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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Sa 15.07.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Betrachte das System
x'= [mm] (\alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] y - [mm] \mu [/mm] x) x,
y' = (- [mm] \gamma [/mm] + [mm] \delta [/mm] x - [mm] \nu [/mm] y) y mit [mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta, \mu, \nu [/mm] > 0
Bestimme die Gleichgewichtspunkte im Quadranten [0, [mm] \infty[^{2} [/mm] und entscheide durch Linearisierung, welche davon asymptotisch stabil bzw. instabil sind.
Hinweis: Unterscheide die Fälle, ob sich die Geraden mit den Gleichungen [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] y - [mm] \mu [/mm] x = 0, und - [mm] \gamma [/mm] + [mm] \delta [/mm] x - [mm] \nu [/mm] y = 0 schneiden oder nicht. |
Hallo,
ich komm bei der Bestimmung der Gleichgewichtspunkte nicht weiter. Ich hab schon versucht einen Euler-Multiplikator zu finden, um das System exakt zu machen, und dann die Gleichgewichtspunkte einfacher zu bestimmen. Aber irgendwie geht das nicht.
Gleichgewichtspunkte sind doch die Stellen, wo x' = 0 und y' = 0 oder?
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte, die Gleichgewichtspunkte zu bestimmen. Mit dem Hinweis kann ich auch leider nichts anfangen.
Vielen Dank,
Moe
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Hallo Moe,
> Betrachte das System
> x'= [mm](\alpha[/mm] - [mm]\beta[/mm] y - [mm]\mu[/mm] x) x,
> y' = (- [mm]\gamma[/mm] + [mm]\delta[/mm] x - [mm]\nu[/mm] y) y mit [mm]\alpha, \beta, \gamma, \delta, \mu, \nu[/mm]
> > 0
>
> Bestimme die Gleichgewichtspunkte im Quadranten [0,
> [mm]\infty[^{2}[/mm] und entscheide durch Linearisierung, welche
> davon asymptotisch stabil bzw. instabil sind.
> Hinweis: Unterscheide die Fälle, ob sich die Geraden mit
> den Gleichungen [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] y - [mm]\mu[/mm] x = 0, und - [mm]\gamma[/mm]
> + [mm]\delta[/mm] x - [mm]\nu[/mm] y = 0 schneiden oder nicht.
> Hallo,
> ich komm bei der Bestimmung der Gleichgewichtspunkte nicht
> weiter. Ich hab schon versucht einen Euler-Multiplikator zu
> finden, um das System exakt zu machen, und dann die
> Gleichgewichtspunkte einfacher zu bestimmen. Aber irgendwie
> geht das nicht.
> Gleichgewichtspunkte sind doch die Stellen, wo x' = 0 und
> y' = 0 oder?
yep.
> Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte, die
> Gleichgewichtspunkte zu bestimmen. Mit dem Hinweis kann ich
> auch leider nichts anfangen.
ist doch eigentlich klar: du hast sowohl für x' als auch für y' gleichungen in produktform. produkte sind genau dann gleich 0, wenn mind. einer der faktoren null ist. du musst also unterscheiden: wenn sich die beiden angegebenen geraden schneiden, ist der schnittpunkt einer mit x'=y'=0, also ein GGW-Punkt. es kann aber eventuell noch andere punkte geben.
was die stabilität angeht, musst du deine unterlagen zu rate ziehen: meine rudimentären recherchen zur stabilität von dynamischen systemen (Wiki hilft!) haben ergeben, dass man im ruhepunkt die definierende funktion der GDG linearisieren muss (also die jacobi-matrix bestimmen) und dann deren eigenwerte bestimmt. für kleine abweichungen vom ruhepunkt, die einen ja für stabilitätsaussagen vor allem interessieren, kann man dann entsprechende aussagen ableiten.
Gruß
Matthias
> Vielen Dank,
> Moe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 17.07.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Matthias,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
Ich hab leider nicht alles verstanden, was du meintest.
x' = 0 gdw. [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] y - [mm] \mu [/mm] x) x = 0
Also ist x = 0 oder [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] y - [mm] \mu [/mm] x) = 0
Ich soll doch überprüfen, ob die Gleichungen [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] y - [mm] \mu [/mm] x = 0 und [mm] -\gamma [/mm] + [mm] \delta [/mm] x - [mm] \nu [/mm] y = 0 sich schneiden.
Also hab ich sie einfach mal gleichgesetzt:
[mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] y - [mm] \mu [/mm] x = [mm] -\gamma [/mm] + [mm] \delta [/mm] x - [mm] \nu [/mm] y
[mm] \alpha [/mm] + [mm] \gamma [/mm] + [mm] (\beta [/mm] + [mm] \nu)y [/mm] = [mm] (\delta [/mm] + [mm] \mu) [/mm] x
Wie kann ich denn jetzt x und y herauskriegen?
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Viele Grüße,
Mini
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Hallo,
> Hallo Matthias,
> erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
> Ich hab leider nicht alles verstanden, was du meintest.
>
> x' = 0 gdw. [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] y - [mm]\mu[/mm] x) x = 0
> Also ist x = 0 oder [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] y - [mm]\mu[/mm] x) = 0
>
> Ich soll doch überprüfen, ob die Gleichungen [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm]
> y - [mm]\mu[/mm] x = 0 und [mm]-\gamma[/mm] + [mm]\delta[/mm] x - [mm]\nu[/mm] y = 0 sich
> schneiden.
> Also hab ich sie einfach mal gleichgesetzt:
> [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] y - [mm]\mu[/mm] x = [mm]-\gamma[/mm] + [mm]\delta[/mm] x - [mm]\nu[/mm] y
> [mm]\alpha[/mm] + [mm]\gamma[/mm] + [mm](\beta[/mm] + [mm]\nu)y[/mm] = [mm](\delta[/mm] + [mm]\mu)[/mm] x
>
> Wie kann ich denn jetzt x und y herauskriegen?
vielleicht sind die variablennnamen ein wenig verwirrend, aber solche aufgaben hast du bestimmt schon in der schule zu dutzenden gelöst....  du musst eigentlich nur beide gleichungen nach y auflösen und dann gleichsetzen. dann nach x auflösen und fertig.
gruß
Matthias
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