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Gewöhnl. Differentialoperator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Mo 30.08.2021
Autor: inkeddude

Hallo, ich möchte den Begriff des Differentialoperators besser kennenlernen. In der Uni hat man den schwammig eingeführt, so dass ich am Anfang nicht genau wusste, was das überhaupt für ein mathematisches Objekt ist.

Ich weiß nicht, ob es bessere Quellen dafür gibt, aber ich habe da mal einfach bei Wiki nachgeschaut. Die Definitionen dort verwirren mich leider auch, daher habe ich ein paar Fragen dazu.



Definition I: Linearer Differentialoperator erster Ordnung

Sei $M [mm] \subseteq \mathbb{R}^{n}$ [/mm] eine offene Teilmenge.

Ein linearer Differentialoperator erster Ordnung ist eine Abbildung

$D: [mm] C^{1}(M) \rightarrow C^{0}(M), [/mm] u [mm] \mapsto \sum\limits_{i = 1}^{n} a_{i} \partial x_{i} [/mm] u$, wobei [mm] $a_{i}$ [/mm] eine stetige Funktion ist.


1. Frage: Das Symbol [mm] $C^{1}(M)$ [/mm] steht doch für die Menge aller einfach stetig total diffbaren Funktionen von $M$ nach [mm] $\mathbb{R}^{n}$, [/mm] oder? Und in [mm] $C^{0}(M)$ [/mm] sind nur Funktionen $f: M [mm] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$, [/mm] die nicht mehr total differenzierbar sind? Wie ist das zu verstehen?  und ist total differenzierbar hier das richtige Wort oder meint man hier eine andere Differenzierbarkeit?
  



Definition II: Gewöhnlicher Differentialoperator

Analog zur Definition des Differentialoperators erster Ordnung ist ein gewöhnlicher Differentialoperator der Ordnung $k$ eine Abbildung

$D: [mm] C^{k}(M) \rightarrow C^{0}(M), [/mm] f [mm] \mapsto \sum\limits_{i = 0}^{k} a_{i} \left ( \frac{d^{i} f}{dx^{i}} \right )^{\beta_{i}}$ [/mm]


Die [mm] $a_{i}$ [/mm] sind wieder stetige Funktionen und im Fall [mm] $\beta_{i} [/mm] = 1$ nennt man diesen Operator einen gewöhnlichen, linearen Differentialoperator.


2. Frage: In der ersten Definition tauchen bei der Summe die partiellen Ableitungen von $u$ auf. Warum tauchen in der zweiten Definition die partiellen Ableitungen nicht auf? Da tauchen nur die vielfachen Ableitungen von $f$ nach der einzigen Variablen $x$ auf.
  



Dann werden noch ein paar Beispiele aufgelistet:


Beispiele:


(1) Ein Beispiel ist die gewöhnliche Ableitung [mm] $\frac{d}{dx}: C^{1}(M) \rightarrow C^{0}(M), [/mm] f [mm] \mapsto \frac{d}{dx} [/mm] (f) = [mm] \frac{d f}{dx}$ [/mm]

3. Frage: Hier wäre $M [mm] \subseteq \mathbb{R}$ [/mm] und $f$ eine stetig diffbare Abbildung $f: M [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] (also eindimensionale Funktion), oder?

Der Name des Differentialoperators irritiert mich ein wenig. Nur, um auf Nummer sicher zu gehen:

Die Ableitung einer eindimesionalen, rellen Funktion $f$ hat drei Schreibweisen (gibt es noch mehr?), nämlich $f', [mm] f^{(1)}, \frac{df}{dx}$. [/mm]
Dabei ist letztere entscheidend.

Und den Differentialoperator nenne ich dann einfach $D$ oder [mm] $\frac{d}{dx}$, [/mm] also fast identisch wie Schreibweise Nummer 3, nur ohne das $f$.

Habe ich das richtig verstanden?




(2) Ein weiteres Beispiel ist die partielle Ableitung [mm] $\frac{d}{dx_{i}}: C^{1}(M) \rightarrow C^{0}(M), [/mm] f [mm] \mapsto \frac{d}{dx_{i}} [/mm] (f) = [mm] \frac{d f}{dx_{i}}$ [/mm]



4. Frage: Hier wäre $M [mm] \subseteq \mathbb{R}^{n}$ [/mm] und $f$ eine stetig diffbare Abbildung $f: M [mm] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$, [/mm] oder?

Die Ableitung einer mehrdim. , rellen Funktion $f$ hat drei Schreibweisen (gibt es noch mehr?), nämlich [mm] $D_{j} [/mm] f, [mm] \partial_{j} [/mm] f,  [mm] \frac{df}{dx_{j}}$. [/mm]
Dabei ist letztere wieder entscheidend.

Nenne ich den Differentialoperator in diesem Fall auch nur $D$ oder [mm] $\frac{df}{dx_{j}}$ [/mm] ? Oder gibt es noch andere Namen dafür?




Bedanke mich im Voraus.

Gruß



        
Bezug
Gewöhnl. Differentialoperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:16 Di 31.08.2021
Autor: fred97


> Hallo, ich möchte den Begriff des Differentialoperators
> besser kennenlernen. In der Uni hat man den schwammig
> eingeführt, so dass ich am Anfang nicht genau wusste, was
> das überhaupt für ein mathematisches Objekt ist.
>
> Ich weiß nicht, ob es bessere Quellen dafür gibt, aber
> ich habe da mal einfach bei Wiki nachgeschaut. Die
> Definitionen dort verwirren mich leider auch, daher habe
> ich ein paar Fragen dazu.
>
>
>
> Definition I: Linearer Differentialoperator erster Ordnung
>  
> Sei [mm]M \subseteq \mathbb{R}^{n}[/mm] eine offene Teilmenge.
>  
> Ein linearer Differentialoperator erster Ordnung ist eine
> Abbildung
>
> [mm]D: C^{1}(M) \rightarrow C^{0}(M), u \mapsto \sum\limits_{i = 1}^{n} a_{i} \partial x_{i} u[/mm],
> wobei [mm]a_{i}[/mm] eine stetige Funktion ist.
>
>
> 1. Frage: Das Symbol [mm]C^{1}(M)[/mm] steht doch für die Menge
> aller einfach stetig total diffbaren Funktionen von [mm]M[/mm] nach
> [mm]\mathbb{R}^{n}[/mm], oder?


[mm]C^{1}(M)[/mm] ist die Menge der Funktionen $u:M [mm] \to \IR$, [/mm] die in jedem Punkt in M nach jeder Variablen partiell differenzierbar sind und die partiellen Ableitungen [mm] $\partial_{x_i}u$ [/mm] alle auf M stetig sind. Ein Satz, den Ihr sicher hattet, besagt dann, das $u$ auf M total differnzierbar ist.



>  Und in [mm]C^{0}(M)[/mm] sind nur Funktionen

> [mm]f: M \rightarrow \mathbb{R}^{n}[/mm], die nicht mehr total
> differenzierbar sind?

[mm]C^{0}(M)[/mm] ist die Menge der stetigen Funktionen auf M.




> Wie ist das zu verstehen?  und ist

> total differenzierbar hier das richtige Wort oder meint man
> hier eine andere Differenzierbarkeit?
>   
>  
>
> Definition II: Gewöhnlicher Differentialoperator
>  
> Analog zur Definition des Differentialoperators erster
> Ordnung ist ein gewöhnlicher Differentialoperator der
> Ordnung [mm]k[/mm] eine Abbildung
>
> [mm]D: C^{k}(M) \rightarrow C^{0}(M), f \mapsto \sum\limits_{i = 0}^{k} a_{i} \left ( \frac{d^{i} f}{dx^{i}} \right )^{\beta_{i}}[/mm]
>  
>
> Die [mm]a_{i}[/mm] sind wieder stetige Funktionen und im Fall
> [mm]\beta_{i} = 1[/mm] nennt man diesen Operator einen
> gewöhnlichen, linearen Differentialoperator.
>


>
> 2. Frage: In der ersten Definition tauchen bei der Summe
> die partiellen Ableitungen von [mm]u[/mm] auf. Warum tauchen in der
> zweiten Definition die partiellen Ableitungen nicht auf? Da
> tauchen nur die vielfachen Ableitungen von [mm]f[/mm] nach der
> einzigen Variablen [mm]x[/mm] auf.
>

Hier ist $M$ eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und [mm] \frac{d^i}{d x^i}f=f^{(i)} [/mm] = i-te Ableitung von f.

>  
>
> Dann werden noch ein paar Beispiele aufgelistet:
>  
>
> Beispiele:
>  
>
> (1) Ein Beispiel ist die gewöhnliche Ableitung
> [mm]\frac{d}{dx}: C^{1}(M) \rightarrow C^{0}(M), f \mapsto \frac{d}{dx} (f) = \frac{d f}{dx}[/mm]
>  
> 3. Frage: Hier wäre [mm]M \subseteq \mathbb{R}[/mm] und [mm]f[/mm] eine
> stetig diffbare Abbildung [mm]f: M \rightarrow \mathbb{R}[/mm] (also
> eindimensionale Funktion), oder?
>
> Der Name des Differentialoperators irritiert mich ein
> wenig. Nur, um auf Nummer sicher zu gehen:
>
> Die Ableitung einer eindimesionalen, rellen Funktion [mm]f[/mm] hat
> drei Schreibweisen (gibt es noch mehr?), nämlich [mm]f', f^{(1)}, \frac{df}{dx}[/mm].
>
> Dabei ist letztere entscheidend.
>
> Und den Differentialoperator nenne ich dann einfach [mm]D[/mm] oder
> [mm]\frac{d}{dx}[/mm], also fast identisch wie Schreibweise Nummer
> 3, nur ohne das [mm]f[/mm].
>
> Habe ich das richtig verstanden?

In diesem Beispiel ordnet der Operator [mm]\frac{d}{dx}[/mm] einer Funktion $f [mm] \in C^1(M)$ [/mm] einfach die Ableitung $f'$ zu. Also

    [mm]\frac{d}{dx}f=f'[/mm].

>  
>
>
> (2) Ein weiteres Beispiel ist die partielle Ableitung
> [mm]\frac{d}{dx_{i}}: C^{1}(M) \rightarrow C^{0}(M), f \mapsto \frac{d}{dx_{i}} (f) = \frac{d f}{dx_{i}}[/mm]
>  
>
>
> 4. Frage: Hier wäre [mm]M \subseteq \mathbb{R}^{n}[/mm] und [mm]f[/mm] eine
> stetig diffbare Abbildung [mm]f: M \rightarrow \mathbb{R}^{n}[/mm],
> oder?
>
> Die Ableitung einer mehrdim. , rellen Funktion [mm]f[/mm] hat drei
> Schreibweisen (gibt es noch mehr?), nämlich [mm]D_{j} f, \partial_{j} f, \frac{df}{dx_{j}}[/mm].
>
> Dabei ist letztere wieder entscheidend.
>
> Nenne ich den Differentialoperator in diesem Fall auch nur
> [mm]D[/mm] oder [mm]\frac{df}{dx_{j}}[/mm] ? Oder gibt es noch andere Namen
> dafür?
>
>


Hier ist wieder $M [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] und der Operator  [mm]\frac{d}{dx_{j}}[/mm]  ordnet einer Funktion $f [mm] \in C^1(M)$ [/mm] die partielle Ableitung von f nach [mm] x_j [/mm] zu. Also:

[mm]\frac{d}{dx_{j}}f= \frac{\partial f}{\partial x_j}[/mm] .

Die Bezeichnung D wäre hier schlecht, denn aus ihr geht nicht hervor, nach welcher Variablen partiell differenziert wird.

>  
>
> Bedanke mich im Voraus.
>  
> Gruß
>
>  


Bezug
                
Bezug
Gewöhnl. Differentialoperator: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:16 Do 02.09.2021
Autor: inkeddude

Hallo, vielen Dank. Du hast mir enorm weitergeholfen. Hatte gestern leider keine Zeit, um zu antworten.  3 Fragen hätte ich noch.




1.  Frage:

Wenn die Definition des linearen Differentialoperators erster Ordnung (Definition I) ein Spezialfall des gewöhnlichen Differentialopertors $k$ - Ordnung ist, warum tauchen dann in Definition I die partiellen Ableitungen auf und in Definition II nicht?

Oder ist Definition I ein partieller linearer Differentialoperator erster Ordnung und das Wort „partiell“ wurde da einfach weggelassen? Das würde aus meiner Sicht viel mehr Sinn ergeben.


2. Frage: Statt [mm] $C^k(M)$ [/mm] haben wir in der Uni immer [mm] $C^k(M, \mathbb{R}^{n})$geschrieben. [/mm] Das ist die Menge aller $k$ - fach total diffbaren Funktionen $u: M [mm] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$. [/mm]

Oder sollte man besser sagen: Das ist die Menge aller mindestens $k$ - fach total diffbaren Funktionen $u: M [mm] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ [/mm] ?

3. Frage:

Ich habe die Definition des gew. Differentialoperator und des Part. Differentialoperator untereinander, etwas kompakter abgetippt.


Definition: Gewöhnlicher Differentialoperator der Ordnung $k$

Seien $M [mm] \subseteq \mathbb{R}$ [/mm] und $k, n [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm]
Wir schreiben $T := [mm] C^{0} \left (M, \mathbb{R} \right [/mm] )$

Dann heisst die Abbbildung $D: [mm] C^{k} \left (M, \mathbb{R} \right [/mm] ) [mm] \rightarrow C^{0} \left (M, \mathbb{R} \right [/mm] ), f [mm] \mapsto \sum\limits_{\substack{i \in I_{n} \\ a_{i} \in T}} a_{i} \left ( \frac{d^{i} f}{dx^{i}}\right )^{\beta_{i}}$ [/mm] gewöhnlicher Differentialoperator der Ordnung $k$.


Definition: Partieller Differentialoperator der Ordnung $k$

Seien $M [mm] \subseteq \mathbb{R}^{n}$ [/mm] und $k, n [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm]
Wir schreiben [mm] $T_{n} [/mm] := [mm] C^{0} \left (M, \mathbb{R}^{n} \right [/mm] )$

Dann heisst die Abbbildung $D: [mm] C^{k} \left (M, \mathbb{R}^{n} \right [/mm] ) [mm] \rightarrow C^{0} \left (M, \mathbb{R}^{n} \right [/mm] ), f [mm] \mapsto \sum\limits_{i } \sum\limits_{\substack{\vert a \vert \le k \\ a_{\alpha, i} \in T_{n}}} a_{\alpha, i} \cdot \left ( \frac{\partial^{\alpha} f}{\partial x^{\alpha}} \right )^{i}$ [/mm] partieller Differentialoperator der Ordnung $k$.


Warum hat man in der ersten Definition als Hochzahl die [mm] $\beta_{i}$ [/mm] und in der zweiten Definition nur die $i$ als Hochzahl? Die [mm] $\beta_{i}$ [/mm] kann man frei wählen, aber die $i$ nicht. Warum nicht?

Sind die [mm] $\beta_{i}$ [/mm] außerdem immer ganzzahlig, oder können sie auch mal rational, irrational, oder komplex sein?

Und was soll [mm] $\sum\limits_{i }$ [/mm] bedeuten? Bis wohin soll $i$ denn gehen?

Wäre echt mega, wenn du mir die Fragen noch beantworten könntest:-)
Gruß

Bezug
                        
Bezug
Gewöhnl. Differentialoperator: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Fr 10.09.2021
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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