < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Mo 02.04.2012 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | Sei $sup [mm] E(X_{n}^2) [/mm] < [mm] \infty$, $(X_n)$ [/mm] unabhängig, [mm] $\exists [/mm] N: [mm] E(X_n)=\mu$ [/mm] für $n>N$
z.z.: [mm] $\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_k$ [/mm] konvergiert fast sicher. Gegen welchen Grenzwert? |
Hallo, ich habe die obenstehende Aufgabe gelöst, allerdings bin ich mir unsicher, ob das wirklich alles stimmt, was ich hier stehen habe bzw. ob ich auch alles habe.
Es ist ja gegeben, dass die [mm] $X_n$ [/mm] unabhängig sind. Daraus folgt erstmal, dass sie unkorreliert sind, d.h. [mm] $Cov(X_m,X_n)=0$.
[/mm]
Also
[mm] $Cov(X_m,X_n)=0 \gdw [/mm] 0= [mm] E(X_m [/mm] * [mm] X_n) [/mm] - [mm] \underbrace{E(X_m)}_{=\mu_m}*\underbrace{E(X_n)}_{=\mu_n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow E(X_m X_n) [/mm] = [mm] \mu_m [/mm] * [mm] \mu_n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow E(X_{n}^2)=\mu_{n}^2$
[/mm]
[mm] $Var(X_n)= E(X_{n}^2) [/mm] - [mm] E(X_n)^2 [/mm] = [mm] \mu_{n}^2 [/mm] - [mm] \mu_{n}^2 [/mm] = 0 < [mm] \infty$
[/mm]
Aus dem starken Gesetz der großen Zahl folgt dann
[mm] $\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_k \to \mu$ $\IP$ [/mm] - fast sicher, da [mm] $E(X_i) [/mm] = [mm] E(X_1)$
[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn sich das jemand angucken könnte! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Mo 02.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mija,
> Es ist ja gegeben, dass die [mm]X_n[/mm] unabhängig sind. Daraus
> folgt erstmal, dass sie unkorreliert sind, d.h.
> [mm]Cov(X_m,X_n)=0[/mm].
Für [mm] $m\not=n$.
[/mm]
> Also
>
> [mm]Cov(X_m,X_n)=0 \gdw 0= E(X_m * X_n) - \underbrace{E(X_m)}_{=\mu_m}*\underbrace{E(X_n)}_{=\mu_n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow E(X_m X_n) = \mu_m * \mu_n[/mm]
Immernoch nur für [mm] $m\not=n$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow E(X_{n}^2)=\mu_{n}^2[/mm]
Diese Schlussfolgerung stimmt dann nicht.
> [mm]Var(X_n)= E(X_{n}^2) - E(X_n)^2 = \mu_{n}^2 - \mu_{n}^2 = 0 < \infty[/mm]
[mm] $Var(X_n)=0$ [/mm] hieße [mm] $X_n$ [/mm] fast sicher konstant. Das muss hier sicherlich nicht gelten.
> Aus dem starken Gesetz der großen Zahl folgt dann
> [mm]\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_k \to \mu[/mm] [mm]\IP[/mm] - fast
> sicher, da [mm]E(X_i) = E(X_1)[/mm]
Warum sollte [mm] $E(X_i)=E(X_1)$ [/mm] gelten? Wir haben [mm] $E(X_i)=\mu$ [/mm] ja nur für große $i$ und nicht für alle $i$.
Leider habe ich gerade keine Zeit für weitere Hinweise, daher lasse ich die Frage auf teilweise beantwortet.
Bitte poste doch mal eure genaue Formulierung des Gesetzes der großen Zahlen in der stärksten Form, die ihr kennengelernt habt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Mo 02.04.2012 | | Autor: | Mija |
Das starke Gesetz der großen Zahl haben wir in der Vorlesung so formuliert:
Sei [mm] $(X_n)_{n \in \IN}$ [/mm] Folge von Zufallsvariablen, unkorreliert, in [mm] $\mathcal{L}^2{(\IP)} [/mm] mit [mm] $Var(X_n) \le [/mm] c < n, n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Dann gilt: [mm] $\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} (X_i [/mm] - [mm] E(X_i)) \to [/mm] 0$ [mm] $\IP$-fast [/mm] sicher.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mo 02.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Sei [mm]sup E(X_{n}^2) < \infty[/mm], [mm](X_n)[/mm] unabhängig, [mm]\exists N: E(X_n)=\mu[/mm]
> für [mm]n>N[/mm]
>
> z.z.: [mm]\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_k[/mm] konvergiert fast
> sicher. Gegen welchen Grenzwert?
In der Summe soll es übrigens sicherlich [mm] $X_i$ [/mm] statt [mm] $X_k$ [/mm] heißen.
1. Überlege dir, dass die Voraussetzungen des Gesetzes der großen Zahlen, wie du es in deiner Mitteilung gepostet hast, für unsere Folge der [mm] $X_n$ [/mm] erfüllt ist.
Deshalb konvergiert die Folge der
[mm] $Y_n:=\bruch1n\summe_{i=1}^n(X_i-E(X_i))$
[/mm]
fast sicher gegen 0.
Es gilt
[mm] $Y_n=\bruch1n\summe_{i=1}^nX_i-\underbrace{\bruch1n\summe_{i=1}^nE(X_i)}_{=:a_n}$.
[/mm]
2. Für $n>N$ gilt
[mm] $a_n=\bruch1n\summe_{i=1}^NE(X_i)+\bruch1n\summe_{i=N+1}^nE(X_i)=\ldots$.
[/mm]
3. Somit konvergiert die Folge der [mm] $a_n$ [/mm] gegen ...
4. Somit konvergiert
[mm] $\bruch1n\summe_{i=1}^nX_i=Y_n+a_n$
[/mm]
fast sicher gegen ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Mo 02.04.2012 | | Autor: | Mija |
Aah, jetzt hab ich es verstanden :)
Also unsere Folge [mm] $a_n$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $\mu$.
[/mm]
Also gilt [mm] $\bruch{1}{n} X_k \to \mu$ $\IP$-fast [/mm] sicher.
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