Glatte Kurve+Umparametri. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die 4 Kurven
[mm] f:[0,2\pi]->\IR^2 [/mm] mit f(t)=(cos(t),sin(2t)),
[mm] g:[0,2\pi]->\IR^3 [/mm] mit [mm] g(t)=(t^2sin(t),t^2*cos(t),4t),
[/mm]
[mm] h:[0,1]->\IR^4 [/mm] mit [mm] h(t)=(t,t^2,t^3,t^4),
[/mm]
[mm] k:[0,2\pi]->\IR^2 [/mm] mit [mm] k(t)=((cos(t))^3,cos(2t)).
[/mm]
1. Welche dieser Kurven ist glatt?
2. Für welche dieser Kurven existiert eine differenzierbare Umparametrisierung auf Bogenlänge? |
So, also zuerst beschäftige ich mich mit Aufgabe 1:
Allgemein ist die Definition für eine glatte Kurve f ja, dass sie differenzierbar sein muss und dass
[mm] \parallel [/mm] f'(t) [mm] \parallel \not= [/mm] 0 sein muss.
Für f(t) habe ich f'(t)=(-sin(t),2cos(2t)) und für
[mm] \parallel [/mm] f'(t) [mm] \parallel=\wurzel{(-sin(t))^2+(2cos(2t))^2}=
[/mm]
[mm] \wurzel{(sin(t))^2+4(cos(2t))^2} [/mm] Kann man das noch weiter vereinfachen? Habs mit dem trigometrischen Phytagoras versucht, aber funktioniert irgendwie nicht...
So, und nun soll man zeigen, dass [mm] \wurzel{(sin(t))^2+4(cos(2t))^2}\not= [/mm] 0 im Intervall [mm] [0,2\pi]. [/mm] Hab mir überlegt, dass man den Wurzelausdruck ableitet und dann die Extrema berechnet und da diese größer 0 sind, ist der Wurzelausdruck ungleich 0. Ist das richtig so und gibt es auch andere Wege?
Bei g(t) bekomme ich [mm] \parallel [/mm] g'(t) [mm] \parallel =\wurzel{4t^2+t^4+16}.Ist [/mm] das richtig? Das kann ich auch nicht vereinfachen.
Bei h(t) bekomme ich [mm] \parallel [/mm] h'(t) [mm] \parallel =\wurzel{1+4t^2+9t^4+16t^4}
[/mm]
Bei k(t) bekomme ich [mm] \parallel [/mm] k'(t) [mm] \parallel =\wurzel{9sin(t)cos(t)^2+4sin(2t)^2}
[/mm]
Meine Frage, sind meine Ableitungen bzw. die Längen davon richtig gebildet und kann man dass so beweisen, dass man es nochmal ableitet und dann gleich 0 setzt, um zu zeigen, dass die Extrema größer Null sind oder auch nicht.
Gibt es andere Wege, dies zu zeigen?
Zu Aufgabe 2: Kann man sagen, dass für die Umparametrisierung auf Bogenlänge die Kurve glatt sein muss und wie man die genau berechnet, hab ich auch noch nicht so ganz verstanden...
Vielen Dank
TheBozz-mismo
PS:Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 Sa 24.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da da immer nur Quadrate sind, können die Ausdrücke doch nur 0 werden wenn alle Summanden gleichzeitig 0 sind.
sint und cos2t kennst du die Nst in dem Intervall!
g' ist immer >4
h'>1
bei k' verwende sinx*cosx=1/2*sin2x
dann steht in beiden summanden sin2x!
gruss leduart
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Erstmal vielen Dank, aber hab noch einige Fragen:
Also bei f(t): Die Nst von sin(t) sind [mm] 0,\pi [/mm] und [mm] 2\pi [/mm] und die Nst von cos(2t) sind bei [mm] \pi/4 [/mm] und [mm] (3*\pi)/4, [/mm] dass heißt, dass die Kurve glatt ist, weil sin(t) und cos(2t) keine gemeinsamen Nst haben, also bei t=0 ist zwar [mm] (sin(t))^2 [/mm] gleich 0, aber [mm] 4(cos(0))^2 [/mm] ist 4, die Wurzel davon ergibt 2. Also ist die Kurve glatt.
So, bei g(t) schreibst du, dass g'> 4 ist, weil wenn t=0, bleibt ja nur Wurzel von 16 übrig und das ist ja 4. Das reicht als Begründung dafür, dass die Kurve glatt ist?
h(t) wäre demnach auch glatt, weil h'>1 ist. Ich weiß nicht, ob das das Begründung reicht...
Bei k'verstehe ich nicht, wie mir dein Tipp weiterhilft
$ [mm] \parallel =\wurzel{9sin(t)cos(t)^2+4sin(2t)^2} [/mm] $=$ [mm] \parallel =\wurzel{9sin(t)cos(t)cos(t)+4sin(2t)^2} [/mm] $=$ [mm] \parallel =\wurzel{sin(t)cos(t)(9cos(t))+4sin(2t)^2} [/mm] $
Jetzt verwende ich die Umformung von dir
$ [mm] \parallel =\wurzel{(9cos(t))/(2sin(2x))+4sin(2t)^2} [/mm] $
Was habe ich falsch gemacht oder wie soll mir das weiterhelfen? Wär schön, wenn mir einer das nochmal erklärt.
Sind meine Aussagen richtig und auch richtig begründet?
Nun zur Aufgabe 2: Da soll ich ja umparametrisieren, dass heißt doch, dass ich ich eine Stammfunktion von $ [mm] \parallel [/mm] f'(t) $ [mm] \parallel [/mm] finden muss, oder? und dann muss ich irgendwo noch das Inverse berechnen. Stammfunktionen zu finden bei diesen Wurzelausdrücken sehen sehr kompliziert aus und ich weiß grad nicht, wie ich diese lösen könnte. Kann mir da einer helfen?
Vielen lieben Dank
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Sa 24.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es fehlt in jeder der Fälle dass [mm] (Ausdruc^2 [/mm] immer [mm] \ge0 [/mm] ist.
d.h. [mm] 1+a^2+b^2+c^2 [/mm] usw ist immer [mm] \ge0 [/mm] weil das Quadrate von reellen Zahlen so an sich haben.
d.h.
bei 1. fehlen noch 2 Nst. des cos2t im Intervall, das Ergebnis ist aber dasselbe.
bei $ [mm] \wurzel{(9cos(t))/(2sin(2t))+4sin(2t)^2} [/mm] $
kannst du doch jetzt hoffentlich direkt sehen, wo das 0 ist?
entweder klammer sin(2t) aus, oder eine Summe ist 0 wenn beide Summanden =0
(in dem Ausdruck fehlt noch ein Quadrat!)
2. du solltest Aufgaben genauer lesen: es ist nicht verlangt, dass du eine Umparametrisierung angibst (aus gutem Grund) sondern du sollst nur die Exitenz zeigen!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:08 Sa 24.04.2010 | | Autor: | pitta |
zu 2.
Wenn f glatt ist, folgt daraus nicht gleich, dass es eine Umparametriserung nach Bogenlänge gibt?
und ist nicht jede Umparametrisierung differenzierbar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 26.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Vielen Dank für deine Hilfe. Ich glaube alleine würde ich echt verzweifeln.
Zu 1: Stimmt, hab die Nst [mm] t=\bruch{5\pi}{4} [/mm] und [mm] t=\bruch{7\pi}{4} [/mm] vergessen, aber hast du ja schon gesagt, ändert nichts=> f glatt
g und h sind auch glatt, weil sie größer gleich 0 sind
Zu 4:Entschuldigung, natürlich ist die Gleichung gleich 0, wenn [mm] t=\pi/2, [/mm] also ist diese Kurve nicht glatt!
Nun zur zweiten Aussage:Ok, stimmt, man soll nur zeigen, dass eine Umparametrisierung exsistiert, weil das Berechen im Allgemeinen sehr kompliziert und schwierig ist.
Also wie zeigt man die Existenz? Der User "Pitta" hat schon angeregt, ob die Definition für glatte Kurve als Existenzkriterium ausreicht?
Ich denke, dass es nur ein notwendiges Kriterium ist, dass heißt, für eine Umparametrisieung muss die Kurve glatt sein, aber nicht jede glatte Kurve ist parametrisierbar.
Kann jemand erklären, was nun genau stimmt und wie man sonst die Exsistenz zeigen kann.
Ich freue mich über jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mo 26.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Mo 26.04.2010 | | Autor: | peeetaaa |
hallo,
hab dazu auch noch eine kleine Frage.
Also man soll ja jetzt die Existenz einer differenzierbaren Umparametrisierung auf Bogenlänge begründen.
Durch folgenden Satz:
"Jede reguläre Kurve kann nach Bogenlänge umparametrisiert werden.", muss ich ja eigentlich nur zeigen welche Kurve regulär ist.
Und das wurde ja beim ersten Aufgabenteil gezeigt, da für eine regulär parametrisierte Kurve gilt: f'(t) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] I
Das heißt jetzt wird man wohl nur zeigen oder begründen müssen, ob die Umparametrisierung auch differenzierbar ist oder? Bedeutet das aber nicht folgendes:
"Die Umparametrisierung einer regulär parametrisierten Kurve ist wieder regulär"?
Mir ist ansonsten nichts ganz klar was ich da zeigen oder begründen soll...
Gruß,
peeetaaa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Mo 26.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn die Kurve selbst stetig differenzierbar ist, ist das die umparametrisierte Kurve auch. also brauchsr du nicht nur diffb und [mm] f#\ne0 [/mm] sondern stetig diffb.
gruss leduart
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