Ggt im Polynomring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler von
[mm] p(x)=x^5 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 2x+2
und
[mm] q(x)=2x^3 [/mm] + 2x+1
im Polynomring [mm] \IZ_3[x]. [/mm] |
Hallo,
den Ggt sollte ich eigentlich berechnen können, aber wie beschränke ich mich auf [mm] \IZ_3[x]?
[/mm]
Wandelt man erst p(x) und q(x) auf [mm] \IZ_3[x] [/mm] um? Also so:
[mm] p(x)=x^5 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 2x+2 => [mm] x^2+x^2 [/mm] + 2x + 2 = [mm] 2x^2 [/mm] + 2x+2
[mm] q(x)=2x^3 [/mm] + 2x+1 => [mm] 2x^0 [/mm] + 2x + 1 = 2x+3
und rechnet dann den Ggt aus?
Liebe Grüße
sommer![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
|
|
| |
|
> Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler von
> [mm]p(x)=x^5[/mm] + [mm]x^2[/mm] + 2x+2
> und
> [mm]q(x)=2x^3[/mm] + 2x+1
> im Polynomring [mm]\IZ_3[x].[/mm]
> Hallo,
>
> den Ggt sollte ich eigentlich berechnen können, aber wie
> beschränke ich mich auf [mm]\IZ_3[x]?[/mm]
> Wandelt man erst p(x) und q(x) auf [mm]\IZ_3[x][/mm] um? Also so:
> [mm]p(x)=x^5[/mm] + [mm]x^2[/mm] + 2x+2 => [mm]x^2+x^2[/mm] + 2x + 2 = [mm]2x^2[/mm] + 2x+2
> [mm]q(x)=2x^3[/mm] + 2x+1 => [mm]2x^0[/mm] + 2x + 1 = 2x+3
dieses Ergebnis könnte man sogar zu 2x vereinfachen !
(weil 3=0 mod 3)
dann sieht man wenigstens einmal einen gemeinsamen Teiler, nämlich 2 !
> und rechnet dann den Ggt aus?
es bleibt dann noch die Frage, ob [mm] (x^2+x+1) [/mm] und x einen weiteren
gemeinsamen Teiler (≠1) haben. Das ist offensichtlich nicht
der Fall.
Also ist 2 hier schon der ggT
Lieben Gruß Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Hi,
danke für deine Antwort!
Aber ist statt 2 nicht 2x der Ggt? 2 ist ja auch ein Teiler, aber nicht der größte.
Ich habe:
[mm] (2x^2+2x+2):(2x)=x+1+\bruch{1}{x} [/mm] Rest 0
Liebe Grüße
sommer
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> danke für deine Antwort!
>
> Aber ist statt 2 nicht 2x der Ggt? 2 ist ja auch ein
> Teiler, aber nicht der größte.
>
> Ich habe:
> [mm](2x^2+2x+2):(2x)=x+1+\bruch{1}{x}[/mm] Rest 0
>
>
> Liebe Grüße
> sommer
>
[mm] x+1+\bruch{1}{x} [/mm] ist kein Polynom, weil [mm] \bruch{1}{x} [/mm] keines ist !
|
|
|
| |
|
meine obige "Mitteilung" war eigentlich schon eine Antwort
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler von
[mm] p(x)=x^5 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + 2x+2
und
[mm] q(x)=2x^3 [/mm] + 2x+1
im Polynomring [mm] \IZ_3[x]. [/mm] |
hallo Algebra-Experten, hallo sommer !
Möglicherweise habe ich in meinen obigen Beiträgen
ziemlichen Käse geschrieben. Ich lasse mich gerne
eines Besseren belehren, aber in dem Gebiet bin ich
nicht mehr so sattelfest; jedenfalls bin ich mir da
nicht mehr sicher. 
wer weiß Bescheid ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Sa 04.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
wenn man den ggT in [mm] $\mathbb{Z}_3[x] [/mm] = [mm] {}^\mathbb{Z}/_{3 \mathbb{Z}} [/mm] [x]$ berechnen will darf man die koeffizienten modulo $3$ reduzieren, nicht jedoch die exponenten - polynome über einem körper sind immer noch formale summen der form [mm] $a_nx^n [/mm] + ... + a_1x + [mm] a_0$, [/mm] die terme fallen auch dann nicht weg, wenn die charakteristik einen exponeneten teilt. in diesem fall kann man vorher also gar nichts reduzieren, da alle koeffizienten schon aus $0, 1, 2$ sind.
danach kann man einfach mit dem euklidischen algorithmus wie gewohnt den ggT berechnen. hier erhält man - sofern ich mich nicht verrechnet habe -, dass die polynome teilerfremd sind.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
> hi
>
> wenn man den ggT in [mm]\mathbb{Z}_3[x] = {}^\mathbb{Z}/_{3 \mathbb{Z}} [x][/mm]
> berechnen will darf man die koeffizienten modulo [mm]3[/mm]
> reduzieren, nicht jedoch die exponenten - polynome über
> einem körper sind immer noch formale summen der form [mm]a_nx^n + ... + a_1x + a_0[/mm],
> die terme fallen auch dann nicht weg, wenn die
> charakteristik einen exponeneten teilt. in diesem fall kann
> man vorher also gar nichts reduzieren, da alle
> koeffizienten schon aus [mm]0, 1, 2[/mm] sind.
> danach kann man einfach mit dem euklidischen algorithmus
> wie gewohnt den ggT berechnen. hier erhält man - sofern ich
> mich nicht verrechnet habe -, dass die polynome teilerfremd
> sind.
>
> grüße
> andreas
Hallo Andreas,
Danke für deine Antwort. Im Polynomring über [mm] \IZ_3 [/mm] darf man
sich das X aber doch vorstellen als eine "Variable", deren
potentielle Werte aus [mm] \IZ_3 [/mm] stammen, also aus {0,1,2}.
Für die Potenzen von X in diesem Bereich habe ich mir die
folgende Tabelle gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Daraus ist ersichtlich, dass für alle möglichen Werte von X
die Gleichungen gelten:
[mm] X^1=X^3=X^5=...
[/mm]
[mm] X^2=X^4=X^6=...
[/mm]
Damit sollte man die Potenzen von X eigentlich reduzieren
können; allerdings nicht einfach die Exponenten mod 3 (!!).
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Sa 04.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo,
> Danke für deine Antwort. Im Polynomring über [mm]\IZ_3[/mm] darf
> man
> sich das X aber doch vorstellen als eine "Variable",
> deren
> potentielle Werte aus [mm]\IZ_3[/mm] stammen, also aus {0,1,2}.
wenn man ein polynom $f [mm] \in [/mm] K[X]$ mit seiner polynomfunktion über $K$, also der auswertungsabbildung $K [mm] \longrightarrow [/mm] K; a [mm] \longmapsto [/mm] f(a)$ identifiziert, so kann man sich das schon so vorstellen und dann auch die exponenten entsprechend reduzieren (im fall von endlichen körpern hilft einem dabei dann auch der "kleine satz von fermat", mit diesem erhält man dann auch genau das von dir unten angegeben schema).
allerdings sehen algebraiker polynome erstmal als formale summen an, welche einen ring bilden, der alleine auch schon von interesse ist - ohne die polynome in irgendeiner form als funktionen zu betrachten.
allerdings gibt es dann auch die möglichkeit in polynome aus $K[X]$ deutlich mehr einzusetzen, nämlich werte aus jeder ![[]](/images/popup.gif) K-algebra. dies geschieht etwa beim satz von cayley-hamilton (jeder endomorphismus erfüllt sein minimalpolynom) oder bei der konstruktion von körpererweiterungen. dabei sind polynome hier natürlich nicht mehr gleich, wenn sie überall auf $K$ gleich auswerten.
ich hoffe das klärt die frage 
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
> hallo,
>
> > Danke für deine Antwort. Im Polynomring über [mm]\IZ_3[/mm] darf
> > man
> > sich das X aber doch vorstellen als eine "Variable",
> > deren
> > potentielle Werte aus [mm]\IZ_3[/mm] stammen, also aus {0,1,2}.
>
> wenn man ein polynom [mm]f \in K[X][/mm] mit seiner polynomfunktion
> über [mm]K[/mm], also der auswertungsabbildung [mm]K \longrightarrow K; a \longmapsto f(a)[/mm]
> identifiziert, so kann man sich das schon so vorstellen und
> dann auch die exponenten entsprechend reduzieren (im fall
> von endlichen körpern hilft einem dabei dann auch der
> "kleine satz von fermat", mit diesem erhält man dann auch
> genau das von dir unten angegeben schema).
> allerdings sehen algebraiker polynome erstmal als formale
> summen an, welche einen ring bilden, der alleine auch schon
> von interesse ist - ohne die polynome in irgendeiner form
> als funktionen zu betrachten.
> allerdings gibt es dann auch die möglichkeit in polynome
> aus [mm]K[X][/mm] deutlich mehr einzusetzen, nämlich werte aus jeder
> K-algebra.
> dies geschieht etwa beim satz von cayley-hamilton (jeder
> endomorphismus erfüllt sein minimalpolynom) oder bei der
> konstruktion von körpererweiterungen. dabei sind polynome
> hier natürlich nicht mehr gleich, wenn sie überall auf [mm]K[/mm]
> gleich auswerten.
>
> ich hoffe das klärt die frage
>
> grüße
> andreas
Danke !
Kannst du auch absehen, was die unterschiedlichen Betrach-
tungsweisen (formale Polynome oder Polynome mit [mm] X\in [/mm] K)
bei den hier gefragten Themen Teilbarkeit / ggT für Konse-
quenzen haben ?
Die vorliegenden Polynome
[mm] p(X)=X^5+X^2+2X+2 [/mm] und [mm] q(X)=2X^3+2X+1
[/mm]
werden mit der Voraussetzung [mm] X\in \IZ_3 [/mm] reduziert zu:
[mm] \overline{p}(X)=X^2+2 [/mm] und [mm] \overline{q}(X)=X+1
[/mm]
Ist dann z.B. zwangsläufig [mm] ggT(p(X),q(X))=ggT(\overline{p}(X),\overline{q}(X)) [/mm] ?
Ich denk ja eher nicht...
...und wie soll nun sommer die Aufgabe interpretieren ?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 04.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
> Kannst du auch absehen, was die unterschiedlichen Betrach-
> tungsweisen (formale Polynome oder Polynome mit [mm]X\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K)
> bei den hier gefragten Themen Teilbarkeit / ggT für
> Konse-
> quenzen haben ?
so wie ich das derzeit sehe, ist der ring, den man erhält, wenn man gerade die auswertung zulässt, isomorph zu ${}^{\mathbb{F}_3[X]}}/_{(X^3 - X)}$, man hat also einen surjektiven ringhomomorphismus $\mathbb{F}_3[X] \longrightarrow {}^{\mathbb{F}_3[X]}}/_{(X^3 - X)}; \; f \longmapsto \overline{f}$. damit überträgt sich natürlich teilbarkeit in einem gewissen sinne: ist $f = p \cdot q$, so ist $\overline{f} = \overline{p \cdot q} = \overline{p}\cdot\overline{q}$. allerings muss man beachten, dass der faktorring nun nullteiler besitzt (es können also die reduzierten ausdrücke auf einmal verschwinden, obwohl sie davor durchaus nicht $0$ waren), insbesondere ist er nicht mehr faktoriell, damit passieren so sonderbare sachen wie $\overline{(X^2 + 1)} \cdot \overline{(X^2 + 1)} = \overline{1}$ und damit $\overline{(X^2 + 1)} \, | \, \overline{1}$.
EDIT: um die ganze sache nochmal etwas genauer fest zu halten hier noch eine kurze erklärung. der betrachtete ring ist $R = \mathbb{F}_3^{\mathbb{F}_3} = \{f : \mathbb{F}_3 \longrightarrow \mathbb{F}_3\} \cong \mathbb{F}_3^3$ mit punktweisen beziehungsweise komponentenweisen verknüpfungen addition und multiplikation. mit lagrange interpolation sieht man, dass sich alle funktionen $\mathbb{F}_3 \longrightarrow \mathbb{F}_3$ als polynome realisieren lassen, die abbildung $\Phi: \mathbb{F}_3[X] \longrightarrow \mathbb{F}_3^3; \; p \longmapsto (p(0), p(1), p(2))$ vermittelt also mittels homomorphiesatz einen isomorphismus ${}^{\displaystyle{\mathbb{F}_3[X]}}/_{\displaystyle{\ker \Phi}} \cong \mathbb{F}_3^3$, wobei $\ker \Phi = \{p \in \mathbb{F}_3[X] : p(0) = p(1) = p(2) = 0\} = (X(X + 2)(X + 1)) = (X^3 - X)$.
ENDE EDIT
> Die vorliegenden Polynome
>
> [mm]p(X)=X^5+X^2+2X+2[/mm] und [mm]q(X)=2X^3+2X+1[/mm]
>
> werden mit der Voraussetzung [mm]X\in \IZ_3[/mm] reduziert zu:
>
> [mm]\overline{p}(X)=X^2+2[/mm] und
> [mm]\overline{q}(X)=X+1[/mm]
>
> Ist dann z.B. zwangsläufig
> [mm]ggT(p(X),q(X))=ggT(\overline{p}(X),\overline{q}(X))[/mm] ?
> Ich denk ja eher nicht...
> ...und wie soll nun sommer die Aufgabe
> interpretieren ?
ich würde die aufgabe auf jeden fall im sinne des formalen polynomrings betrachten, dann hat man auch das hilfsmittel des euklidischen algorithmus zur verfügung und muss sich auch keine weiteren gedanken darüber machen, wie man den ggT definiert.
grüße
andreas
|
|
|
|
