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| Aufgabe | Gibt es eine lineare Abbildung [mm] f:\IR^{2}->\IR^{2}, [/mm] die
[mm] f(\vektor{0\\2})=\vektor{3\\0}, f(\vektor{1\\1})=\vektor{5\\2}, f(\vektor{1\\2})=\vektor{7\\2} [/mm] erfüllt?
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Hallo erstmal hier im Matheforum. Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt. Die Aufgabe scheint ja nicht all zu schwer, aber irgendwie krieg ichs glaube ich nicht richtig hin.
Mein Ansatz war:
Vor.: [mm] f:\IR^{2}->\IR^{2}
[/mm]
Beh.: Es gibt eine lin. Abb., die [mm] f(\vektor{0\\2})=\vektor{3\\0} [/mm] erfüllt.
Bew.: Hier habe ich einfach die Definition aus der Vorlesung angewandt.
Also [mm] f(\lambda\*\vektor{0\\2})=\lambda\*f(\vektor{0\\2})=\lambda\*\vektor{3\\0}. [/mm]
Das [mm] \lambda [/mm] änder ja nix, weil der Vektor sich dadurch ja auch nicht ändert.
Dann noch [mm] f(\vektor{0\\2}+\vektor{0\\0})=f(\vektor{0\\2})+f(\vektor{0\\0})=\vektor{3\\0}+\vektor{0\\0}=\vektor{3\\0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Beh.
Die andern Teilaufgaben hab ich genau so gelöst.
Aber ich bin mir einfach nicht sicher, ob das genügt. Ich hab nämlich das Gefühl, das genügt so nie und nimmer.
Vielen Dank schonmal. Und ein schönes Wochenende noch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Hi,
um eine lineare Abbildung zu beschreiben, genügt es vollkommen sie auf einer Basis anzugeben.
Jetzt hast du drei Werte für f vorgegeben.
Suche dir also zwei davon aus, welche eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] bilden. Damit ist dann f eindeutig festgelegt. Jetzt musst du schauen, ob der dritte Wert, den du für f hast, dazu einen Widerspruch bildet oder nicht.
LG, Alex
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Vielen, vielen Dank. Jetzt check ich scheinbar auch die Aufgabe erst so richtig. Ich bin davon ausgegangen, dass die von mir drei Mal das selbe wollen, aber so macht das mehr Sinn.
Eine Basis bilden ja in [mm] \IR^{2} [/mm] zwei linear unabhängige Vektoren oder?
Dann rechne ich so:
[mm] \lambda_{1}\vektor{0\\2}+\lambda_2\vektor{1\\1}=0.
[/mm]
Dann bekomm ich ein LGS das nur die triviale Lösung besitzt. Das zeigt also, dass ich damit eine Basis hab.
Aber:
Nur wie zeig ich jetzt, ob der dritte Wert einen Widerspruch bildet?
Muss ich den dann hier so einsetzen?
[mm] \lambda_{1}\vektor{0\\2}+\lambda_2\vektor{1\\1}=\vektor{1\\2}? [/mm]
Und wenn da dann was wahres rauskommt, dann gibt es so eine lineare Abbildung.
Tut mir leid, sollte ich nerven, aber ansonsten komm ich nicht drauf.
Danke nochmal.
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Hallo,
du hast mit den ersten 2 Voraussetzungen an f bereits die Möglichkeit (sogar sehr leicht) f explizit zu einer gegeben Basis anzugeben (die Kanonische Basis bietet sich eig immer an^^).
Überleg dir, warum das, was ich jetzt schreibe stimmt!
$ [mm] f(\vektor{0\\2})=\vektor{3\\0}, f(\vektor{1\\1})=\vektor{5\\2}$
[/mm]
Angenommen f ist linear, dann finden wir eine Matrix $A$, sodass (für eine feste Basis) $f(x)=A*x$. Hier nehme ich die kanonische Basis.
Dann ist aber:
[mm] $A*\vektor{0\\2}=\vektor{3\\0}$ [/mm] und [mm] $A*\vektor{3\\0}=\vektor{5\\2}$
[/mm]
Entweder löst du jetzt das dabei entstehende Gleichungssystem, oder du löst:
[mm] $A*\pmat{ 0 & 3 \\ 2 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & 5 \\ 0 & 2 }$ [/mm] (Das ist vllt ein wenig neu, aber das ergibt sich leicht über die Def. der Matrixmultiplikation. Überzeug dich bitte selber davon!)
mit invertieren und nach A umstellen.
Dann überprüfst du einfach, ob für dieses A auch die letzte der 3 Gleichungen gilt, oder nicht.
lg Kai
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Hi,
tut mir leid, aber das verwirrt mich nur noch mehr. Multiplikation von Matrix hatten wir noch nicht und ich kann auch mit dem Begriff der kanonischen Basis nix anfangen.
So viel zum verständnis: Zeigst du mit deiner A-Matrix-Anwendung das gleiche wie ich mit dem LGS oder was anderes? Also du zeigst doch auch die Basis oder nicht?
Und wie zeige ich nun, dass dieses A auch für die letzte Gleichung gilt?
Sorry, dass ich das nich checke, ihr meint es sicher gut mit mir, aber gibts da nicht einen einfacheren Weg?
lg
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Sry, dass wusst ich nich, dass ihr noch keine Matrixmultiplikation hattet!
Dann löse das Gleichungssystem, das führst zum gleichen Ergebnis. Hattet ihr denn sowas schon? Wenn ihr das hattet, dann doch auch Matrixmultiplikation, oder nich?
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 So 29.11.2009 | | Autor: | matheersti |
Hi,
wir hatten natürlich lineare Gleichungssysteme, aber erst in der letzten VL hat der Prof mit Matrix angefangen. Deshalb denke ich wir werden erst nächste Woche über die Multiplikation reden.
Danke nochmal für eure Hilfe.
Dann mach ich das einfach mit LGS so wie ichs ein paar Antworten drüber geschrieben hab.
Hoff das passt dann so.
Schönen Adventssonntag noch. Lg
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