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Forum "Uni-Stochastik" - Gleichgradige Integrierbarkeit
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Gleichgradige Integrierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Mo 14.09.2015
Autor: Fry

Aufgabe
Sei [mm](X_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] eine Folge von unabhängigen, id.verteilten Zufallsgrößen mit
[mm]P(X_1=-1)=\frac{1}{2}=P(X_1=1)[/mm]. Sei [mm]S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i[/mm].
Zeigen Sie, dass [mm](S_n)_n[/mm] nicht gleichgradig integrierbar ist.

(d.h. [mm]\lim_{a\to\infty}\sup_{n\in\mathbb N}E[|S_n|*1_{\{|S_n|>a\}}]=0[/mm] )



Hallo zusammen,

also ich habe mir einen Lösungsweg überlegt, allerdings frage ich mich, ob es nicht auch einen anderen Weg gibt. Hättet ihr da eine Idee?

Mein Weg (stimmt der?):
[mm](S_n)_n[/mm] ist ein Martingal bzgl. der kan. Filtration.
Annahme: [mm] $(S_n)_n$ [/mm] ist gleichgradig integrierbar. Da [mm] $(S_n)$ [/mm] Martingal ist, muss [mm] $(S_n)$ [/mm] P-fast sicher konvergieren, allerdings gilt nach dem Satz von Chung-Fuchs [mm]\limsup_{n\to\infty} S_n=\infty[/mm]
 und [mm]\liminf_{n\to\infty} S_n=-\infty[/mm] fast sicher.

Viele Grüße
Fry

        
Bezug
Gleichgradige Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Mo 14.09.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

deine Idee ist ok.
Es müsste aber sogar möglich sein direkt $ [mm] \lim_{a\to\infty}\sup_{n\in\mathbb N}E[|S_n|\cdot{}1_{\{|S_n|>a\}}]\not= [/mm] 0 $ zu zeigen.

Rein intuitiv (und nach skizzenhaften Umformungen) müsste eigentlich [mm] $\sup_{n\in\mathbb N}E[|S_n|\cdot{}1_{\{|S_n|>a\}}] [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] gelten.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Gleichgradige Integrierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Mi 16.09.2015
Autor: Fry

Hey Gono,

danke für deine Antwort!
Könntest du vielleicht deine Ansätze posten?

VG

Bezug
                        
Bezug
Gleichgradige Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Do 17.09.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

mein erster Ansatz begründete sich auf einen Rechenfehler ^^

Aber: Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste man für gerade [mm] $n\ge [/mm] a$ bekommen:

[mm] $E[|S_n|\cdot{}1_{\{|S_n|>a\}}] [/mm] = [mm] \bruch{2}{4^n}\sum_{k=0}^\frac{n-a}{2}(a+2k)\vektor{n \\ k}$ [/mm]

Ich bin noch am grübeln, wie davon das Supremum über n aussieht....

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Gleichgradige Integrierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:01 Fr 18.09.2015
Autor: Fry

Vielen Dank!
Kann man es vielleicht nach unten abschätzen?

VG
Fry

Bezug
                                        
Bezug
Gleichgradige Integrierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:37 Sa 19.09.2015
Autor: Gonozal_IX

Hallo Fry,

>  Kann man es vielleicht nach unten abschätzen?

meine Abschätzungen nach unten lieferten immer nur ein [mm] $\ge [/mm] 0$ und das ist natürlich gar nicht zielführend :-)
Waren also immer zu stark. Bin für Ideen aber jederzeit offen.


Gruß,
Gono

Bezug
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