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Girsanov Theorem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:25 Di 01.12.2015
Autor: mathestudent111

Aufgabe
Ein üblicher Wahrscheinlichkeitsraum wird definiert. a ist ein adaptierter Prozess und B ein Wiener Prozess. Wir definieren [mm] L_{t}: [/mm]

[mm] L_{t}=exp(\integral_{0}^{t}{a_{s}dB_{s}}-\bruch{1}{2}\integral_{0}^{t}{a_{s}^{2}ds}) [/mm]

Hallo Leute,

ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Es geht dabei um das Girsanow Theorem aus der Finanzmathematik.

Dabei frage ich mich warum der Erwartungswert [mm] E(L_{t})=1, [/mm] t [mm] \ge [/mm] 0 ist?

Danke für eure Hilfe!

        
Bezug
Girsanov Theorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:59 Di 01.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ist [mm] $X_t$ [/mm] ein Martingal, so auch [mm] $\exp(X_t [/mm] - [mm] \frac{1}{2}_t)$ [/mm]

Setze [mm] $X_t [/mm] = [mm] \int_0^t a_s dB_s$ [/mm]

Gruß,
Gono



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Girsanov Theorem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Di 01.12.2015
Autor: mathestudent111

Danke, dann schreibe ich es mal auf.

OK, wir können davon ausgehen, dass das stochastische Integral bzgl. der BB ein Martinal ist.

Dann sagst du $ [mm] \exp(X_t [/mm] - [mm] \frac{1}{2}_t) [/mm] $ ist auch ein Martinal, da es einfach eine Komposition ist.

Also ist $ <X>_t $ = $ < [mm] \int_0^t a_s dB_s [/mm] > = [mm] \integral_{0}^{t}{a_{s}^{2}ds} [/mm] $. Ist die quadratische Variation für ein stochastisches Integral so definiert ? Also $ < [mm] \int_0^t a_s dB_s [/mm] > = [mm] \integral_{0}^{t}{a_{s}^{2}d} [/mm] $?


Ein Martinal hat einen konstanten Erwartungswert. Wie komme ich jetzt weiter?


Bezug
                        
Bezug
Girsanov Theorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 Di 01.12.2015
Autor: Thomas_Aut


> Danke, dann schreibe ich es mal auf.
>  
> OK, wir können davon ausgehen, dass das stochastische
> Integral bzgl. der BB ein Martinal ist.

Ja das kann man.

>  
> Dann sagst du [mm]\exp(X_t - \frac{1}{2}_t)[/mm] ist auch ein
> Martinal, da es einfach eine Komposition ist.

Nein, nein - das hat mit Komposition nix zu tun(du darfst nicht vergessen, dass [mm] X_{t} [/mm] generell ein wesentlich allgemeinerer Prozess sein kann - also empfiehlt sich immer hier genau vorzugehen).
Dass [mm] $L_{t}$ [/mm] tatsächlich ein Martingal ist muss man durchaus ausführlicher begründen.
Eine Möglichkeit bietet die Novikov Bedingung - hierzu ist zz , dass
[mm] $\mathbb{E}[exp(\frac{1}{2}\int_{0}^{t}a_{s}^2ds)] [/mm] < [mm] \infty$ [/mm]
Dein Prozess [mm] $L_{t}$ [/mm] ist das stochastische Exponential des Prozesses [mm] $X_{t}$ [/mm] mit [mm] $dX_{t} [/mm] = [mm] a_{t}dB_{t}$ [/mm]

>  
> Also ist [mm]_t[/mm] = [mm]< \int_0^t a_s dB_s > = \integral_{0}^{t}{a_{s}^{2}ds} [/mm].
> Ist die quadratische Variation für ein stochastisches
> Integral so definiert ? Also [mm]< \int_0^t a_s dB_s > = \integral_{0}^{t}{a_{s}^{2}d} [/mm]?

Üblicherweise meint [X] die quadratische Variation eines Prozesses und <X> meint üblicherweise die vorhersehbare quadratische Variation! Falls der Prozess jedoch stetig ist, so stimmen [X] und <X> überein.

Und ja, die quadratische Variation der BB kennst du allerdings - d.h. [mm] [B]_{t} [/mm] = t
also gilt :
$ < [mm] \int_0^t a_s dB_s [/mm] > = [mm] \integral_{0}^{t}{a_{s}^{2}ds} [/mm] $

>  
>
> Ein Martinal hat einen konstanten Erwartungswert. Wie komme
> ich jetzt weiter?
>  

Lg

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Girsanov Theorem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Di 01.12.2015
Autor: mathestudent111

Ok, danke für deine ausführliche Antwort.
Jetzt sind mir viele Sachen klarer geworden.

Aber wie kommen wir jetzt mit dem Erwartungswert weiter, dass $ [mm] E(L_{t})=1 [/mm] $ ist?


Bezug
                                        
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Girsanov Theorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Di 01.12.2015
Autor: Thomas_Aut

Es ist sichtlich, dass [mm] $L_{0}=1$ [/mm] ist - oder? (Dies ist gleichermaßen die Anfangsbedingung der SDE : [mm] $dL_{t} [/mm] = [mm] a_{t}L_{t}dB_{t})$ [/mm]

Zeigst du dass [mm] L_{t} [/mm] ein Martingal ist - so gilt : [mm] $\mathbb{E}[L_{t}] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[L_{0}] [/mm] = 1$

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Girsanov Theorem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:53 Di 01.12.2015
Autor: mathestudent111

Da der Erwartungswert konstant ist. Vielen lieben Dank nochmal.

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