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Gewichtet und ungewichtet: Tipp, Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 Mi 15.04.2015
Autor: Michi4590

Aufgabe
Unterschied zwischen gewichtet und ungewichtet in der Statistik

Hey Leute,

wie oben schon erwähnt, wäre es für mich wichtig zu wissen, worin der Unterschied in der Statistik zwischen gewichtet und ungewichtet liegt? Das erste Mal kamen die beiden Begriffe bei den Lageparametern.


Vielen Dank für Eure Antworten :-)

        
Bezug
Gewichtet und ungewichtet: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:24 Do 16.04.2015
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Ungewichtet bedeutet, daß alle Werte gleich behandelt werden.

Gewichtet bedeutet, daß manche Werte mehr Einfluss als andere haben, sie haben mehr Gewicht.

Das ungewichtete arithmetische Mittel ist einfach

[mm] \bar{x}=\frac{\sum x_i}{n} [/mm]

Im Prinzip wird damit der Schwerpunkt mehrerer gleicher Massepunkte bestimmt, wenn man mal ein anschauliches Beispiel betrachtet.
Haben die Massepunkte nun aber ein unterschiedliches Gewicht, haben sie auch einen unterschiedlichen Einfluss auf den Schwerpunkt. Je höher das Gewicht, desto stärker der Einfluss:

[mm] \bar{x}=\frac{\sum w_i*x_i}{\sum w_i} [/mm]


Ein Beispiel: Die Erde ist 150Mio km von der Sonne entfernt, die Sonne soll im Ursprung eines Koordinatensystems liegen. Der Schwerpunkt liegt nun bei
[mm] $\bar{x}=\frac{0+150*10^9m}{2}=75*10^9m=75 Mio\,km$ [/mm]

Tatsächlich ist die Sonne so viel schwerer wie die Erde, daß die Erde kaum einen Einfluss auf den Schwerpunkt hat. Die Sonne wiegt [mm] 2*10^{30}kg [/mm] , die Erde [mm] 6*10^{24}kg [/mm]

[mm] \bar{x}=\frac{0m*2*10^{30}kg+150*10^9m*6*10^{24}kg}{2*10^{30}kg+6*10^{24}kg}=450000m=0,000450\,Mio\,km [/mm]  (also fast nix)



Eine weitere Anwendung: Du hast eine Reihe von Messwerten [mm] y_i [/mm] genommen, die von einem Parameter [mm] x_i [/mm] abhängig sind (z.B. Zeit bis zum Sieden von unterschiedlichen Mengen Wasser in einem Wasserkocher) Du trägst die Werte in ein Diagramm ein und glaubst, eine bestimmte Funktion würde den Verlauf gut beschreiben. Um die Konstanten der Funktion (z.B. m und b in f(x)=mx+b) zu bestimmen, bildest du die vertikalen Differenzen zwischen den Punkten und der Funktion im Diagramm, quadrierst sie, und addierst das anschließend:

[mm] q=\sum(y_i-f(x_i))^2 [/mm]

Dann versuchst du, die Konstanten zu finden, für die dieser Ausdruck minimal ist, die Funktion also einen insgesamt minimalen Abstand von den Punkten hat. Man nennt das die Methode der kleinsten Quadrate

Das Quadrieren entfernt mögliche Vorzeichen, aber es ist auch eine Gewichtung: Kleine Distanzen zwischen den Punkten und der Funktion sind nicht so schlimm wie große.

Nun weißt du, daß du die Werte [mm] y_i [/mm] nur mit einer gewissen Präzision [mm] $\Delta y_i$ [/mm]  bzw. [mm] \sigma_i [/mm] bekannt sind. Es wäre doof, wenn Ausreißer mit einer großen Ungenauigkeit den gleichen Einfluss hätten wie Werte, die sehr präzise sind. Daher berechnet man

[mm] \chi^2=\sum\left(\frac{y_i-f(x_i)}{\sigma_i}\right)^2 [/mm]

Ein großes [mm] \sigma [/mm] sorgt dafür, daß der zugehörige Wert [mm] y_i-f(x_i) [/mm] nicht so stark ins Gewicht fällt. Man nennt das die Chi-Quadrat-Methode.


(So, das war jetzt sehr viel , aus einer eher physikalischen/anwendungsbezogenen Sicht, aber ich hoffe, es wurde klar)

Bezug
                
Bezug
Gewichtet und ungewichtet: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Di 28.04.2015
Autor: Michi4590

Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung, so wird es doch gleich verständlicher :-)

Bezug
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