Gibt es eine lineare Abb.? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Sa 04.02.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Hätte mal eine ganz allgemeine Frage:
Angenommen ich habe 3 vektoren [mm] v_i [/mm] und drei vektoren [mm] w_i [/mm] und soll eine lineare Abbildung vom [mm] IR^3 [/mm] in den [mm] IR^3 [/mm] angeben mit [mm] f(v_i)=w_i.
[/mm]
Bzw. will prüfen, ob eine solche Abb überhaupt existiert. Wie kann ich dann vorgehen? |
Vermutlich muss ich i-ein LGS lösen. Aber was muss da rein?
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Hiho,
1. Möglichkeit: Du weißt, jede lineare Abbildung [mm] $f:\IR^3 \to \IR^3$ [/mm] lässt sich als Matrix A bezüglich der Standardbasis darstellen.
Dann erhälst du Gleichungen der Form
[mm] $A*v_i [/mm] = [mm] w_i$
[/mm]
welche du normal mit dem Gauß-Algorithmus lösen kannst.
2. Möglichkeit: Du stellst sicher, dass deine drei Gleichungen [mm] $f(v_i) [/mm] = [mm] w_i$ [/mm] keinen Widerspruch erzeugen, dann hast du dadurch sofort deine lineare Abbildung für alle Vektoren $v [mm] \in $. [/mm] Warum?
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Sa 04.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hätte mal eine ganz allgemeine Frage:
> Angenommen ich habe 3 vektoren [mm]v_i[/mm] und drei vektoren [mm]w_i[/mm]
> und soll eine lineare Abbildung vom [mm]IR^3[/mm] in den [mm]IR^3[/mm]
> angeben mit [mm]f(v_i)=w_i.[/mm]
> Bzw. will prüfen, ob eine solche Abb überhaupt
> existiert. Wie kann ich dann vorgehen?
> Vermutlich muss ich i-ein LGS lösen. Aber was muss da
> rein?
neben Gonozals Vorschlägen würde ich erstmal hergehen, und schauen, welchen Raum die drei Vektoren [mm] $v_i\,$ [/mm] aufspannen. Wenn die drei Vektoren zum Beispiel linear abhängig sind, sie also nur "eine Ursprungsgerade" repräsentieren, dann ist es sehr leicht, sich zu überlegen, wann eine solche lineare Abbildung existiert. (Vgl. etwa ![[]](/images/popup.gif) Hilfssatz 9.7).
Wenn man nun Abbildungen [mm] $\IR^n \to \IR^m$ [/mm] hat und dann die Vektoren [mm] $v_i$ [/mm] alle genau in $A [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] liegen, dann könnte man auch erstmal für [mm] $\text{span}A$ [/mm] eine Basis angeben - mit dieser erstmal weiterdenken. Wenn man dann weiterkommt, kann man diese ggf. zu einer Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] erweitern, und dann weiterdenken. (Was gilt nun, was bleibt noch zu prüfen? Etc. pp.)
Da es zum Theorieverständnis sehr hilfreich ist, würde ich Dir empfehlen, mal bei Gelegenheit in Bosch, lineare Algebra (hoffentlich habt ihr das in Eurer Bibliothek) in dem bzw. in den entsprechenden Kapitel/n nachzugucken. Du kannst aber auch mal ein wenig im obigen Skript nachgucken, oder auch mal
hier
reinzugucken.
Manchmal helfen auch einfache Feststellungen, die man etwa mittels des Dimensionssatzes für lineare Abbildungen erhält:
Kann man eine lineare Abbildung $f: [mm] \IR^2 \to \IR^3$ [/mm] angeben, die [mm] $f(1,0)=(1,0,0),\,f(0,1)=(1,0,1)$ [/mm] und [mm] $f(1,1)=(0,1,0)\,$ [/mm] erfüllt? Antwort: Nein. Gäbe es sie doch, so würde der Dimensionssatz liefern [mm] $2=\dim(\IR^2)=\dim(f(\IR^2))+\dim(\text{ker}f)=3+0=3\,,$ [/mm] unter Beachtung, dass [mm] $f\,$ [/mm] injektiv ist und die obenstehenden Vektoren $(1,0,0),(1,0,1)$ und $(0,1,0)$ linear unabhängig sind. Also der Widerspruch [mm] $2=3\,.$
[/mm]
Oder das, worauf ich oben schon hingewiesen habe, mal beispielhaft angewendet:
Kann es eine lineare Abbildung $f: [mm] \IR^{4} \to \IR^2$ [/mm] geben mit
[mm] $$f(1,1,0,0)=(1,1)\,,$$ [/mm]
[mm] $$f(0,1,0,0)=(1,0)\,,$$
[/mm]
[mm] $$f(2,3,0,0)=(5,7)\,,$$
[/mm]
[mm] $$f(1,1,1,0)=(1,0)\,,$$
[/mm]
[mm] $$f(1,1,1,1)=(1,1)\,.$$
[/mm]
Antwort: Nein. Nehmen wir mal die ersten drei Vektoren
$$(1,1,0,0),(0,1,0,0) [mm] \text [/mm] { und }(2,3,0,0)$$
des [mm] $\IR^4\,.$
[/mm]
Offenbar ist [mm] $(2,3,0,0)\,$ [/mm] ein Element aus [mm] $\text{span}\{(0,1,0,0),(1,1,0,0)\}\,,$ [/mm] denn wir haben die Darstellung
[mm] $$(2,3,0,0)=2*(1,1,0,0)+1*(0,1,0,0)\,.$$
[/mm]
Was müßte dann aber, wenn [mm] $f\,$ [/mm] eine solche lineare Abbildung wäre, demnach dann $f(2,3,0,0)$ sein?
Oder ein ähnliches, aber doch etwas anderes Beispiel:
Kann es eine lineare Abbildung $f: [mm] \IR^{5} \to \IR^3$ [/mm] geben mit
[mm] $$f(1,1,0,0,0)=(1,1,0)\,,$$ [/mm]
[mm] $$f(0,1,0,0,0)=(0,1,0)\,,$$
[/mm]
[mm] $$f(2,3,0,0,0)=(1,1,1)\,,$$
[/mm]
[mm] $$f(1,1,1,0,0)=(1,0,7)\,,$$
[/mm]
[mm] $$f(1,1,1,1,1)=(1,1,9)\,.$$
[/mm]
Hier braucht man nichts zu rechnen, um mit "Nein" zu antworten: Denn $(2,3,0,0,0)$ liegt in [mm] $\text{span}\{(1,1,0,0,0),(0,1,0,0,0)\}$ [/mm] (ganz analog zu "obiger [mm] $\IR^4$-Aussage!"), [/mm] aber
$$(1,1,1)$$
liegt NICHT im [mm] $\text{span}\{f(1,1,0,0,0),f(0,1,0,0,0)\}\,.$
[/mm]
P.S.:
Der eigentliche Sinn meiner Antwort ist nur: "Ergänzung." Das soll heißen, neben Gonos Methode, die natürlich immer funktioniert, kann man sich manchmal ein wenig das Leben erleichtern, wenn man an gewisse Eigenschaften/Sätze denkt, und ein wenig genauer hinguckt - das kann "unnötigen Rechenaufwand" ersparen!
(Zum Beispiel sollte man direkt auch mit "Nein!" antworten, wenn jemand nach einer linearen Abbildung fragt, die den Nullvektor auf einen Nichtnullvektor abbildet: Bekanntlich erfüllt jede lineare Abbildung $f:V [mm] \to [/mm] W$ die Gleichheit [mm] $f(0_V)=0_W\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 04.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Ich versuchs mir mal am Beispiel klar zu machen:
gegeben sind:
[mm] v_1=\vektor{1 \\ -3 \\ 2 \\1}, v_2=\vektor{3 \\ 1 \\0 \\-7}, v_3=\vektor{4 \\ -7 \\5 \\-1}, w_1=\vektor{-1 \\ 1 \\1\\-1}, w_2=\vektor{1 \\ 2 \\3 \\1} [/mm] und [mm] w_3=\vektor{1 \\ 0 \\1 \\0}.
[/mm]
Gibt es eine lineare Abb [mm] f:IR^3-->IR^3 [/mm] sodass [mm] f(v_i)=w_i [/mm] gilt? (mit i=1,2,3)
wenn ich jetzt die [mm] v_i [/mm] und jeweils einen vektor der [mm] w_i [/mm] in ein LGS schreibe (als spalten) und das dann löse und es eine Lösung gibt , gilt dann dass es eine lineare Abb gibt?
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> Ich versuchs mir mal am Beispiel klar zu machen:
> gegeben sind:
> [mm]v_1=\vektor{1 \\ -3 \\ 2 \\1}, v_2=\vektor{3 \\ 1 \\0 \\-7}, v_3=\vektor{4 \\ -7 \\5 \\-1}, w_1=\vektor{-1 \\ 1 \\1\\-1}, w_2=\vektor{1 \\ 2 \\3 \\1}[/mm]
> und [mm]w_3=\vektor{1 \\ 0 \\1 \\0}.[/mm]
> Gibt es eine lineare Abb
> [mm]f:IR^3-->IR^3[/mm] sodass [mm]f(v_i)=w_i[/mm] gilt? (mit i=1,2,3)
Nein !
Wenn schon, müsstest du nach einer linearen Abbildung
[mm]f:IR^4\ \to\ IR^4[/mm] fragen !
> wenn ich jetzt die [mm]v_i[/mm] und jeweils einen vektor der [mm]w_i[/mm] in
> ein LGS schreibe (als spalten) und das dann löse und es
> eine Lösung gibt , gilt dann dass es eine lineare Abb
> gibt?
Das scheint mir zu wenig klar.
Ich würde empfehlen, zunächst zu prüfen, ob die [mm] v_i [/mm] linear
unabhängig sind. Tatsächlich sind sie es nicht, sondern
man kann [mm] v_3 [/mm] als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] schreiben
mit bestimmten Faktoren x und y, also
$\ [mm] v_3\ [/mm] =\ [mm] x*v_1+y*v_2$
[/mm]
Sollte eine lineare Abbildung mit den gewünschten Eigen-
schaften existieren, so müsste diese mit der Bildung der
Linearkombination verträglich sein, d.h. es müsste auch
die Gleichung
$\ [mm] f(v_3)\ [/mm] =\ [mm] x*f(v_1)+y*f(v_2)$
[/mm]
mit den gleichen Faktoren für x und y gelten.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Sa 04.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Al und rollroll,
das von Al demonstrierte Prinzip hatte ich schonmal erklärt - also rollroll: Bitte dran denken und versuch' mal, es nachzuvollziehen.
P.S.:
rollroll: Wolltest Du vllt. unbedingt nun die "Methode mittels Lösen einer LGS" austesten? Dann schreibe das bitte bei Deiner nächsten Frage dazu!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Sa 04.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich versuchs mir mal am Beispiel klar zu machen:
> gegeben sind:
> [mm]v_1=\vektor{1 \\ -3 \\ 2 \\1}, v_2=\vektor{3 \\ 1 \\0 \\-7}, v_3=\vektor{4 \\ -7 \\5 \\-1}, w_1=\vektor{-1 \\ 1 \\1\\-1}, w_2=\vektor{1 \\ 2 \\3 \\1}[/mm]
> und [mm]w_3=\vektor{1 \\ 0 \\1 \\0}.[/mm]
> Gibt es eine lineare Abb
> [mm]f:IR^3-->IR^3[/mm] sodass [mm]f(v_i)=w_i[/mm] gilt? (mit i=1,2,3)
> wenn ich jetzt die [mm]v_i[/mm] und jeweils einen vektor der [mm]w_i[/mm] in
> ein LGS schreibe (als spalten) und das dann löse und es
> eine Lösung gibt , gilt dann dass es eine lineare Abb
> gibt?
Du kannst hier auch so vorgehen:
Eine solche Abbildung [mm] $f:\IR^4 \to \IR^4$ [/mm] hätte die Form [mm] $f(x)=A*x\,$ [/mm] mit $A [mm] \in \IR^{4 \times 4}\,.$
[/mm]
Jetzt schreibe die Spaltenvektoren [mm] $v_i$ [/mm] in eine gemeinsame Matrix [mm] $V\,,$ [/mm] etwa
[mm] $$V:=(v_1,v_2,v_3)=\left(\vektor{1 \\ -3 \\ 2 \\1},\vektor{3 \\ 1 \\0 \\-7},\vektor{4 \\ -7 \\5 \\-1}\right)=\pmat{1 & 3 & 4 \\ -3 & 1 & -7 \\2 & 0 & 5 \\ 1 & -7 & -1}\,.$$
[/mm]
Entsprechend erstellst Du eine Matrix [mm] $W\,$ [/mm] mit den [mm] $w_i\,,$ [/mm] etwa
[mm] $$W=(w_1,w_2,w_3)\,.$$
[/mm]
(Beachte nur: Die Reihenfolge der Spaltenindizes bei [mm] $V\,$ [/mm] muss gleich der von [mm] $W\,$ [/mm] sein. Wenn Du also [mm] $V=(v_3,v_1,v_2)$ [/mm] hättest, dann musst Du auch [mm] $W=(w_3,w_1,w_2)$ [/mm] wählen. Den Grund solltest Du gleich erkennen.)
Dann kannst Du nämlich schreiben:
Eine solche Abbildung existiert genau dann, wenn die Matrix [mm] $A\,$ [/mm] die folgende Matrixngleichung erfüllt:
[mm] $$A*V=W\,.$$
[/mm]
Was macht man nun? Etwas, was einem was bringt: "Gaußalgorithmus (spaltenweise) bzgl. [mm] $V\,$ [/mm] und [mm] $W\,$" [/mm] anwenden, so dass [mm] $V\,$ [/mm] in eine Matrix übergeht, wo vielleicht in je einer Spalte nur noch eine 1 und ansonsten 0en stehen (aber beachte: Operationen müssen auch auf [mm] $W\,$ [/mm] angewendet werden: Also wenn man bei [mm] $V\,$ [/mm] Spalten vertauscht, dann auch entsprechende bei [mm] $W\,;$ [/mm] deswegen habe ich auch "Gaußalgorithmus (spaltenweise) bzgl. [mm] $V\,$ [/mm] und [mm] $W\,$ [/mm] anwenden" geschrieben).
Wenn ich's richtig sehe, muss man hier auch mit den Schritten des Gaußalgorithmusses aufpassen - am besten ist man sich immer im klaren, was man bei den einzelnen Schritten des Gaußalgorithmus tut. Ich denke, am klarsten ist es, wenn man "Spaltenweise" rechnet (s.u.).
Warum bringt das was? Naja, weil man dann etwa sowas ausnutzen kann:
[mm] $$A*\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 }=\pmat{\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 },\text{zweite Spalte von }A}\,.$$
[/mm]
Das ganze ist eigentlich genau das, was Gono auch vorgeschlagen hat, aber dadurch, dass man alles in "Matrizen" behandelt, macht man hier sowas wie einmal "Gaußalgorithmisch auf zwei Matrizen losgehen".
Beispiel:
Wir suchen nach einer linearen Abbildung [mm] $\IR^2 \to \IR^3$ [/mm] mit [mm] $f((1,1)^T)=(2,0,0)^T\,,$ $f((0,1)^T)=(2,2,0)^T$ [/mm] und [mm] $f((1,0)^T)=(2,2,2)^T\,.$
[/mm]
Nehmen wir also an, es gäbe eine entsprechende Matrix $A [mm] \in \IR^{3 \times 2}\,.$ [/mm] Schreibe
[mm] $$A*\pmat{1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0}=\pmat{2 & 2 & 2\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2}\,.$$
[/mm]
Nun rechnen wir, wie oben vorgeschlagen, "spaltenweise gaußalgorithmisch":
Wir schreiben das Ergebis "1-te Spalte von [mm] $V\,$ [/mm] minus 2-te Spalte von [mm] $V\,$" [/mm] in die erste Spalte von [mm] $V'\,$ [/mm] (Rest bleibt gleich) analog rechnen wir 1-te Spalte von [mm] $W\,$ [/mm] minus 2-te Spalte von [mm] $W\,$" [/mm] und schreiben das in [mm] $W'\,,$ [/mm] so dass
$$A*V'=W'$$
gerade bedeutet:
[mm] $$A*\pmat{1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0}=\pmat{0 & 2 & 2\\ -2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2}\,.$$
[/mm]
(Was haben wir gemacht? Das GLS [mm] $Av_i=w_i$ [/mm] umgeschrieben in
[mm] $$A(v_1-v_2)=w_1-w_2,\,Av_2=w_2\,,Av_3=w_3\,.$$
[/mm]
Letzteres steckt in der Gleichung [mm] $AV'=W'\,.$)
[/mm]
Und das können wir deuten:
Die zweite Spalte von [mm] $A\,$ [/mm] muss
[mm] $$=\vektor{2\\2\\0}$$
[/mm]
sein.
Aber:
Die erste Spalte von [mm] $A\,$ [/mm] muss demnach einerseits
[mm] $$=\vektor{0\\-2\\0}$$
[/mm]
sein, andererseits auch
[mm] $$=\vektor{2\\2\\2}\,.$$
[/mm]
Widerspruch. Daher gibt's eine solche nicht!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 07.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Danke für die ganzen Hinweise, da ich mich schon länegr nicht mehr gemeldet habe , schreibe ich am besten die ganze aufgabe wieder hin, auf die ich mich beziehe.
gegeben sind die Vektoren in [mm] IR^4:
[/mm]
[mm] v_1=\vektor{1 \\ -3 \\2\\1}, v_2=\vektor{3 \\ 1 \\0\\7}, v_3=\vektor{-1 \\ -2 \\1 \\4 }, v_4=\vektor{4 \\ -7 \\5\\-1}, w_1=\vektor{-1 \\ 1 \\1\\-1}, w_2=\vektor{1 \\ 2 \\3 \\1}, w_3=\vektor{2 \\ 3 \\-2 \\4}, w_4=\vektor{1 \\ 0 \\1\\0}.
[/mm]
Gibt es eine lineare Abb [mm] f:IR^4-->IR^4 [/mm] sodass [mm] f(v_i)=w_i [/mm] für i=1,2,3,4?
Ich würde die Aufgabe gerne mit gauß lösen (am liebsten wäre mir ein Rezept dass man immer anwenden kann)
Also wenn ich dich Marcel richtig verstanden habe,
besteht eine Möglichkeit darin, die Vektoren [mm] v_i [/mm] und [mm] w_i [/mm] als Spalten in jeweils eine Matrix zu schreiben und dann durch zeilenumformung die Matrix mir den [mm] v_i [/mm] als Spalten auf redZSF zu bringen. Und die gleichen Schritte dann auch bei der 2.Matrix durchführen. Stimmt das?
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> Danke für die ganzen Hinweise, da ich mich schon länegr
> nicht mehr gemeldet habe , schreibe ich am besten die ganze
> aufgabe wieder hin, auf die ich mich beziehe.
>
> gegeben sind die Vektoren in [mm]IR^4:[/mm]
>
> [mm]v_1=\vektor{1 \\
-3 \\
2\\
1}, v_2=\vektor{3 \\
1 \\
0\\
7}, v_3=\vektor{-1 \\
-2 \\
1 \\
4 }, v_4=\vektor{4 \\
-7 \\
5\\
-1}, w_1=\vektor{-1 \\
1 \\
1\\
-1}, w_2=\vektor{1 \\
2 \\
3 \\
1}, w_3=\vektor{2 \\
3 \\
-2 \\
4}, w_4=\vektor{1 \\
0 \\
1\\
0}.[/mm]
>
> Gibt es eine lineare Abb [mm]f:IR^4-->IR^4[/mm] sodass [mm]f(v_i)=w_i[/mm]
> für i=1,2,3,4?
>
> Ich würde die Aufgabe gerne mit gauß lösen (am liebsten
> wäre mir ein Rezept dass man immer anwenden kann)
Hallo,
ein Rezept:
Gegeben sind [mm] v_1,..., v_m [/mm] und [mm] w_1,..., w_m, [/mm]
und Du sollst sagen, ob es eine lineare Abbildung f gibt
mit [mm] f(v_i)=w_i [/mm] für alle i.
Guck nach, ob die [mm] v_i [/mm] linear unabhängig sind. (In Matrix stellen und gucken, ob deren Rang = der Anzahl der Spalten ist.)
Wenn dies der Fall ist, bist Du fertig.
Es gibt solch eine lineare Abbildung, nämlich durch [mm] f(a_1v_1+...+a_mv_m):=a_1w_1+....+a_mw_m [/mm] definierte.
Das war in der Vorlesung dran. ("Jede lineare Abbildung ist durch Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.)
Wenn die [mm] v_i [/mm] nicht linear unabhängig sind, der Rang der oben beschriebenen Matrix also kleiner als m, etwa =k ist, pick Dir eine linear unabhängige Teilmenge aus k Vektoren heraus.
Ich erkläre jetzt an einem Beispiel weiter:
Mal angenommen, Du hast [mm] v_1,..., v_5, [/mm] und stellst fest, daß der Rang der Matrix =3 und daß [mm] (v_1, v_3, v_5) [/mm] eine max. linear unabhängige Teilmenge ist.
Es gibt eine lineare Abbildung mit [mm] f(v_i)=w_i [/mm] für i=1,3,5.
Du mußt nun prüfen, ob die Forderung [mm] f(v_2)=w_2 [/mm] und [mm] f(v_4)=w_4 [/mm] sich mit den obigen Funktionswerten verträgt.
Schreibe dazu [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] als Linearkombination von [mm] (v_1, v_3, v_5).
[/mm]
Etwa sei [mm] v_2=v_1+2v_3+7v_5.
[/mm]
Im Falle, daß es eine lineare Abbildung wie gefordert gibt, muß gelten
[mm] \green{w_2=}f(v_2)=f(v_1+2v_3+7v_5)=\green{w_1+2w_3+7w_5}
[/mm]
Wenn das Grüne stimmt, mußt Du entsprechend noch für [mm] f(v_4) [/mm] testen,
wenn nicht, ist die Linearität bereits gestorben, und Du kannst was anderes machen.
Ich hoffe, daß Du verstehen konntest, was ich Dir sagen wollte.
Am besten probierst Du es an Deinem Beispiel.
LG Angela
>
> Also wenn ich dich Marcel richtig verstanden habe,
> besteht eine Möglichkeit darin, die Vektoren [mm]v_i[/mm] und [mm]w_i[/mm]
> als Spalten in jeweils eine Matrix zu schreiben und dann
> durch zeilenumformung die Matrix mir den [mm]v_i[/mm] als Spalten
> auf redZSF zu bringen. Und die gleichen Schritte dann auch
> bei der 2.Matrix durchführen. Stimmt das?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 08.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Hab's jetzt mal mit Angelas Anleitung versucht:
Also wenn ich die 4 Vektoren [mm] v_i [/mm] als Spalten in eine Matrix schreibe und den Rang bestimme, erhalte ich rang=2.
--> Nicht linear unabhängig
Jetzt picke ich mir eine linear u. Teilmenge aus 2 Vektoren heraus,
nämlich [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3.
[/mm]
--> es gibt eine lineare Abb mit [mm] f(v_i)=w_i [/mm] für i=2,3.
Jetzt prüft man, ob gilt: [mm] f(v_1)=w_1, f(v_4)=w_4 [/mm]
Dazu schreibe ich [mm] v_1, v_4 [/mm] und als Linearkombi von [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3.
[/mm]
Es gilt: [mm] v_1=v_2+2v_3
[/mm]
Jetzt muss gelten:
[mm] w_1=f(v_1)=f(v_2+2v_3)=w_2+2w_3 [/mm]
Das ist aber gleich [mm] \vektor{5 \\ 8 \\-1\\9} [/mm] und damit ungleich [mm] w_1.
[/mm]
Damit gilt die linearität nicht und es existiert keine solche lineare Abbildung.
Stimmt das soweit?
Im nächsten Teil der Aufgabe geht es darum, eine Basis des faktorraums [mm] IR^4/U [/mm] zu bestimmen mit U Unterraum = [mm] <\vektor{3 \\ 1\\0\\-7}, \vektor{4 \\ -7 \\5\\-1}, \vektor{-1 \\ -2 \\1 \\4}>
[/mm]
In meinem Skript steht dazu folgender Algorithmus:
Berechne eine Basis eines direkten Komplements u. wähle die Äquivalenzklasse dieser Vektoren. Damit kann ich nicht sonderlich viel anfangen...
Also eine Basis U' des dir.Komplements erhält man ja, indem man die l.u. Familie der Basis von U in die kanonische basis eintauscht und die zusätzlichen Vektoren sind dann eine Basis von U'.
Schreint man dazu die Basisvektoren von U in Spalten in eine Matrix und ergänt diese um die Standardbasen [mm] e_1 [/mm] bis [mm] e_4? [/mm] Und das dann auf redZSF?
Die Dim der basis die am Ende raus kommen soll muss ja 1 sein, denn 4-3=1. Oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Do 09.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Was sagt ihr dazu?
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> Hab's jetzt mal mit Angelas Anleitung versucht:
> Also wenn ich die 4 Vektoren [mm]v_i[/mm] als Spalten in eine
> Matrix schreibe und den Rang bestimme, erhalte ich rang=2.
Hallo,
ich erhalte einen anderen Rang. Prüf das nochmal.
> --> Nicht linear unabhängig
>
> Jetzt picke ich mir eine linear u. Teilmenge aus 2 Vektoren
> heraus,
> nämlich [mm]v_2[/mm] und [mm]v_3.[/mm]
> --> es gibt eine lineare Abb mit [mm]f(v_i)=w_i[/mm] für i=2,3.
> Jetzt prüft man, ob gilt: [mm]f(v_1)=w_1, f(v_4)=w_4[/mm] und
> [mm]f(v_5)=w_5[/mm]
> Dazu schreibe ich [mm]v_1, v_4[/mm] und [mm]v_5[/mm] als Linearkombi von [mm]v_2[/mm]
> und [mm]v_3.[/mm]
Jetzt werde ich wirr: was ist denn [mm] v_5? [/mm]
Bist Du vielleicht bei einer anderen Aufgabe als ich?
LG Angela
>
> Es gilt: [mm]v_1=v_2+2v_3[/mm]
>
> Jetzt muss gelten:
> [mm]w_1=f(v_1)=f(v_2+2v_3)=w_2+2w_3[/mm]
>
> Das ist aber gleich [mm]\vektor{5 \\
8 \\
-1\\
9}[/mm] und damit
> ungleich [mm]w_1.[/mm]
>
> Damit gilt die linearität nicht und es existiert keine
> solche lineare Abbildung.
>
> Stimmt das soweit?
>
> Im nächsten Teil der Aufgabe geht es darum, eine Basis des
> faktorraums [mm]IR^4/U[/mm] zu bestimmen mit U Unterraum =
> [mm]<\vektor{3 \\
1\\
0\\
-7}, \vektor{4 \\
-7 \\
5\\
-1}, \vektor{-1 \\
-2 \\
1 \\
4}>[/mm]
>
> In meinem Skript steht dazu folgender Algorithmus:
> Berechne eine Basis eines direkten Komplements u. wähle
> die Äquivalenzklasse dieser Vektoren. Damit kann ich nicht
> sonderlich viel anfangen...
> Also eine Basis U' des dir.Komplements erhält man ja,
> indem man die l.u. Familie der Basis von U in die
> kanonische basis eintauscht und die zusätzlichen Vektoren
> sind dann eine Basis von U'.
> Schreint man dazu die Basisvektoren von U in Spalten in
> eine Matrix und ergänt diese um die Standardbasen [mm]e_1[/mm] bis
> [mm]e_4?[/mm] Und das dann auf redZSF?
>
> Die Dim der basis die am Ende raus kommen soll muss ja 1
> sein, denn 4-3=1. Oder?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Do 09.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Also ich schreibe doch die [mm] v_i [/mm] als Spalten in eine Matrix
dann hab ich doch:
[mm] \pmat{ 1 & 3 &-1 & 4 \\ -3 & 1 & -2 & -7 \\ 2 & 0 & 1 & 5 \\1 & -7 & 4 & -1 }
[/mm]
Und die hat doch Rang 2... Hab das auch gerade nochmal mit einem ,,Online Matrix Calculator '' geprüft, der liefert dasselbe.
Hab gerade gemerkt, warum du was anderes raus hast: Habe mich bei meinem 1.post der Aufgabe vertippt und das - vor der 7 vergessen... Sorry!!
Ok, [mm] v_5 [/mm] bzw [mm] w_5 [/mm] kannst du einfach überlesen...
Hab das entsprechend gelöscht. Könntest du jetzt noch mal drüber schauen, bitte?
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> Also ich schreibe doch die [mm]v_i[/mm] als Spalten in eine Matrix
> dann hab ich doch:
> [mm]\pmat{ 1 & 3 &-1 & 4 \\
-3 & 1 & -2 & -7 \\
2 & 0 & 1 & 5 \\
1 & -7 & 4 & -1 }[/mm]
>
> Und die hat doch Rang 2... Hab das auch gerade nochmal mit
> einem ,,Online Matrix Calculator '' geprüft, der liefert
> dasselbe.
> Hab gerade gemerkt, warum du was anderes raus hast: Habe
> mich bei meinem 1.post der Aufgabe vertippt und das - vor
> der 7 vergessen... Sorry!!
Hallo,
das erklärt manches.
>
> Ok, [mm]v_5[/mm] bzw [mm]w_5[/mm] kannst du einfach überlesen...
> Hab das entsprechend gelöscht. Könntest du jetzt noch
> mal drüber schauen, bitte?
Deine Vorgehensweise ist richtig, Du scheinst es verstanden zu haben.
Die Zahlen habe ich nicht kontrolliert.
LG Angela
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> Im nächsten Teil der Aufgabe geht es darum, eine Basis des
> faktorraums [mm]IR^4/U[/mm] zu bestimmen mit U Unterraum =
> [mm]<\vektor{3 \\
1\\
0\\
-7}, \vektor{4 \\
-7 \\
5\\
-1}, \vektor{-1 \\
-2 \\
1 \\
4}>[/mm]
>
> In meinem Skript steht dazu folgender Algorithmus:
> Berechne eine Basis eines direkten Komplements u. wähle
> die Äquivalenzklasse dieser Vektoren. Damit kann ich nicht
> sonderlich viel anfangen...
> Also eine Basis U' des dir.Komplements erhält man ja,
> indem man die l.u. Familie der Basis von U in die
> kanonische basis eintauscht und die zusätzlichen Vektoren
> sind dann eine Basis von U'.
Hallo,
erstmal sollte man sich überzeugen, das gegebene Erzeugendensystem von U bereits eine Basis ist, und falls dies nicht der Fall ist, eine Basis bestimmen.
Die Basis von U muß nun "irgendwie" zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzt werden, z.B. (!) durch passende Vektoren der kanonischen Basis.
> Schreint man dazu die Basisvektoren von U in Spalten in
> eine Matrix und ergänt diese um die Standardbasen [mm]e_1[/mm] bis
> [mm]e_4?[/mm] Und das dann auf redZSF?
Daß "man" das so macht, kann man nicht sagen, aber wenn man's richtig macht, ist es ein gangbarer Weg.
Ansonsten kannst Du die Basis von U auch als Zeilen in eine Matrix legen, auf ZSF bringen, und gucken, welche Einheitsvektoren Du ergänzen mußt, damit Du Rang 4 bekommst.
>
> Die Dim der basis die am Ende raus kommen soll muss ja 1
> sein, denn 4-3=1. Oder?
Daß 4-3=1 ist, stimmt.
Und die Überlegung als solche auch, vorausgesetzt natürlich, U hat wirklich die Dimension 3, wovon man sich erst überzeugen müßte.
Scheint meiner Rechnung nach wirklich der Fall zu sein.
Na gut. Jetzt stellen wir uns vor, Du hast die Ergänzungsvektoren gefunden. Jetzt setzt Du - je nach den Gepflogenheiten vor Ort - eckige Klammern drum oder einen Strich drüber und hast damit eine Basis des Faktorraumes.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Do 09.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Also die 3 Vektoren sind l.u. , die Basis hat rang 3.
Ich hab's dann mal so versucht dass
ich [mm] \pmat{ 3 & 4 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -7 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0& 5 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\-7 & -1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] geschrieben habe und nach gauß-anwendung habe ich:
[mm] \pmat{ 1 & -7 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 25 & 5 & 1 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & -5 &0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 10 & 1 }.
[/mm]
Was kann ich denn jetzt daraus folgern?
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> Also die 3 Vektoren sind l.u. ,
> die Basis hat rang 3.
Hallo,
eine Basis hat keinen Rang!
Der Rang ist eine Eigenschaft von Matrizen.
Du hast wohl festgestellt:
die Matrix, die die drei Vektoren in den Spalten enthält, hat den Rang 3, daher weiß man, daß die Vektoren linear unabhängig sind.
> Ich hab's dann mal so versucht dass
> ich [mm]\pmat{ 3 & 4 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -7 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0& 5 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-7 & -1 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
> geschrieben habe und nach gauß-anwendung habe ich:
> [mm]\pmat{ \green{1} & -7 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & \green{25} & 5 & 1 & -3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \red{0 }& \green{1} & -3 & -5 &0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \green{7} & 10 & 1 }.[/mm]
>
Das ist verwirrend: Du widersprichst Dir hiermit selbst, denn wenn die von den ersten drei Vektoren aufgespannte Matrix den Rang hat, müßte ja anstelle der rotmarkierten 0 eine andere Zahl stehen...
Du solltest in Erwägung ziehen, daß U möglicherweise doch nur die Dimension 2 hat. Wenn Deine obige Matrix richtig ist, ist das jedenfalls so.
> Was kann ich denn jetzt daraus folgern?
Ich gehe jetzt davon aus, daß die Matrix richtig ist. Dann weißt Du:
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1., 2., 4. und 5.Spalte, also bilden der 1., 2., 4. und 5. der Ursprungsvektoren eine Basis vom [mm] \IR^4.
[/mm]
Und nun weiter im Text...
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Fr 10.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Du hast Recht U hat nur Rang 2. Heißt das dass man U um 2 weitere Vektoren ergänzen muss, denn 4-2=2?
Wenn jetzt U nur Rang 2 hat, heißt das ja dass die 3 Vektoren nicht l.u. sind, kann man jetzt in der matrix ablesen, welcher der drei vektoren linear abhängig ist? Und wenn ja, wie?
Die erweiterte , reduzierte Matrix die ich hingeschrieben habe stimmt aber.
Ich versuche mich ja möglichst an dem Algorithmus zu orientieren, den ich genannt hatte. ....,,Tausche die l.u. Familie von U in die kanonische Basis(z.b.) mit Steinitz ein. Die zusätzlichen Vektoren sind eine Basis von U'....
Also eine l.u Familie von U wäre ja [mm] z:b.:\vektor{4 \\ -7 \\5 \\-1}, \vektor{-1 \\ -2 \\1 \\4}. [/mm] Jetzt versuche ich Steinitz anzuwenden , um die l.u. famile in die kanon. basis einzutauschen. dazu dient mir dann die erweiterte Matrix die ich schon berechnet hatte.
Dann steht bei uns im Skript: Suche in der letzten Spalte den 1.eintrag ungleich 0. Tausche in A die entsprechende Spalte mit [mm] y_i [/mm] (die y's sind die ergänzten vektoren) und beginne von vorne mit i+1.
das verstehe ich nicht! Und i-wie widerspricht das doch auch dem, was du geschrieben hast, oder?
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> Du hast Recht U hat nur Rang 2. Heißt das dass man U um 2
> weitere Vektoren ergänzen muss, denn 4-2=2?
Hallo,
ja, natürlich.
Um welche Vektoren Du ergänzen kannst und wie man das aus der matrix ablesen kann, habe ich Dir im vorhergehenden Post gezeigt.
>
> Wenn jetzt U nur Rang 2 hat, heißt das ja dass die 3
> Vektoren nicht l.u. sind, kann man jetzt in der matrix
> ablesen, welcher der drei vektoren linear abhängig ist?
> Und wenn ja, wie?
Betrachten wir jetzt mal nur die ersten drei Spalten der Matrix, also die, in denen die Erzeugenden von U stehen.
In ihrer ZSF stehen die führenden Elemente der Nichtnullzeilen in der 1. und 2. Spalte, also sind der 1. und 2. der drei Vektoren eine (!) Basis von U. (Den dritten kannst Du folglich als Linearkombination der beiden anderen schreiben.)
>
> Die erweiterte , reduzierte Matrix die ich hingeschrieben
> habe stimmt aber.
>
> Ich versuche mich ja möglichst an dem Algorithmus zu
> orientieren, den ich genannt hatte. ....,,Tausche die l.u.
> Familie von U in die kanonische Basis(z.b.) mit Steinitz
> ein. Die zusätzlichen Vektoren sind eine Basis von U'....
>
> Also eine l.u Familie von U wäre ja [mm]z:b.:\vektor{4 \\
-7 \\
5 \\
-1}, \vektor{-1 \\
-2 \\
1 \\
4}.[/mm]
Ja, die kannst Du natürlich auch nehmen, wenn sie Dir besser gefällt.
> Jetzt versuche ich Steinitz anzuwenden , um die l.u. famile
> in die kanon. basis einzutauschen. dazu dient mir dann die
> erweiterte Matrix die ich schon berechnet hatte.
> Dann steht bei uns im Skript: Suche in der letzten Spalte
> den 1.eintrag ungleich 0. Tausche in A die entsprechende
> Spalte mit [mm]y_i[/mm] (die y's sind die ergänzten vektoren) und
> beginne von vorne mit i+1.
>
> das verstehe ich nicht! Und i-wie widerspricht das doch
> auch dem, was du geschrieben hast, oder?
K.A.
Ich weiß ja gar nicht, was mit i gemeint ist.
Um den Algorithmus zu verstehen, müßte ich ihn mal vollständig sehen, mi Vor- und Nachwort, und wenn man gleichzeitig noch die matrix vor Augen hätte, wäre das nicht übel.
Aber wie gesagt: wie Du eine Basis von U findest, und wie man sie durch vektoren der Einheitsbasis zu einer basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen kann, habe ich ja schon erklärt.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Fr 10.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Also wäre
[mm] \vektor{4\\ -7 \\5 \\-1}, \vektor{-1\\ -2 \\1 \\4}, \vektor{1 \\ 0 \\0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\0\\0} [/mm] eine Basis des [mm] IR^4. [/mm]
Jetzt noch mal der Algorithmus wie er im Wortlaut im Skript steht:
Wie bestimmt man eine Basis von V/U?
Berechne Basis eines direkten Komplements & wähle die Äquiv.klassen dieser Vektoren.
Wie berechnet man ein dir. Komplement U' von U?
U [mm] \oplus [/mm] U' = [mm] K^n, [/mm] U gegeben durch Basis, tausche diese l.u. Familie in die kanon. Basis ein mit Steinitz. Die zusätzlichen Vektoren sind eine Basis von U'.
Steinitz:
gegeben Basis [mm] B=(v_1....,v_m) [/mm] und l.u. familie [mm] F=(y_1,,,,y_r) [/mm] in V = <B> [mm] \subset K^n, [/mm] finde eine Basis B' von V, die F enthält.
Sei A die Matrix mit den [mm] v_i [/mm] als Spalten. Für alle i=1,..,r löse das LGS [mm] \lambda_1 v_1+...+\lambda_m v_m [/mm] = [mm] y_1
[/mm]
--> setze: [mm] A'=(A|y_i)
[/mm]
--> Überführe A' in red ZSF & suche in der letzten Spalte den 1.eintrag ungleich 0.
--> Tausche in A die entsprechende Spalte mit [mm] y_i [/mm] & beginne von vorne mit i+1.
_________
und nochmal die Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & -7 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 25 &5& 1 & -3 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 10 & 1}
[/mm]
Ich hoffe, du kannst es mir jetzt Schritt für Schritt erklären....
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> Also wäre
> [mm]\vektor{4\\
-7 \\
5 \\
-1}, \vektor{-1\\
-2 \\
1 \\
4}, \vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0}, \vektor{0 \\
1 \\
0\\
0}[/mm]
> eine Basis des [mm]IR^4.[/mm]
Hallo,
ja.
>
> Jetzt noch mal der Algorithmus wie er im Wortlaut im Skript
> steht:
>
> Wie bestimmt man eine Basis von V/U?
> Berechne Basis eines direkten Komplements & wähle die
> Äquiv.klassen dieser Vektoren.
>
> Wie berechnet man ein dir. Komplement U' von U?
> U [mm]\oplus[/mm] U' = [mm]K^n,[/mm] U gegeben durch Basis, tausche diese
> l.u. Familie in die kanon. Basis ein mit Steinitz. Die
> zusätzlichen Vektoren sind eine Basis von U'.
>
> Steinitz:
> gegeben Basis [mm]B=(v_1....,v_m)[/mm]
> und l.u. familie
> [mm]F=(y_1,,,,y_r)[/mm] in V = <B> [mm]\subset K^n,[/mm] finde eine Basis B'
> von V, die F enthält.
Unser V ist ja in Deiner Aufgabe der [mm] \IR^n.
[/mm]
[mm] F:=(\vektor{4\\
-7 \\
5 \\
-1}, \vektor{-1\\
-2 \\
1 \\
4}), [/mm] und [mm] B:=(e_1, e_2, e_3, e_4) [/mm] , [mm] e_i [/mm] sei der i-te Einheitsvektor.
Gesucht ist nun eine Basis B', die F enthält.
> Sei A die Matrix mit den [mm]v_i[/mm] als Spalten.
Also die Einheitsmatrix im konkreten Falle.
> Für alle
> i=1,..,r
Du mußt es nur füri=1,2 tun, denn F enthält nur zwei Vektoren.
> löse das LGS [mm]\lambda_1 v_1+...+\lambda_m v_m[/mm] =
> [mm]y_1[/mm]
> --> setze: [mm]A'=(A|y_i)[/mm]
Gut, wir haben also [mm] A'=(A|y_1), [/mm] und das ist auch schon die reduzierte ZSF.
> --> Überführe A' in red ZSF & suche in der letzten
> Spalte den 1.eintrag ungleich 0.
Der steht in der 1.-ten Zeile.
> --> Tausche in A die entsprechende Spalte mit [mm]y_i[/mm]
Ich soll also die erste Spalte gegen [mm] y_1 [/mm] austauschen.
Dann ist meine neue Matrix A die Matrix [mm] A:=\pmat{y_1&e_2&e_3&e_4}
[/mm]
> &
> beginne von vorne mit i+1.
Ich betrachte [mm] A'=(A|y_2), [/mm] bringe sie auf red ZSF --- bzw., weil ich überhaupt keine Lust zum Matrizentippen und Rechnen habe, machst Du das jetzt mal.
Also: Matrix aufschreiben, in red. ZSF bringen und sagen was Du ggf. austauschen sollst, und dann gucken wir mal, was dabei rauskommt.
Irgendwie fehlt auch noch das Fazit, nämlich die Beschriebeung, was denn dann B' ist.
Naja, denken kann ich's mir irgendwie schon, aber trotzdem...
Ich finde Deinen Algorithmus nervig.
Mach's lieber, wie Du zuerst gesagt hast:
links die Erzeugenden von U, rechts eine Basis vom [mm] \IR^4 [/mm] (bzw. im allgemeinen Fall von V),
auf ZSF bringen,
führende Elemente der Nichtnullzeilen markieren,
die entsprechenden Spalten der Ursprungsmatrix sind eine Basis vom [mm] \IR^4 [/mm] (bzw. V), welche eine Basis von U enthält.
Das hatte ich ja zuvor auch schon gesagt, wie man es abliest. Sogar die führenden Elemente der Nichtnullzeilen markiert.
LG Angela
>
> _________
> und nochmal die Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -7 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 25 &5& 1 & -3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 & -5 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 10 & 1}[/mm]
>
> Ich hoffe, du kannst es mir jetzt Schritt für Schritt
> erklären....
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Fr 10.02.2012 | | Autor: | rollroll |
falls ich mich nicht verrechnet habe , müssten dann
der 3. und der 4. einheitsvektor eine basis von [mm] IR^4/U [/mm] sein.
Und danke für deine Hilfe!
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> falls ich mich nicht verrechnet habe , müssten dann
> der 3. und der 4. einheitsvektor eine basis von [mm]IR^4/U[/mm]
> sein.
Hallo,
ganz gewiß nicht!
Aufgepaßt: es kann gut sein, daß die beiden Basisektoren von U zusammen mit dem 3. und 4. Einheitsvektor eine Basis vom [mm] \IR^4 [/mm] bilden. Ich rechne das jetzt nicht nach.
Eine Basis von [mm] \IR^4/U [/mm] bilden dann die beiden Äquivalenzklassen aus [mm] \IR^4/U, [/mm] deren Repräsentanten [mm] e_3 [/mm] und [mm] e_4 [/mm] sind, also ist [mm] (e_3+U, e_4+U) [/mm] eine basis von [mm] \IR^4/U [/mm] - möglicherweise verwendet Ihr eine andere Schreibweise, z.B. Vektor in eckiger Klammer.
LG Angela
> Und danke für deine Hilfe!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Sa 11.02.2012 | | Autor: | rollroll |
Ah ok, also
wenn ich sage , dass [mm] ([e_3],[e_4]) [/mm] eine Basis von [mm] IR^4/U [/mm] sind, ist das i.O.?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Di 07.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo rollroll,
> Danke für die ganzen Hinweise, da ich mich schon länegr
> nicht mehr gemeldet habe , schreibe ich am besten die ganze
> aufgabe wieder hin, auf die ich mich beziehe.
>
> gegeben sind die Vektoren in [mm]IR^4:[/mm]
>
> [mm]v_1=\vektor{1 \\ -3 \\2\\1}, v_2=\vektor{3 \\ 1 \\0\\7}, v_3=\vektor{-1 \\ -2 \\1 \\4 }, v_4=\vektor{4 \\ -7 \\5\\-1}, w_1=\vektor{-1 \\ 1 \\1\\-1}, w_2=\vektor{1 \\ 2 \\3 \\1}, w_3=\vektor{2 \\ 3 \\-2 \\4}, w_4=\vektor{1 \\ 0 \\1\\0}.[/mm]
>
> Gibt es eine lineare Abb [mm]f:IR^4-->IR^4[/mm] sodass [mm]f(v_i)=w_i[/mm]
> für i=1,2,3,4?
>
> Ich würde die Aufgabe gerne mit gauß lösen (am liebsten
> wäre mir ein Rezept dass man immer anwenden kann)
>
> Also wenn ich dich Marcel richtig verstanden habe,
> besteht eine Möglichkeit darin, die Vektoren [mm]v_i[/mm] und [mm]w_i[/mm]
> als Spalten in jeweils eine Matrix zu schreiben und dann
> durch zeilenumformung die Matrix mir den [mm]v_i[/mm] als Spalten
> auf redZSF zu bringen. Und die gleichen Schritte dann auch
> bei der 2.Matrix durchführen. Stimmt das?
ich wäre hier vorsichtig mit Zeilenoperationen - denn Du musst dann wissen, was Du machst. Ich denke, wie gesagt, dass man mit "Spaltenoperationen" besser zurecht kommt - siehe auch das Beispiel.
Wenn Du unbedingt Zeilenoperationen durchführen willst (weil das ja meistens die gewöhnliche Methodik bei Gauß ist), dann würde ich nicht von dem Gleichungssystem
[mm] $$A*V=W\,$$
[/mm]
ausgehen, sondern von
[mm] $$V^T A^T=W^T\,.$$
[/mm]
Auf letztes kannst Du dann so vorgehen, wie ich es gesagt hatte, nur hier jetzt mit Zeilenoperationen. Denn das Ausführen der Zeilenoperationen auf "die transponierte Gleichung" ist ja das gleiche wie entsprechende Anwendung von Spaltenoperationen auf die ursprüngliche Gleichung.
Du sollst dieses von mir hier vorgeschlagene Verfahren aber auch nicht einfach nur "algorithmisch durchführen", sondern verstehen. Ganz verstanden bzw. durchgelesen scheinst Du es nicht zu haben, denn sonst hättest Du nicht überlesen, dass ich mehrfach davon sprach', den "Gaußalgorithmus spaltenweise auf [mm] $A*V=W\,$" [/mm] anzuwenden. Was das bedeutet oder ob das Sinn macht, dort auch "zeilenweise" den Gaußalgorithmus anzuwenden, habe ich mir nicht überlegt und weiß ich auch nicht - bzw. ich weiß auch nicht, ob bzw. was man dabei beachten sollte oder wie er dann anzuwenden wäre.
Aber auf die "transponierte Gleichung"
[mm] $$V^TA^T=W^T$$
[/mm]
sollte man "zeilenweise gaußalgorithmisch" drauf losgehen können.
Gruß,
Marcel
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