Gewinnwahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Di 01.05.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Bei der ersten Ziehung der Lotterie ”Glücksspirale 1971“ wurden für die Ermittlung einer 7–stelligen Gewinnzahl aus einer Trommel, die Kugeln mit den Ziffern 0,1,...,9 je 7mal enthält, nacheinander rein zufällig 7 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Bestimmen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit für die Zahlen 3333333, 1234567 und 9962902. |
Hi Leute!
Ich hab bisher mal die Grundmenge aufgestellt:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{ ( \omega_0, \omega_1, ..., \omega_9) | \omega_j \in \{0,1,...,9 \}^7 \}$
[/mm]
Und die Mächtigkeit berechnet:
$| [mm] \Omega [/mm] | = 70 [mm] \cdot [/mm] 69 [mm] \cdot [/mm] 68 [mm] \cdot [/mm] ... [mm] \cdot [/mm] 65$
Was ich auch noch weiß ist die Berechnungsformel für alle möglichen Kombinationen von "ungeordnet ziehen ohne zurücklegen": [mm] $\frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$
[/mm]
Ab hier weiß ich aber jetzt nicht mehr so wirklich weiter. Könnt ihr mir weiterhelfen?
Edit: Vielleicht noch kurz zum grundsätzlichen Verständnis: Jede Ziffer egal ob 3 oder 9, oder, oder, oder, hat doch die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden. Somit macht es doch eigentlich gar keinen Unterschied ob die Ziffernfolge 3333333, 1234567 oder 9962902 gezogen wird.
Gewinnwahrscheinlichkeit für die Folge 3333333 (ich bezeichne das jetzt als Ereignis A1):
[mm] $P(A_1) [/mm] = [mm] \frac{|A_1|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{?}{|\Omega|}$ [/mm] Die Mächtigkeit von A1 bereitet mir aber noch Probleme... Wie macht man das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo bandchef,
> Ich hab bisher mal die Grundmenge aufgestellt:
>
> [mm]\Omega = \{ ( \omega_0, \omega_1, ..., \omega_9) | \omega_j \in \{0,1,...,9 \}^7 \}[/mm]
>
> Und die Mächtigkeit berechnet:
>
> [mm]| \Omega | = 70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot ... \cdot 65[/mm]
Kannst du im Prinzip so machen, nur erhältst du leider ein Problem: Auf dieser Menge [mm] $\Omega$ [/mm] liegt keine Laplace-Verteilung vor.
> Edit: Vielleicht noch kurz zum grundsätzlichen
> Verständnis: Jede Ziffer egal ob 3 oder 9, oder, oder,
> oder, hat doch die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu
> werden.
Beim ersten Ziehen ja. Wenn aber z.B. dabei die 5 gezogen wurde, sind nur noch 6 Kugeln mit der 5 in der Trommel, von den anderen Ziffern dagegen noch 7 Kugeln.
> Somit macht es doch eigentlich gar keinen
> Unterschied ob die Ziffernfolge 3333333, 1234567 oder
> 9962902 gezogen wird.
Doch. Um z.B. 3333333 zu ziehen, muss beim Ziehen der letzten Kugel genau die übrige Kugel mit der 3 gezogen werden, während von jeder anderen Ziffer noch 7 Kugeln in der Trommel sind. Bei 1234567 muss beim letzten Ziehen dagegen nur eine der noch übrigen 7 Kugeln mit der Zahl 7 gezogen werden.
> Gewinnwahrscheinlichkeit für die Folge 3333333 (ich
> bezeichne das jetzt als Ereignis A1):
>
> [mm]P(A_1) = \frac{|A_1|}{|\Omega|} = \frac{?}{|\Omega|}[/mm]
Das würde nur gelten, wenn P die Laplace-Verteilung auf [mm] $\Omega$ [/mm] wäre.
> Ab hier weiß ich aber jetzt nicht mehr so wirklich weiter.
> Könnt ihr mir weiterhelfen?
Denke dir die Kugeln z.B. mit der Ziffer 5 noch von 1 bis 7 durchnummeriert vor, so dass sie durch
[mm] $(5,1),\ldots,(5,7)$
[/mm]
beschrieben werden. So kann man sich dann die Menge
[mm] $K:=\{(z,n)\;|\;z\in\{0,1,2,\ldots,9\},\;n\in\{1,2,3,4,5,6,7\}\}$
[/mm]
als Menge aller anfangs in der Lostrommel befindlichen Kugeln vorstellen; $(z,n)$ steht jeweils für die $n$-te der $7$ Kugeln mit Ziffer $z$.
Auf diese Weise erhältst du
[mm] $\Omega=\{(\omega_1,\ldots,\omega_7)\;|\;\omega_j\in K,\;\omega_i\not=\omega_j\text{ für }i\not=j\}$.
[/mm]
Auf dieser Menge ist nun die Annahme einer Laplace-Verteilung angemessen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Di 01.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Hallo tobit!
Danke für deine Hilfe!
Mir ist jetzt klar, warum man hier nicht einfach von einer "Gleichwahrscheinlichkeit" ausgehen darf.
Leider verstehe ich aber nicht so ganz was du mit dem hier bezwecken willst:
Zitat: "Denke dir die Kugeln z.B. mit der Ziffer 5 noch von 1 bis 7 durchnummeriert vor, so dass sie durch
$ [mm] (5,1),\ldots,(5,7) [/mm] $ ..."
Warum von ab der Ziffer 5? Oder ist das nur exemplarisch gedacht? Wenn ich das jetzt mal weiter ausführe, dann sieht das doch dann so aus:
$(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(5,7)$ Was sagt mir das / bringt mir das jetzt?
"...beschrieben werden. So kann man sich dann die Menge
$ [mm] K:=\{(z,n)\;|\;z\in\{0,1,2,\ldots,9\},\;n\in\{1,2,3,4,5,6,7\}\} [/mm] $
als Menge aller anfangs in der Lostrommel befindlichen Kugeln vorstellen; $ (z,n) $ steht jeweils für die $ n $-te der $ 7 $ Kugeln mit Ziffer $ z $. ..."
Diese Menge K gibt mir dann also quasi den Trommelinhalt an? In der Trommel befinden sich ja 70 Kugeln, oder? Das sind dann die Kugeln mit den Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 aber eben 7-fach vorhanden, oder?
"...Auf diese Weise erhältst du
$ [mm] \Omega=\{(\omega_1,\ldots,\omega_7)\;|\;\omega_j\in K,\;\omega_i\not=\omega_j\text{ für }i\not=j\} [/mm] $."
Hier musst du mir leider auch noch einiges Erklären. [mm] $\omega_1, [/mm] ..., [mm] \omega_7$ [/mm] sind ja die zufällig ausgewählten Kugeln die mir dann die gezogene Zahl repräsentieren soll, oder?
Irgendwie fehlt mir noch die Angabe aus welcher Menge [mm] $\omega_i$ [/mm] kommt! Sollte die Grundmenge dann nicht so lauten: $ [mm] \Omega=\{(\omega_1,\ldots,\omega_7)\;|\;\omega_i\in K \wedge \omega_j\in K,\;\omega_i\not=\omega_j\text{ für }i\not=j\} [/mm] $."
Warum darf [mm] $\omega_i$ [/mm] nicht gleich [mm] $\omega_j$ [/mm] sein? Warum muss man dann am Schluss der Menge noch [mm] $i\not=j$ [/mm] schreiben?
Wenn ich nun mit der Aufgabe weitermachen will, muss ich ja erst mal wieder die Mächtigkeit der Grundmenge angeben, oder? Stimmt dann diese Mächtigkeit: [mm] $|\Omega| [/mm] = 70 [mm] \cdot [/mm] 69 [mm] \cdot [/mm] 68 [mm] \cdot [/mm] 67 [mm] \cdot [/mm] 66 [mm] \cdot [/mm] 65 [mm] \cdot [/mm] 64$ (Ich ziehe 7 Kugeln aus den 70 vorhandenen...)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Leider verstehe ich aber nicht so ganz was du mit dem hier
> bezwecken willst:
>
> Zitat: "Denke dir die Kugeln z.B. mit der Ziffer 5 noch von
> 1 bis 7 durchnummeriert vor, so dass sie durch
>
> [mm](5,1),\ldots,(5,7)[/mm] ..."
>
> Warum von ab der Ziffer 5? Oder ist das nur exemplarisch
> gedacht? Wenn ich das jetzt mal weiter ausführe, dann
> sieht das doch dann so aus:
>
> [mm](5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(5,7)[/mm] Was sagt mir das
> / bringt mir das jetzt?
Sollte in der Tat nur ein Beispiel sein. Die Kugeln zu jeder Ziffer sollen zusätzlich jeweils von 1 bis 7 durchnummeriert sein. Die Paare [mm](5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(5,7)[/mm] stehen beispielsweise gerade für die 7 Kugeln mit Ziffer 5.
> "...beschrieben werden. So kann man sich dann die Menge
>
> [mm]K:=\{(z,n)\;|\;z\in\{0,1,2,\ldots,9\},\;n\in\{1,2,3,4,5,6,7\}\}[/mm]
>
> als Menge aller anfangs in der Lostrommel befindlichen
> Kugeln vorstellen; [mm](z,n)[/mm] steht jeweils für die [mm]n [/mm]-te der [mm]7[/mm]
> Kugeln mit Ziffer [mm]z [/mm]. ..."
>
> Diese Menge K gibt mir dann also quasi den Trommelinhalt
> an? In der Trommel befinden sich ja 70 Kugeln, oder? Das
> sind dann die Kugeln mit den Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
> aber eben 7-fach vorhanden, oder?
Ja. Es gilt
[mm] $K=\{(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),$
$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),$
$...,$
$(9,1),(9,2),(9,3),(9,4),(9,5),(9,6),(9,7)\}$
[/mm]
> "...Auf diese Weise erhältst du
>
> [mm]\Omega=\{(\omega_1,\ldots,\omega_7)\;|\;\omega_j\in K,\;\omega_i\not=\omega_j\text{ für }i\not=j\} [/mm]."
>
> Hier musst du mir leider auch noch einiges Erklären.
> [mm]\omega_1, ..., \omega_7[/mm] sind ja die zufällig ausgewählten
> Kugeln die mir dann die gezogene Zahl repräsentieren soll,
> oder?
Ja. [mm] $\omega_1=(5,3)$ [/mm] würde z.B. bedeuten, dass als erste Kugel die dritte der 7 Kugeln mit Ziffer 5 gezogen wurde.
> Irgendwie fehlt mir noch die Angabe aus welcher Menge
> [mm]\omega_i[/mm] kommt!
Aus K.
> Sollte die Grundmenge dann nicht so lauten:
> [mm]\Omega=\{(\omega_1,\ldots,\omega_7)\;|\;\omega_i\in K \wedge \omega_j\in K,\;\omega_i\not=\omega_j\text{ für }i\not=j\} [/mm]."
Genau diese Menge meinte ich. Wenn man es genauer aufschreibt:
[mm] $\Omega=\{(\omega_1,\ldots,\omega_7)\;|\;(\omega_i\in K \forall i=1,\ldots,7)\wedge (\omega_i\not=\omega_j \forall i,j=1,\ldots,7\text{ mit }i\not=j)\}$
[/mm]
> Warum darf [mm]\omega_i[/mm] nicht gleich [mm]\omega_j[/mm] sein?
Weil ohne Zurücklegen gezogen wird und somit nicht mehrfach die gleiche Kugel gezogen werden kann. Also darf [mm] $\omega_i$ [/mm] (die i-te gezogene Kugel) nicht mit [mm] $\omega_j$ [/mm] (der j-ten gezogenen Kugel übereinstimmen).
> Warum muss
> man dann am Schluss der Menge noch [mm]i\not=j[/mm] schreiben?
Weil sonst auch [mm] $\omega_i\not=\omega_j$ [/mm] für i=j gefordert würde, also [mm] $\omega_i\not=\omega_i$. [/mm] Da kein 7-Tupel diese Bedingung erfüllen kann, wäre [mm] $\Omega$ [/mm] die leere Menge.
> Wenn ich nun mit der Aufgabe weitermachen will, muss ich ja
> erst mal wieder die Mächtigkeit der Grundmenge angeben,
> oder? Stimmt dann diese Mächtigkeit: [mm]|\Omega| = 70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 \cdot 64[/mm]
> (Ich ziehe 7 Kugeln aus den 70 vorhandenen...)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
70 Möglichkeiten für [mm] $\omega_1$, [/mm] dann jeweils 69 Möglichkeiten für [mm] $\omega_2$, [/mm] usw., schließlich 64 Möglichkeiten für [mm] $\omega_7$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 01.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Soweit is jetzt alles klar 
Damit ich nun so eine Laplace-Rechnung machen kann, benötige ich ja noch die Mächtigkeit des Ereignisses A. Was ist hier laut Aufgabentext nun das Ereignis?
Ich soll ja die Gewinnwahrscheinlichkeit für bestimmte Zahlenkombinationen berechnen. Wenn ich nun diese Gewinnwahrscheinlichkeit für 3333333 berechnen will, was ist da dann die Mächtigkeit des Ereignisses? Hab ich hier 7 Ereignisse, weil ich ja sieben mal ziehe?
Für das erste Mal Ziehen: 7
Für das zweite Mal Ziehen: 6
...
Für das letzte Mal Ziehen: 1
$|A| = 7 [mm] \cdot [/mm] 6 [mm] \cdot [/mm] 5 [mm] \cdot [/mm] 4 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 1$?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Soweit is jetzt alles klar
Super! Gut, dass du so genau nachgefragt hast!
> Damit ich nun so eine Laplace-Rechnung machen kann,
> benötige ich ja noch die Mächtigkeit des Ereignisses A.
> Was ist hier laut Aufgabentext nun das Ereignis?
Z.B. das Ereignis, dass die Zahl 3333333 gezogen wird.
> Ich soll ja die Gewinnwahrscheinlichkeit für bestimmte
> Zahlenkombinationen berechnen. Wenn ich nun diese
> Gewinnwahrscheinlichkeit für 3333333 berechnen will, was
> ist da dann die Mächtigkeit des Ereignisses? Hab ich hier
> 7 Ereignisse, weil ich ja sieben mal ziehe?
Nein, ein Ereignis.
> Für das erste Mal Ziehen: 7
> Für das zweite Mal Ziehen: 6
> ...
> Für das letzte Mal Ziehen: 1
>
> [mm]|A| = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1[/mm]?
7 Möglichkeiten für [mm] $\omega_1$ [/mm] (nämlich (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7)), dann jeweils 6 Möglichkeiten für [mm] $\omega_2$, [/mm] usw., schließlich 1 Möglichkeit für [mm] $\omega_7$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Di 01.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Gut.
Gewinnwahrscheinlichkeit für die Ziffernfolge [mm] ($A_1$) [/mm] 3333333:
[mm] $P(A_1)=\frac{|A_1|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot}{70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 \cdot 64} [/mm] = [mm] 834,185\cdot10^{-12}$
[/mm]
Stimmt das dann so?
Wenn ich nun für die zweite Ziffernfolge die Gewinnwahrscheinlichkeit berechnen möchte, gilt ja auch wieder die gleich Mächtigkeit der Grundmenge, oder? Es ändert sich nur die Mächtigkeit des Eregnisses?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Gewinnwahrscheinlichkeit für die Ziffernfolge ([mm]A_1[/mm])
> 3333333:
>
> [mm]P(A_1)=\frac{|A_1|}{|\Omega|} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot}{70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 \cdot 64} = 834,185\cdot10^{-12}[/mm]
> Wenn ich nun für die zweite Ziffernfolge die
> Gewinnwahrscheinlichkeit berechnen möchte, gilt ja auch
> wieder die gleich Mächtigkeit der Grundmenge, oder? Es
> ändert sich nur die Mächtigkeit des Eregnisses?
Genau so ist es!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Di 01.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Wie sieht das dann jetzt da mit der Mächtigkeit für A2 aus?
Bei der ersten Ziehung will ich genau eine Kugel mit der Ziffer 1 aus 70 Kugeln ziehen.
Bei der zweiten Ziehung will ich genaun eine Kugel mit der Ziffer 2 aus 69 Kugeln ziehen.
...
Bei der siebten Ziehung will ich genau eine Kugel mit der Ziffer 7 aus 64 Kugeln ziehen.
$ [mm] P(A_2)=\frac{|A_2|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1}{70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 \cdot 64} [/mm] = [mm] 543,765\cdot10^{-12} [/mm] $
Irgendwie kommt mir das aber falsch vor, weil meiner Ansicht nach, die Ziehung von 1234567 höher sein sollte als von 3333333. Die Wahrscheinlichkeit ist aber noch kleiner!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wie sieht das dann jetzt da mit der Mächtigkeit für A2
> aus?
>
> Bei der ersten Ziehung will ich genau eine Kugel mit der
> Ziffer 1 aus 70 Kugeln ziehen.
7 Möglichkeiten für [mm] $\omega_1$
[/mm]
> Bei der zweiten Ziehung will ich genaun eine Kugel mit der
> Ziffer 2 aus 69 Kugeln ziehen.
7 Möglichkeiten für [mm] $\omega_2$
[/mm]
> ...
> Bei der siebten Ziehung will ich genau eine Kugel mit der
> Ziffer 7 aus 64 Kugeln ziehen.
7 Möglichkeiten für [mm] $\omega_7$
[/mm]
> [mm]P(A_2)=\frac{|A_2|}{|\Omega|} = \frac{7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1}{70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 \cdot 64} = 543,765\cdot10^{-12}[/mm]
>
> Irgendwie kommt mir das aber falsch vor, weil meiner
> Ansicht nach, die Ziehung von 1234567 höher sein sollte
> als von 3333333.
Deine Intuition ist richtig. Deine Berechnung von [mm] $|A_2|$ [/mm] stimmt nicht.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Di 01.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Hm, dann könnte es so passen:
$ [mm] P(A_2)=\frac{|A_2|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}{70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 \cdot 64} [/mm] = [mm] 1,454\cdot10^{-6} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Hm, dann könnte es so passen:
>
> [mm]P(A_2)=\frac{|A_2|}{|\Omega|} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}{70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 \cdot 64} = 1,454\cdot10^{-6}[/mm]
Mein Taschenrechner liefert zwar ein anderes Ergebnis, aber bis vor dem letzten Gleichheitszeichen stimmt es!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Di 01.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Zum ausgerechnete Ergebnis: Du hast Recht. Da hab ich mich wohl irgendwie vertippt! Das richtige Ergebnis ist [mm] $136,307\cdot 10^{-9}
[/mm]
Zur letzten Ziffernfolge: 9962902
Die ersten zwei Neunen hören doch eigentlich auf das gleiche "Schema" wie die ersten 2 dreien von A1. Also: $7 * 6$.
Dann kommt in der Ziffernfolge eine 6. Das ist quasi eine "neue" ziffer von der noch nicht gezogen wurde. Also: $*7$.
Jetzt kommt eine 2. Wieder eine "neue" Ziffer. Also: $*7$.
Jetzt kommt die dritte 9: Also: $*5$.
Jetzt kommt eine 0. Die ist auch "neu": Also: $*7$.
Jetzt kommt eine 2. Die hatten wir auch schon mal einmal. Also $*6$.
$ [mm] P(A_3)=\frac{|A_3|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{7 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 6}{70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 \cdot 64} [/mm] = [mm] 71,531\cdot 10^{-9}$
[/mm]
Passt soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Zum ausgerechnete Ergebnis: Du hast Recht. Da hab ich mich
> wohl irgendwie vertippt! Das richtige Ergebnis ist
> [mm]$136,307\cdot 10^{-9}[/mm]
Das hatte ich auch.
> Zur letzten Ziffernfolge: 9962902
>
> Die ersten zwei Neunen hören doch eigentlich auf das
> gleiche "Schema" wie die ersten 2 dreien von A1. Also: [mm]7 * 6[/mm].
>
> Dann kommt in der Ziffernfolge eine 6. Das ist quasi eine
> "neue" ziffer von der noch nicht gezogen wurde. Also: [mm]*7[/mm].
> Jetzt kommt eine 2. Wieder eine "neue" Ziffer. Also: [mm]*7[/mm].
> Jetzt kommt die dritte 9: Also: [mm]*5[/mm].
> Jetzt kommt eine 0. Die ist auch "neu": Also: [mm]*7[/mm].
> Jetzt kommt eine 2. Die hatten wir auch schon mal einmal.
> Also [mm]*6[/mm].
>
>
> [mm]P(A_3)=\frac{|A_3|}{|\Omega|} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 6}{70 \cdot 69 \cdot 68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 \cdot 64} = 71,531\cdot 10^{-9}[/mm]
Sehr schön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Di 01.05.2012 | | Autor: | bandchef |
!!!Danke für deine tolle Hilfe!!!
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