Gleichgewichtspunkte < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:51 Fr 07.07.2006 | | Autor: | Mini273 |
| Aufgabe | a) Sei D [mm] \subset \IR^{N} [/mm] offen und g: D [mm] \to \IR^{N} [/mm] lokal Lipschitzstetig. Sei ferner [mm] \mu \in [/mm] D ein attraktiver Gleichgewichtspunkt von x' = g(x). Zeige: Der Anziehungsbereich [mm] B(\mu) [/mm] ist offen.
b) Für beliebige Gleichgewichtspunkte [mm] \mu [/mm] lässt sich der Anziehungsbereich [mm] B(\mu) [/mm] genauso definieren wie für attraktive Gleichgewichtspunkte. Skizziere ein Beispiel eines Phasenporträts mit einem (dann notwendig nicht attraktiven) Gleichgewichtspunkt [mm] \mu, [/mm] dessen Anziehungsbereich [mm] B(\mu) [/mm] nicht offen ist. |
Hallo Forum,
ich hab versucht die Aufgabe a) zu beweisen, weiß aber nicht genau, was ich mit den folgenden Tipps unseres Professors anfangen soll. Vielleicht kann mir ja jemand erklären, was genau damit gemeint ist und wie ich das zeigen kann:
Ich hab so angefangen:
Da [mm] \mu [/mm] ein attraktiver Gleichgewichtspunkt, gilt doch: [mm] \exists [/mm] offene Umgebung U [mm] \forall \nu \in [/mm] U: sup [mm] J_{\nu} [/mm] = [mm] \infty, \limes_{t\rightarrow\infty} u_{\nu}(t) [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
Der Anziehungsbereich [mm] B(\mu) [/mm] ist so definiert: [mm] B(\mu) [/mm] := { [mm] \nu \in [/mm] D: sup [mm] J_{\nu} [/mm] = [mm] \infty, \limes_{t\rightarrow\infty} u_{\nu}(t) [/mm] = [mm] \mu [/mm] }
Jetzt hat man uns den Tipp gegeben, die Flusseigenschaften von [mm] (T_{t})_{t \in \IR} [/mm] der DGL zu betrachten. Was ist denn damit genau gemeint? Und wie kann ich das hier zeigen?
Ich hab mit dem Tipp nicht viel anfangen können, und hab einfach mal so weiter gemacht:
g ist ja lokal Lipschitzstetig, d.h. für ein [mm] \nu \in B(\mu) \exists [/mm] U mit [mm] \nu \in [/mm] U. Also ist U [mm] \subset B(\mu), [/mm] daraus folgt, dass [mm] B(\mu) [/mm] offen ist.
Kann man das auch so, ohne den Flusseigenschaften beweisen? Ich versteh nicht, wie ich das damit zeigen soll.
Zur Aufgabe b) fällt mir kein Beispiel ein, wo [mm] B(\mu) [/mm] offen ist. Wie kann man denn so ein Phasenporträt zeichnen?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Viele Grüße und danke,
Mini
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 13.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
