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Gl2 (F2): Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Do 03.11.2016
Autor: mariella22

Aufgabe
(i) Erstellen Sie eine Liste aller Elemente der Gruppe GL2(F2).
(ii) Sei A ∈ GL2(F2) mit AB = BA f¨ur alle B ∈ GL2(F2). Zeigen Sie, dass A = E2.

Hallo,
ich bräuchte bitte ein Tipp zu i)
Es gibt ja in F2 16 Matrizen, muss ich dann für i) alle multiplikativen Verknüpfungen aufschreiben? Das ist ja ein Endlos-Werk...

        
Bezug
Gl2 (F2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Do 03.11.2016
Autor: Salamanderkoenigin

Schönen Tag, mariella22!

In [mm] $\IF_2$ [/mm] gibt es überhaupt keine Matrizen. In [mm] $GL_2(\IF_2)$ [/mm] gibt es Matrizen, aber weniger als 16. Wie viele das sind, wirst Du durch bearbeiten der ersten Aufgabe erfahren. Ja, Du sollst alle auflisten. Ihre Verknüpfungen sind nicht gefragt. Viel Glück!

Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin

Bezug
                
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Gl2 (F2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Do 03.11.2016
Autor: mariella22

Hallo, danke für die Antwort!
Es sind alle Matrizen mit 0 und 1 in den Koeffizienten, aber wenn nicht 16, dann ohne die Null- und Einsmatrix? Also 14?

Bezug
                        
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Gl2 (F2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Do 03.11.2016
Autor: mariella22

Ich habe zu b) noch eine Frage:
ab = ba würde ja auch gelten wenn b zu a invers ist,
also ab = ba = e
Wie kann ich das ausschliessen? Und beweisen, dass a das neutrale Element sein muss?

Bezug
                                
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Gl2 (F2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Do 03.11.2016
Autor: Teufel

Also ja, das gilt, aber es soll ja $AB=BA$ für alle Matrizen A gelten, und nicht nur für [mm] $A=B^{-1}$. [/mm] Teste einfach mal etwas rum: Sei [mm] $B=\pmat{ a & b \\ c & d }$. [/mm]

Jetzt muss ja z.B. auch [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }B=B\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] gelten. Kannst du etwas über $a,b,c$ oder $d$ aussagen, wenn diese Gleichung gelten soll?

Bezug
                                        
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Gl2 (F2): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Fr 04.11.2016
Autor: mariella22

Hallo,
Vielen Dank für die Hilfe,
ich habe die 6 Elemente von Gl2 (F2) gefunden und habe jetzt die mögliche Verknüpfungen aufgeschrieben, um zu sehen, wann AB=BA gilt.
Und bei zwei Verknüpfungen hab ich ein Problem:

Wenn
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm]

auf sich selbst abgebildet wird, bekommt man als Ergebnis:

[mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm]

und dann gilt AB=BA ja auch, obwohl A nicht die Einheitsmatrix ist?

Genauso bei der Selbstabbildung von
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm]

=

[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm]


Wo hab ich denn den Denkfehler?

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Gl2 (F2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Fr 04.11.2016
Autor: hippias

Dein Ansatz erscheint mir nicht zielführend. Daher mein Vorschlag: Sei $A= [mm] \pmat{a& b\\c&d}\in [/mm] G:= [mm] GL_{2}(\IF(2))$ [/mm] dergestalt, dass $AB= BA$ für alle $B [mm] \in [/mm] G$ gilt.

Nun kennst Du ja einige Elemente von $G$. Insbesondere muss mit [mm] $B=\pmat{1& 1\\0&1}$ [/mm] gelten, dass [mm] $\pmat{a& b\\c&d}\pmat{1& 1\\0&1}= \pmat{1& 1\\0&1}\pmat{a& b\\c&d}$ [/mm] ist. Berechne das Matrixprodukt für linke und rechte Seite aus und mache einen Koeffizientenvergleich, um einige Bedingungen für $a,b,c,d$ zu finden. Mache dies solange mit weiteren Beispielen für $B$ bis Du alle Einträge bestimmen kannst.


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Gl2 (F2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Do 03.11.2016
Autor: Teufel

Hi!

Das ist doch kein Ratespiel ;) eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist. Gilt in jedem Körper, also auch im [mm] $\mathbb{F}_2$! [/mm] Also guck wir mal alle 16 2x2-Matrizen an und gucke, wann dies der Fall ist.

Bezug
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