Gleichgrad Integrierbar < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] $U_n,T_n$ [/mm] Zufallsvariablen, wobei [mm] $U_n$ [/mm] in Wahrscheinlichkeit gegen $a$ konvergiert und die Familie [mm] $(T_n)$ [/mm] gleichgradig integrierbar ist. |
Wie kann ich formal zeigen, dass dann [mm] $T_n(U_n-a)$ [/mm] in Wahrscheinlichkeit gegen $0$ konvergiert?
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Hiho,
die Folge [mm] T_n [/mm] ist gleichgradig integrierbar und damit gilt:
[mm] $\lim_{c\to\infty} \sup_{n\in\IN} \int_{\{|T_n| > c\}} |T_n| [/mm] dP = 0$
Insbesondere gilt daher erst recht: [mm] $c\sup_{n\in\IN}P(T_n [/mm] > c) [mm] \to [/mm] 0$ für [mm] $c\to\infty$
[/mm]
Damit ergibt sich:
$P( [mm] |T_n(U_n [/mm] - a)| [mm] \ge \varepsilon) [/mm] = P( [mm] |T_n(U_n [/mm] - a)| [mm] \ge \varepsilon, |T_n| [/mm] > c) + [mm] P(|T_n(U_n [/mm] - a)| [mm] \ge \varepsilon, |T_n| \le [/mm] c) [mm] \le P(|T_n| [/mm] > c) + [mm] P(c|U_n [/mm] -a| [mm] \ge \varepsilon) \le \sup_{n\in\IN} P(|T_n| [/mm] > c) + [mm] P(|U_n [/mm] -a| [mm] \ge \tilde\varepsilon)$ [/mm]
mit $ [mm] \tilde\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{\varepsilon}{c}$
[/mm]
Zu zeigen ist, dass $P( [mm] |T_n(U_n [/mm] - a)| [mm] \ge \varepsilon) [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] für beliebes [mm] $\delta [/mm] > 0$ und n groß genug.
Wähle [mm] $c\in\IR$ [/mm] nun so groß, dass [mm] $\sup_{n\in\IN} P(|T_n| [/mm] > c) < [mm] \frac{\delta}{2}$ [/mm] (warum existiert das?) und n ausreichend groß, so dass [mm] $P(|U_n [/mm] -a| [mm] \ge \tilde\varepsilon) [/mm] < [mm] \frac{\delta}{2}$ [/mm] (warum existiert das?) und schon folgt das Gewünschte.
Gruß,
Gono
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