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Gleichheit von Erzeugnissen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 So 04.12.2016
Autor: mathe_thommy

Aufgabe
Sei $V$ der [mm] $\IR$-Vektorraum $\IR^{3}$. [/mm] Dann ist zu zeigen: [mm] $\langle [/mm] (1,1,0),(2,2,0) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle (\wurzel{2}, \wurzel{2},0) \rangle$. [/mm]


Guten Tag!

Die obige Aufgabe fordert von mir, die Gleichheit zweier Erzeugnisse nachzuweisen. Das Erzeugnis habe ich laut Definition als Menge aller möglichen Linearkombinationen kennengelernt. Anders ausgedrückt steht dort oben als:

[mm] $\{\lambda (1,1,0)+\mu (2,2,0): \lambda ,\mu \in \IR \} [/mm] = [mm] \{ \theta (\wurzel{2}, \wurzel{2},0): \theta \in \IR \}$ [/mm]

Ist das vom grundlegenden Verständnis korrekt? Falls dem so ist, weiß ich nicht, wie ich nun die Gleichheit beider Mengen zeigen kann. Ich muss doch zeigen, dass für $( [mm] \wurzel{2}, \wurzel{2},0)$ [/mm] genauso viele Linearkombinationen existieren wie für $(1,1,0), (2,2,0)$ zusammen, oder?

Über einen Denkanstoß in die richtige Richtung würde ich mich sehr freuen!

Beste Grüße
mathe_thommy

        
Bezug
Gleichheit von Erzeugnissen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 So 04.12.2016
Autor: hippias


> Sei [mm]V[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum [mm]\IR^{3}[/mm]. Dann ist zu zeigen:
> [mm]\langle (1,1,0),(2,2,0) \rangle = \langle (\wurzel{2}, \wurzel{2},0) \rangle[/mm].
>  
> Guten Tag!
>  
> Die obige Aufgabe fordert von mir, die Gleichheit zweier
> Erzeugnisse nachzuweisen. Das Erzeugnis habe ich laut
> Definition als Menge aller möglichen Linearkombinationen
> kennengelernt. Anders ausgedrückt steht dort oben als:
>  
> [mm]\{\lambda (1,1,0)+\mu (2,2,0): \lambda ,\mu \in \IR \} = \{ \theta (\wurzel{2}, \wurzel{2},0): \theta \in \IR \}[/mm]
>  
> Ist das vom grundlegenden Verständnis korrekt?

Ja.

> Falls dem
> so ist, weiß ich nicht, wie ich nun die Gleichheit beider
> Mengen zeigen kann. Ich muss doch zeigen, dass für [mm]( \wurzel{2}, \wurzel{2},0)[/mm]
> genauso viele Linearkombinationen existieren wie für
> [mm](1,1,0), (2,2,0)[/mm] zusammen, oder?

Wie bringst Du denn hier eine Anzahl ins Spiel? Eine Gleichheit von Mengen zeigst Du so wie immer: indem Du zeigst, dass beide Mengen in einander enthalten sind.

Seien also [mm] $\lambda,\mu\in \IR$. [/mm] Finde [mm] $\theta\in \IR$ [/mm] so, dass [mm] $\lambda(1,1,0)+\mu [/mm] (2,2,0)= [mm] \theta( \wurzel{2}, \wurzel{2},0)$ [/mm] gilt. Usw usf.

>  
> Über einen Denkanstoß in die richtige Richtung würde ich
> mich sehr freuen!
>  
> Beste Grüße
>  mathe_thommy  


Bezug
                
Bezug
Gleichheit von Erzeugnissen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 So 04.12.2016
Autor: mathe_thommy

Vielen Dank bereits für deine Unterstützung!

Gut, dann versuche ich ein entsprechendes [mm] $\theta$ [/mm] zu finden, indem ich umforme:

$ [mm] \lambda(1,1,0)+\mu [/mm] (2,2,0)= [mm] \theta( \wurzel{2}, \wurzel{2},0) [/mm] $
$ [mm] \gdw (\lambda [/mm] , [mm] \lambda [/mm] , 0)+ [mm] (2\mu [/mm] , [mm] 2\mu [/mm] , 0) = [mm] (\theta \wurzel{2}, \theta \wurzel{2}, [/mm] 0)$
[mm] $\gdw (\lambda [/mm] + 2 [mm] \mu [/mm] , [mm] \lambda [/mm] + 2 [mm] \mu [/mm] , 0) = [mm] (\theta \wurzel{2}, \theta \wurzel{2}, [/mm] 0)$

Da die ersten beiden Komponenten identisch sind, weiß ich nun:

[mm] $\lambda [/mm] + 2 [mm] \mu [/mm] = [mm] \wurzel{2} \theta$ [/mm]
[mm] $\gdw \bruch{\lambda + 2 \mu}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] \theta$ [/mm]

Habe ich so ein entsprechendes [mm] $\theta$ [/mm] gefunden?

Bezug
                        
Bezug
Gleichheit von Erzeugnissen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 So 04.12.2016
Autor: hippias

Ja.

Bezug
                                
Bezug
Gleichheit von Erzeugnissen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:49 So 04.12.2016
Autor: mathe_thommy

Dankeschön! Damit bin ich schon ein ganzes Stück weiter - ist die Aufgabe damit erledigt oder muss ich selbige Rechnung auch für [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] durchführen?


Bezug
                                        
Bezug
Gleichheit von Erzeugnissen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:16 Mo 05.12.2016
Autor: angela.h.b.


> Dankeschön! Damit bin ich schon ein ganzes Stück weiter -
> ist die Aufgabe damit erledigt oder muss ich selbige
> Rechnung auch für [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] durchführen?

Hallo,

bisher hast Du gezeigt: $ [mm] \langle [/mm] (1,1,0),(2,2,0) [mm] \rangle  \subseteq \langle (\wurzel{2}, \wurzel{2},0) \rangle [/mm] $.

Nun noch die andere Richtung.

LG Angela
>

Bezug
                                                
Bezug
Gleichheit von Erzeugnissen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Mo 05.12.2016
Autor: mathe_thommy

Dankeschön, Angela!

Das heißt, um zu zeigen, dass [mm] $\langle (\wurzel{2}, \wurzel{2},0) \rangle \subseteq \langle [/mm] (1,1,0),(2,2,0) [mm] \rangle$, [/mm] muss ich nun noch eine analoge Rechnung für [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] ausführen, oder?

Also beispielsweise:
$ [mm] \lambda [/mm] = [mm] \wurzel{2} \theta [/mm] - 2 [mm] \mu$ [/mm]
und
[mm] $\mu [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2} \theta - \lambda}{2}$. [/mm]

Ist das korrekt?

Beste Grüße
mathe_thommy

Bezug
                                                        
Bezug
Gleichheit von Erzeugnissen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Mo 05.12.2016
Autor: hippias

Das ist im Grunde richtig, jedoch frage ich mich, was die Darstellung für [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] bringen sollen, wo doch beide unbekannt sind.

Um es ganz konkret zu machen: Sei [mm] $\theta=10$. [/mm] Wie könnten passende [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] sein? Verallgemeinere nun auf beliebiges [mm] $\theta$. [/mm]

Bezug
                                                                
Bezug
Gleichheit von Erzeugnissen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Mo 05.12.2016
Autor: mathe_thommy

Verstehe, ich muss nun also durch Einsetzen (beispielsweise [mm] $\lambda$ [/mm] in das Ergebnis von [mm] $\mu$) [/mm] eine konkrete Lösung angeben?

Angenommen [mm] \theta [/mm] = 10 , wie Du es vorgeschlagen hast, dann könnte zum Beispiel [mm] \lambda [/mm] = [mm] 10 \wurzel{2}, \mu [/mm] = 0 sein oder aber [mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{10 \wurzel{2}}{2}, \lambda [/mm] = 0.

Darauf bin ich jetzt aber durch "Ausprobieren" mit der Ausgangs-Linearkombination gekommen. Wie kann ich dieses Ergebnis verallgemeinern? Sind also die allgemeinen Lösungen [mm] \lambda [/mm] = [mm] \theta \wurzel{2}-\mu [/mm] bzw. [mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{\theta \wurzel{2}}{2}-\lambda=\bruch{\theta}{\wurzel{2}}-\lambda? [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
Gleichheit von Erzeugnissen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Di 06.12.2016
Autor: hippias

Nehmen wir an, ich ich möchte [mm] $\theta\vektor{1\\1}\in <\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}, \vektor{3\\1}>$ [/mm] zeigen. Dann zeige ich dies, indem ich z.B. erkenne, dass [mm] $\theta\vektor{1\\1}= 0\cdot\vektor{1\\0}+\frac{2\theta}{3} \vektor{0\\1}+\frac{\theta}{3} \vektor{3\\1}$ [/mm] gilt, also [mm] $\theta\vektor{1\\1}= \alpha\cdot\vektor{1\\0}+\beta \vektor{0\\1}+\gamma \vektor{3\\1}$ [/mm] mit [mm] $\alpha=0$, $\beta=\frac{2\theta}{3}$ [/mm] und [mm] $\gamma= \frac{\theta}{3}$ [/mm] gilt; es gibt natürlich noch weitere Darstellungsmöglichkeiten.

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