Gleichgewichtspunkt bestimmen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachten Gleichungssystem
[mm] \vektor{x'(t) \\ y'(t)}= \vektor{y(t)-(x(t)^{2} +y(t)^{2}) x(t) \\ -x(t)-(x(t)^{2} +y(t)^{2}) y(t)}
[/mm]
a)Linearisieren Sie bei dem einzigen Gleichgewichtspunkt. Ist das lineare System neutral stabil, asymptotisch stabil oder instabil?
b) Zeigen sie: Für jeden Lösung mit [mm] (x(0),y(0))\not=(0,0) [/mm] gilt
[mm] \bruch{\Delta}{\Delta t}(x(t)^{2} +y(t)^{2}) [/mm] < 0
Ist (0,0) für das Ausganssystem neutral stabil, asymptotisch stabil oder instabiler GGP?
c) Ändern sie zwei Vorzeichen im AS derart, dass (0,0) der einzige Gleichgewichtspunkt bleibt, der dann jedoch instabil ist. |
Hallo,
zu a)
Auf den GlGePkt (0,0) bin ich
habe mir [mm] \delta [/mm] f = [mm] \pmat{ -3x{2}-y^{2} &1-2xy \\ -1-2xy & x^{2}-3y^{2} } [/mm] berechnet und dann
[mm] \delta [/mm] f [mm] \vektor{0 \\ 0}=\pmat{ 0 &1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
Eigenwerte sind hier
[mm] \lambda_{1}=i
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-i
[/mm]
[mm] Re\lambda_{i}=0. [/mm] Daraus kann kein eindeutige Aussage geschlossen werden.
Also habe ich mir die Umgebung betrachtet und die Trajektoren verlaufen für mich "kreisförmig", also asymptotisch stabil.
zu Tiel b) habe ich mir noch nicht viel Gedanken gemacht. Weiß aber auch nicht genau wie ich das zeigen soll.
Zu Teil c)
Müsste das nicht einfach
[mm] \vektor{x'(t) \\ y'(t)}= \vektor{y(t)-(x(t)^{2} +y(t)^{2}) x(t) \\ x(t)+(x(t)^{2} +y(t)^{2}) y(t)}
[/mm]
sein?
Danke euch.
Thomas
|
|
| |
|
Hallo Thomas0086,
> Betrachten Gleichungssystem
> [mm]\vektor{x'(t) \\ y'(t)}= \vektor{y(t)-(x(t)^{2} +y(t)^{2}) x(t) \\ -x(t)-(x(t)^{2} +y(t)^{2}) y(t)}[/mm]
>
> a)Linearisieren Sie bei dem einzigen Gleichgewichtspunkt.
> Ist das lineare System neutral stabil, asymptotisch stabil
> oder instabil?
> b) Zeigen sie: Für jeden Lösung mit
> [mm](x(0),y(0))\not=(0,0)[/mm] gilt
> [mm]\bruch{\Delta}{\Delta t}(x(t)^{2} +y(t)^{2})[/mm] < 0
> Ist (0,0) für das Ausganssystem neutral stabil,
> asymptotisch stabil oder instabiler GGP?
> c) Ändern sie zwei Vorzeichen im AS derart, dass (0,0)
> der einzige Gleichgewichtspunkt bleibt, der dann jedoch
> instabil ist.
> Hallo,
> zu a)
> Auf den GlGePkt (0,0) bin ich
> habe mir [mm]\delta[/mm] f = [mm]\pmat{ -3x{2}-y^{2} &1-2xy \\ -1-2xy & x^{2}-3y^{2} }[/mm]
> berechnet und dann
>
> [mm]\delta[/mm] f [mm]\vektor{0 \\ 0}=\pmat{ 0 &1 \\ -1 & 0 }[/mm]
>
> Eigenwerte sind hier
> [mm]\lambda_{1}=i[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-i[/mm]
>
> [mm]Re\lambda_{i}=0.[/mm] Daraus kann kein eindeutige Aussage
> geschlossen werden.
> Also habe ich mir die Umgebung betrachtet und die
> Trajektoren verlaufen für mich "kreisförmig", also
> asymptotisch stabil.
>
Für ein lineares System bedeutet doch das zunächst Stabilität.
Ob es sich um asymptotische Stabilität handelt, bleibt dahingestellt.
> zu Tiel b) habe ich mir noch nicht viel Gedanken gemacht.
> Weiß aber auch nicht genau wie ich das zeigen soll.
>
> Zu Teil c)
> Müsste das nicht einfach
> [mm]\vektor{x'(t) \\ y'(t)}= \vektor{y(t)-(x(t)^{2} +y(t)^{2}) x(t) \\ x(t)+(x(t)^{2} +y(t)^{2}) y(t)}[/mm]
>
> sein?
>
Das muss so sein.
> Danke euch.
> Thomas
Gruss
MathePower
|
|
|
|
