Gitter mit derselben Basis < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bilden diese Gitter (engl: lattices) die gleiche Basis. Mit Begründung!
(Achtung: Die Gitter sind hier von den Zeilen aufgespannt)
[mm] G_1=\pmat{ 4 & 7 & 9 \\ 3 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 0 }
[/mm]
[mm] G_2=\pmat{ 14 & 11 & 4 \\ 13 & 18 & 6 \\ -18 & -4 & -2 } [/mm] |
Der Maximalrang ist hier 3 ? Zeilenoperationen und -vertauschungen auf [mm] G_1 [/mm] bzw. [mm] G_2 [/mm] angewendet ergeben
[mm] \overline{G_1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \overline{G_2}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Das wird's dann aber wohl nicht gewesen sein, oder? Wie ist hier zu determinieren, ob und warum diese Basen gleich sind?
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:19 Do 19.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bilden diese Gitter (engl: lattices) die gleiche Basis. Mit
> Begründung!
>
> (Achtung: Die Gitter sind hier von den Zeilen aufgespannt)
>
> [mm]G_1=\pmat{ 4 & 7 & 9 \\ 3 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 0 }[/mm]
>
> [mm]G_2=\pmat{ 14 & 11 & 4 \\ 13 & 18 & 6 \\ -18 & -4 & -2 }[/mm]
>
> Der Maximalrang ist hier 3 ? Zeilenoperationen und
> -vertauschungen auf [mm]G_1[/mm] bzw. [mm]G_2[/mm] angewendet ergeben
>
> [mm]\overline{G_1}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]\overline{G_2}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Das wird's dann aber wohl nicht gewesen sein, oder? Wie ist
> hier zu determinieren, ob und warum diese Basen gleich
> sind?
ich versteh' hier die Fragestellung nicht: Wenn ich mir
![[]](/images/popup.gif) Wiki: Gitter (klick!)
durchlese, würde ich sagen, dass da zwei Basismatrizen stehen - und entgegen
dem in Wiki gesagten sind die Zeilen die aufspannenden Vektoren. (Das ist
aber eh nicht wesentlich, den Matrizen kann man ja transponieren...)
Da würde eher die Frage Sinn machen, ob diese Basen jeweils das gleiche
Gitter aufspannen, d.h. jeder Vektor, den man auf dem Gitter findet, dass
durch [mm] $G_1$ [/mm] aufgespannt wird, muss auch in dem Gitter liegen, dass durch
[mm] $G_2$ [/mm] aufgespannt wird und umgekehrt.
Die Frage, ob jeder Vektor, der in dem von [mm] $G_1$ [/mm] aufgespannten Gitter liegt,
sich auch in dem Gitter bzgl. [mm] $G_2$ [/mm] befindet, läßt sich schreiben als:
Sind [mm] $a_0,b_0,c_0 \in \IZ$ [/mm] fest, so ist die Frage, ob es dann auch $x,y,z [mm] \in \IZ$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $a_0(4,7,9)+b_0(3,5,3)+c_0(1,2,0)=x*(14,11,4)+y*(13,18,6)+z*(-18,-4,-2)$
[/mm]
gilt.
Also unabhängig davon, ob ich die "Definitionen" hier nicht wirklich durchschaue,
so ist aber sicher das letztstehende ein Teil der eigentlichen Frage:
Sie beantwortet dann, ob das erste Gitter auch Teilmenge des zweiten
Gitters ist.
Danach bleibt natürlich noch analog zu prüfen, ob das zweite Gitter auch
Teilmenge des ersten Gitters ist...
Wenn beides bejaht wird, sind die Gitter gleich!
Gruß,
Marcel
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Sind $ [mm] a_0,b_0,c_0 \in \IZ [/mm] $ fest, so ist die Frage, ob es dann auch $ x,y,z [mm] \in \IZ [/mm] $ so gibt, dass
$ [mm] a_0(4,7,9)+b_0(3,5,3)+c_0(1,2,0)=x\cdot{}(14,11,4)+y\cdot{}(13,18,6)+z\cdot{}(-18,-4,-2) [/mm] $
gilt.
"""
Da bin ich ganz deiner Meinung. Die Frage ist nun, wie lässt sich dies effizient herausfinden?
Einfach die 3 Gleichungen nach den 3 Unbekannten auflösen und dann argumentieren, ob es solche 3 Zahlen in [mm] \IZ [/mm] gibt oder nicht? Ist das der effizienteste Weg weil der einzigste?
Was meint ihr?
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Do 19.12.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn beide Matrizen das selbe Gitter erzeugen, dann unterscheiden sie sich um eine unimodulare Matrix, also einer Matrix mit Determinante 1 oder -1.
Oder in Formeln: $A,B [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] erzeugen das selbe Gitter [mm] $\gdw \exists U\in \IZ^{n\times n}:A=UB$ [/mm] mit [mm] |\det(U)|=1. [/mm] Insbesondere ist [mm] $|\det(A)|=|\det(B)|$. [/mm] Trifft das in deinem Fall zu?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Do 19.12.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du kannst nicht die gleichen Umformungen machen, wie als wenn du ein Gleichungssystem lösen willst. Du darfst z.B. keine Zeile mit einer Zahl außer 1 und -1 multiplizieren. Das Gitter, das durch (2,0) und (0,2) ist ja ein anderes, das durch (1,0) und (0,1) definiert wird.
Dass du jedoch, wenn du so verfährst, 2mal die Einheitsmatrix rausbekommst sagt dir aber schon mal, dass beide Gitter vollen Rang haben (3). Hättest du 2 verschiedene Ränge rausbekommen, hättest du an der Stelle auch schon gewusst, dass beide Matrizen andere Gitter definieren.
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Ich danke dir. [mm] det(G_1)=6 [/mm] und [mm] det(G_2)=18 [/mm] also ist hier mit einem Nein zu antworten.
Angenommen [mm] |det(G_1)|=|det(G_2)| [/mm] . Folgt dann auch, dass es eine solche unimodulare Matrix gibt, ist man dann also schon fertig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Do 19.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Angenommen [mm]|det(G_1)|=|det(G_2)|[/mm] . Folgt dann auch, dass es
> eine solche unimodulare Matrix gibt, ist man dann also
> schon fertig?
nein. Auch, wenn ich mich nicht wirklich mit der "Gittertheorie" auskenne,
so folgt das schon aus Basiswissen der linearen Algebra:
[mm] $\pmat{1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0}$
[/mm]
und
[mm] $\pmat{1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0}$
[/mm]
haben beide Determinante [mm] $0\,$ [/mm] - die zweite Matrix spannt aber sicher ein
anderes Gitter auf als die erste (alleine schon, weil die erste Matrix Rang 1
und die zweite Rang 2 hat).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 Do 19.12.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi Marcel!
Ist korrekt so.
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Danke, eigentlich logisch.
Also wenn ich [mm] |det(G_1)|=|det(G_2)| [/mm] habe. Gibt es dann einfachere/effizientere Methoden, sicherzustellen, ob [mm] G_1 [/mm] und [mm] G_2 [/mm] dasselbe Gitter aufspannen, als dieses Gleichungssystem zuerst nach x , y und z aufzulösen und zu überprüfen, ob alles ganzzahlige Koeffiezienten die Gleichung erfüllen für fixierte ganzzahlige [mm] a_0 [/mm] , [mm] b_0 [/mm] und [mm] c_0 [/mm] ?
$ [mm] a_0(4,7,9)+b_0(3,5,3)+c_0(1,2,0)=x\cdot{}(14,11,4)+y\cdot{}(13,18,6)+z\cdot{}(-18,-4,-2) [/mm] $
Im zweiten Schritt muss man dies ja dann umgekehrt machen?
Gibt es hier eine einfachere Methode, zu prüfen, ob es eine solche unimodulare Matrix gibt?
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Teufel |
Hmm, die Arbeit kann ungefähr halbiert werden, wenn man folgendes ausnutzt:
Seien $A,B$ Basismatrizen der Gitter $L(A), L(B)$ und sei [mm] $L(A)\subseteq [/mm] L(B)$. Ist dann A=TB für ein [mm] $T\in \IZ^{n \times n}$, [/mm] so gilt [mm] \det(B)=\det(A)|\det(T)|.
[/mm]
Wenn also [mm] |\det(A)|=|\det(B)| [/mm] ist, und du eine Inklusion geprüft hast, dann ist bereits [mm] |\det(T)|=1, [/mm] d.h. $T$ ist unimodular, d.h. $A$ und $B$ liefern das gleiche Gitter. Um eine Inklusion zu prüfen, reicht es aus zu zeigen, dass du alle Basisvektoren eines Gitter mit den Basisvektoren des anderen Gitters darstellen kannst. Du musst also 3 [mm] $(3\times [/mm] 3)$-Gleichungssysteme lösen und 2 Determinanten berechnen im schlimmsten Fall.
Wenn du noch etwas mehr lesen willst: HIER!
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