Gleichheit zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Fr 28.05.2010 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Gegeben [mm] $\vec{A}=\left(\begin{array}{c}xy\\yz\\zx\end{array}\right)$
[/mm]
sowie ein Zylinder des Radius R und der Höhe h
Zeigen Sie durch explizite Berechnung, dass folgende Gleichung gilt:
[mm] $\int_{O}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{F}=\int_{V}\nabla\cdot\vec{A}\mathrm{d}V$
[/mm]
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Hallo, ich habe bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten.
Da es sich um einen Zylinder handelt, entscheide ich mich für [mm] Zylinderkoordinaten:$\vec{r}=(r\cos\varphi,r\sin\varphi,z)$ [/mm] damit wird [mm] $\vec [/mm] A$ zu:
[mm] $\vec{A}(\vec{r})=\left(\begin{array}{c}
r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\\zr\sin\varphi\\zr\cos\varphi\end{array}\right)$
[/mm]
Ich berechne jetzt zuerst die linke Seite mit [mm] $\mathrm{d}\vec{F}=\left(\frac{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial z}\right)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{array}\right)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$ [/mm] :
[mm] $\int_{O}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{F}=\left(\begin{array}{c}
r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\\
zr\sin\varphi\\
zr\cos\varphi\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
r\cos\varphi\\
r\sin\varphi\\
0\end{array}\right)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=\int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\left(r^{3}\sin\varphi\cos^{2}\varphi+zr^{2}\sin^{2}\varphi\right)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=\frac{\pi h^{2}r^{2}}{2}$
[/mm]
Jetzt die rechte Seite mit [mm] $\nabla\cdot\vec{A}=r\cos\varphi$ [/mm] und [mm] $\mathrm{d}V=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$:
[/mm]
[mm] $\int_{V}\nabla\cdot\vec{A}\mathrm{d}V=\int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^{2}\cos\varphi\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=0$
[/mm]
und das ist irgendwie gar nicht so gleich...
PS: Die Integrale habe ich alle mittels CAS berechnet, also sollten Rechenfehler ausgeschlossen sein.
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Hallo!
> Gegeben
> [mm]\vec{A}=\left(\begin{array}{c}xy\\yz\\zx\end{array}\right)[/mm]
> sowie ein Zylinder des Radius R und der Höhe h
> Zeigen Sie durch explizite Berechnung, dass folgende
> Gleichung gilt:
>
> [mm]\int_{O}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{F}=\int_{V}\nabla\cdot\vec{A}\mathrm{d}V[/mm]
>
> Hallo, ich habe bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten.
> Da es sich um einen Zylinder handelt, entscheide ich mich
> für
> Zylinderkoordinaten:[mm]\vec{r}=(r\cos\varphi,r\sin\varphi,z)[/mm]
> damit wird [mm]\vec A[/mm] zu:
> [mm]$\vec{A}(\vec{r})=\left(\begin{array}{c}
r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\\zr\sin\varphi\\zr\cos\varphi\end{array}\right)$[/mm]
Das ist schon einmal eine gute Idee. Allerdings würde ich an dieser Stelle empfehlen, zusätzlich die Transformation des Vektorfeldes auf die Einheitsvektoren des Zylinderkoordinatensystems gemäß
[mm] \vec{e}_{x}=\vec{e}_{\rho}cos(\varphi)-\vec{e}_{\varphi}sin(\varphi)
[/mm]
[mm] \vec{e}_{y}=\vec{e}_{\rho}sin(\varphi)+\vec{e}_{\varphi}cos(\varphi)
[/mm]
[mm] \vec{e}_{z}=\vec{e}_{z}
[/mm]
zu projizieren.
> Ich berechne jetzt zuerst die linke Seite mit
> [mm]\mathrm{d}\vec{F}=\left(\frac{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial z}\right)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{array}\right)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z[/mm]
Hier das gleiche Spielchen: Du erhälst dann das orientierte Flächenelement zu [mm] d\vec{A}=\rho\vec{e}_{\rho}d\varphi{dz}, [/mm] wobei [mm] \vec{e}_{\rho} [/mm] hier den Zylindermantelflächennormalen(einheits)vektor darstellt.
Jetzt aber zum entscheidenden Punkt:
Die obige Berechnung bezieht sich lediglich auf die Fläche, die durch [mm] \varphi [/mm] und z bei gegebenem [mm] \rho [/mm] aufgespannt wird, also auf die Zylindermanteloberfläche.
Die direkte Berechnung des Hüllflächenintegrals erfordert jedoch bei der gegebenen Anordnung die Auswertung über insgesamt 3 Teilflächen. Bei deinen Berechnungen fehlen also noch die 2 Stirnseiten des Zylinders.
Angenommen du hättest einen [mm] \bruch{3}{4}-Zylinder [/mm] entlang der z-Achse. In diesem Fall müsstest dann zur Berechnung des Hüllflächenintegrals sogar 5 Teilflächen auswerten, mit dem Volumenintegral jedoch nur eine. Insofern demonstriert diese Aufgabe quasi den Wert über das Wissen des GAUSSschen Satzes.
> [mm]$\int_{O}\vec{A}\cdot\mathrm{d}\vec{F}=\left(\begin{array}{c}
r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\\
zr\sin\varphi\\
zr\cos\varphi\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
r\cos\varphi\\
r\sin\varphi\\
0\end{array}\right)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=\int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\left(r^{3}\sin\varphi\cos^{2}\varphi+zr^{2}\sin^{2}\varphi\right)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=\frac{\pi h^{2}r^{2}}{2}$[/mm]
>
> Jetzt die rechte Seite mit [mm]\nabla\cdot\vec{A}=r\cos\varphi[/mm]
> und
> [mm]\mathrm{d}V=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z[/mm]:
>
> [mm]\int_{V}\nabla\cdot\vec{A}\mathrm{d}V=\int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^{2}\cos\varphi\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=0[/mm]
Mit [mm] \nabla(\rho,\varphi,z)*\vec{A}=div*\vec{A}=\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial(\rho{A}_{\rho})}{\partial\rho}+\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial{A}_{\varphi}}{\partial\varphi}+\bruch{\partial{A}_{z}}{\partial{z}} [/mm] und [mm] \rho\in[0,\infty), \varphi\in[0,2\pi), z\in(-\infty,\infty)
[/mm]
sollte es dir nun gelingen, die Gleichheit über das GAUSSche Gesetz zu zeigen.
> und das ist irgendwie gar nicht so gleich...
>
> PS: Die Integrale habe ich alle mittels CAS berechnet, also
> sollten Rechenfehler ausgeschlossen sein.
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Fr 28.05.2010 | | Autor: | notinX |
> Hallo!
> Das ist schon einmal eine gute Idee. Allerdings würde ich
> an dieser Stelle empfehlen, zusätzlich die Transformation
> des Vektorfeldes auf die Einheitsvektoren des
> Zylinderkoordinatensystems gemäß
>
>
> [mm]\vec{e}_{x}=\vec{e}_{\rho}cos(\varphi)-\vec{e}_{\varphi}sin(\varphi)[/mm]
>
> [mm]\vec{e}_{y}=\vec{e}_{\rho}sin(\varphi)+\vec{e}_{\varphi}cos(\varphi)[/mm]
>
> [mm]\vec{e}_{z}=\vec{e}_{z}[/mm]
>
>
> zu projizieren.
Hmm... vielleicht steh ich aufm Schlauch, aber was soll das bringen?
> > Ich berechne jetzt zuerst die linke Seite mit
> >
> [mm]\mathrm{d}\vec{F}=\left(\frac{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial z}\right)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{array}\right)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z[/mm]
>
>
>
> Hier das gleiche Spielchen: Du erhälst dann das
> orientierte Flächenelement zu
> [mm]d\vec{A}=\rho\vec{e}_{\rho}d\varphi{dz},[/mm] wobei
> [mm]\vec{e}_{\rho}[/mm] hier den
> Zylindermantelflächennormalen(einheits)vektor darstellt.
>
Steht bei mir nicht genau das Gleiche? (wenn man r bzw. [mm] $\rho$ [/mm] als Faktor vor den Vektor schreibt)
> Jetzt aber zum entscheidenden Punkt:
>
>
> Die obige Berechnung bezieht sich lediglich auf die
> Fläche, die durch [mm]\varphi[/mm] und z bei gegebenem [mm]\rho[/mm]
> aufgespannt wird, also auf die Zylindermanteloberfläche.
>
>
> Die direkte Berechnung des Hüllflächenintegrals erfordert
> jedoch bei der gegebenen Anordnung die Auswertung über
> insgesamt 3 Teilflächen. Bei deinen Berechnungen fehlen
> also noch die 2 Stirnseiten des Zylinders.
Das habe ich in der Tat übersehen.
Die Fläche der beiden Stirnseiten ergibt sich mit [mm] $\mathrm{d}\vec{A}=\left(\frac{\partial\vec{r}}{\partial r}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=\left(\begin{array}{c}
\cos\varphi\\
\sin\varphi\\
0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}
-r\sin\varphi\\
r\cos\varphi\\
0\end{array}\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=\left(\begin{array}{c}
0\\0\\r\end{array}\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi$ [/mm] zu:
[mm] $2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
r\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\\
zr\sin\varphi\\
zr\cos\varphi\end{array}\right)\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^{2}z\cos\varphi\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=0$
[/mm]
also habe ich noch mal Glück gehabt und es ändert sich am Ergebnis nichts.
>
> Angenommen du hättest einen [mm]\bruch{3}{4}-Zylinder[/mm] entlang
> der z-Achse. In diesem Fall müsstest dann zur Berechnung
> des Hüllflächenintegrals sogar 5 Teilflächen auswerten,
> mit dem Volumenintegral jedoch nur eine. Insofern
> demonstriert diese Aufgabe quasi den Wert über das Wissen
> des GAUSSschen Satzes.
>
Das leuchtet ein (auch wenn ich mir nichts unter einem 3/4-Zylinder vorstellen kann)
>
> Mit
> [mm]\nabla(\rho,\varphi,z)*\vec{A}=div*\vec{A}=\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial(\rho{A}_{\rho})}{\partial\rho}+\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial{A}_{\varphi}}{\partial\varphi}+\bruch{\partial{A}_{z}}{\partial{z}}[/mm]
> und [mm]\rho\in[0,\infty), \varphi\in[0,2\pi), z\in(-\infty,\infty)[/mm]
>
>
> sollte es dir nun gelingen, die Gleichheit über das
> GAUSSche Gesetz zu zeigen.
Aha, ich muss also den Nabla-Operator an die Zylinderkoordinaten anpassen, macht auch irgendwie Sinn.
Aber wo kommen die [mm] $\rho$s [/mm] in Zähler und Nenner her und kürzt sich das [mm] $\rho$ [/mm] beim ersten Summanden nicht raus?
Aber auch wenn ich das mal einfach so hinnehme:
[mm] $\int_V({1}{\rho}\bruch{\partial(\rho{A}_{\rho})}{\partial\rho}+\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial{A}_{\varphi}}{\partial\varphi}+\bruch{\partial{A}_{z}}{\partial{z}})dV=\int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(3\sin\varphi\cos\varphi+z\cos\varphi+r\cos\varphi)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=0$
[/mm]
kommt wenn ich mich nirgends vertippt habe immernoch 0 raus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Sa 29.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Edit: dieser post ist falsch [mm] dV=rdrd\phi [/mm] dz ist richtig
ich hab den Rest nicht nachgesehen, aber dV ist falsch, merkst du schin daran, dass ddein dV die Dimension Länge hat.
Gruss leduart
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Hallo!
> > Hallo!
> > Das ist schon einmal eine gute Idee. Allerdings würde
> ich
> > an dieser Stelle empfehlen, zusätzlich die Transformation
> > des Vektorfeldes auf die Einheitsvektoren des
> > Zylinderkoordinatensystems gemäß
> >
> >
> >
> [mm]\vec{e}_{x}=\vec{e}_{\rho}cos(\varphi)-\vec{e}_{\varphi}sin(\varphi)[/mm]
> >
> >
> [mm]\vec{e}_{y}=\vec{e}_{\rho}sin(\varphi)+\vec{e}_{\varphi}cos(\varphi)[/mm]
> >
> > [mm]\vec{e}_{z}=\vec{e}_{z}[/mm]
> >
> >
> > zu projizieren.
>
> Hmm... vielleicht steh ich aufm Schlauch, aber was soll das
> bringen?
>
>
> > > Ich berechne jetzt zuerst die linke Seite mit
> > >
> >
> [mm]\mathrm{d}\vec{F}=\left(\frac{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial z}\right)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{array}\right)\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z[/mm]
> >
> >
> >
> > Hier das gleiche Spielchen: Du erhälst dann das
> > orientierte Flächenelement zu
> > [mm]d\vec{A}=\rho\vec{e}_{\rho}d\varphi{dz},[/mm] wobei
> > [mm]\vec{e}_{\rho}[/mm] hier den
> > Zylindermantelflächennormalen(einheits)vektor darstellt.
> >
>
> Steht bei mir nicht genau das Gleiche? (wenn man r bzw.
> [mm]\rho[/mm] als Faktor vor den Vektor schreibt)
>
>
>
>
> > Jetzt aber zum entscheidenden Punkt:
> >
> >
> > Die obige Berechnung bezieht sich lediglich auf die
> > Fläche, die durch [mm]\varphi[/mm] und z bei gegebenem [mm]\rho[/mm]
> > aufgespannt wird, also auf die Zylindermanteloberfläche.
> >
> >
> > Die direkte Berechnung des Hüllflächenintegrals erfordert
> > jedoch bei der gegebenen Anordnung die Auswertung über
> > insgesamt 3 Teilflächen. Bei deinen Berechnungen fehlen
> > also noch die 2 Stirnseiten des Zylinders.
>
> Das habe ich in der Tat übersehen.
> Die Fläche der beiden Stirnseiten ergibt sich mit
> [mm]$\mathrm{d}\vec{A}=\left(\frac{\partial\vec{r}}{\partial r}\times\frac{\partial\vec{r}}{\partial\varphi}\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=\left(\begin{array}{c}
\cos\varphi\\
\sin\varphi\\
0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}
-r\sin\varphi\\
r\cos\varphi\\
0\end{array}\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=\left(\begin{array}{c}
0\\0\\r\end{array}\right)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi$[/mm]
> zu:
>
> [mm]$2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
r\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\\
zr\sin\varphi\\
zr\cos\varphi\end{array}\right)\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^{2}z\cos\varphi\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=0$[/mm]
>
> also habe ich noch mal Glück gehabt und es ändert sich am
> Ergebnis nichts.
>
>
>
> >
> > Angenommen du hättest einen [mm]\bruch{3}{4}-Zylinder[/mm] entlang
> > der z-Achse. In diesem Fall müsstest dann zur Berechnung
> > des Hüllflächenintegrals sogar 5 Teilflächen auswerten,
> > mit dem Volumenintegral jedoch nur eine. Insofern
> > demonstriert diese Aufgabe quasi den Wert über das Wissen
> > des GAUSSschen Satzes.
> >
>
> Das leuchtet ein (auch wenn ich mir nichts unter einem
> 3/4-Zylinder vorstellen kann)
>
>
> >
> > Mit
> >
> [mm]\nabla(\rho,\varphi,z)*\vec{A}=div*\vec{A}=\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial(\rho{A}_{\rho})}{\partial\rho}+\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial{A}_{\varphi}}{\partial\varphi}+\bruch{\partial{A}_{z}}{\partial{z}}[/mm]
> > und [mm]\rho\in[0,\infty), \varphi\in[0,2\pi), z\in(-\infty,\infty)[/mm]
>
> >
> >
> > sollte es dir nun gelingen, die Gleichheit über das
> > GAUSSche Gesetz zu zeigen.
>
> Aha, ich muss also den Nabla-Operator an die
> Zylinderkoordinaten anpassen, macht auch irgendwie Sinn.
> Aber wo kommen die [mm]\rho[/mm]s in Zähler und Nenner her
Diese Gestalt ergibt sich aus der Transformation des kartesischen Nabla-Operators in Zylinderkoordinaten unter formalem Zugrundeliegen einer Projektion auf die Einheitsvektoren des Zylinderkoordinatensystems.
> und
> kürzt sich das [mm]\rho[/mm] beim ersten Summanden nicht raus?
> Aber auch wenn ich das mal einfach so hinnehme:
Bei der Berechnung der Divergenz des Vektorfeldes in [mm] \vec{e}_{\rho}-Richtung [/mm] gehst du wie folgt vor:
1.) Multiplikation der Vektorfeldes in [mm] \vec{e}_{\rho}-Richtung [/mm] mit [mm] \rho
[/mm]
2.) Das Produkt, dass du in 1.) erhälst nach [mm] \rho [/mm] ableiten.
3.) Den Term unter 2.) mit [mm] \bruch{1}{\rho} [/mm] multiplizieren.
Die anderen beiden Summanen erhälst du durch Anwendung der entsprechenden Vorschrift.
> [mm]\int_V({1}{\rho}\bruch{\partial(\rho{A}_{\rho})}{\partial\rho}+\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial{A}_{\varphi}}{\partial\varphi}+\bruch{\partial{A}_{z}}{\partial{z}})dV=\int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(3\sin\varphi\cos\varphi+z\cos\varphi+r\cos\varphi)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z=0[/mm]
Wenn ich mich nicht verrechnet habe erhalte ich u.a. durch Anwendung der Produktregel für [mm] div\vec{A}
[/mm]
[mm] div\vec{A}=\rho{sin(\varphi)}cos^{2}(\varphi)+\rho{cos(\varphi)}+\rho{sin^{3}(\varphi)}+z
[/mm]
> kommt wenn ich mich nirgends vertippt habe immernoch 0
> raus.
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Sa 29.05.2010 | | Autor: | notinX |
@Marcel: Was soll ich mir unter einem 3/4-Zylinder vorstellen?
> Hallo
> ich hab den Rest nicht nachgesehen, aber dV ist falsch,
> merkst du schin daran, dass ddein dV die Dimension Länge
> hat.
> Gruss leduart
Ich hoffe, Du irrst Dich. Wikipedia und eine Handvoll Bücher die ich hier rumstehen habe sind nämlich anderer Meinung:
![[]](/images/popup.gif) Volumenelement
> > > Das ist schon einmal eine gute Idee. Allerdings
> würde
> > ich
> > > an dieser Stelle empfehlen, zusätzlich die Transformation
> > > des Vektorfeldes auf die Einheitsvektoren des
> > > Zylinderkoordinatensystems gemäß
> > >
> > >
> > >
> >
> [mm]\vec{e}_{x}=\vec{e}_{\rho}cos(\varphi)-\vec{e}_{\varphi}sin(\varphi)[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]\vec{e}_{y}=\vec{e}_{\rho}sin(\varphi)+\vec{e}_{\varphi}cos(\varphi)[/mm]
> > >
> > > [mm]\vec{e}_{z}=\vec{e}_{z}[/mm]
> > >
> > >
> > > zu projizieren.
> >
Hmm... vielleicht steh ich aufm Schlauch, aber was soll das
bringen?
> > > Hier das gleiche Spielchen: Du erhälst dann das
> > > orientierte Flächenelement zu
> > > [mm]d\vec{A}=\rho\vec{e}_{\rho}d\varphi{dz},[/mm] wobei
> > > [mm]\vec{e}_{\rho}[/mm] hier den
> > > Zylindermantelflächennormalen(einheits)vektor darstellt.
> > >
> >
Steht bei mir nicht genau das Gleiche? (wenn man r bzw.
[mm]\rho[/mm] als Faktor vor den Vektor schreibt)
> Wenn ich mich nicht verrechnet habe erhalte ich u.a. durch
> Anwendung der Produktregel für [mm]div\vec{A}[/mm]
>
>
> [mm]div\vec{A}=\rho{sin(\varphi)}cos^{2}(\varphi)+\rho{cos(\varphi)}+\rho{sin^{3}(\varphi)}+z[/mm]
>
Ist mir schleierhaft, wie Du darauf kommst. Welche Komponente von
$ [mm] $\vec{A}(\vec{r})=\left(\begin{array}{c} r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\\zr\sin\varphi\\zr\cos\varphi\end{array}\right)$ [/mm] $
ist denn [mm] $A_{\rho}$? [/mm] Die erste?
Edit: Link angepasst
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Sa 29.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, ich hab irgendwie das r übersehen. dein dV ist richtig.
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Hallo!
> @Marcel: Was soll ich mir unter einem 3/4-Zylinder
> vorstellen?
Betrachte dazu beispielsweise einen Zylinder mit den folgenden Abmessungen:
[mm] V_{Zylinder}(\rho,\varphi,z)=\integral_{0}^{l_{0}}{\integral_{0}^{\bruch{3}{2}\pi}\integral_{0}^{\rho_{0}}{{\rho}d\rho}d\varphi{dz}}
[/mm]
> > Hallo
> > ich hab den Rest nicht nachgesehen, aber dV ist falsch,
> > merkst du schin daran, dass ddein dV die Dimension Länge
> > hat.
> > Gruss leduart
>
> Ich hoffe, Du irrst Dich. Wikipedia und eine Handvoll
> Bücher die ich hier rumstehen habe sind nämlich anderer
> Meinung:
>
> Volumenelement
>
>
>
>
> > > > Das ist schon einmal eine gute Idee. Allerdings
> > würde
> > > ich
> > > > an dieser Stelle empfehlen, zusätzlich die Transformation
> > > > des Vektorfeldes auf die Einheitsvektoren des
> > > > Zylinderkoordinatensystems gemäß
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\vec{e}_{x}=\vec{e}_{\rho}cos(\varphi)-\vec{e}_{\varphi}sin(\varphi)[/mm]
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\vec{e}_{y}=\vec{e}_{\rho}sin(\varphi)+\vec{e}_{\varphi}cos(\varphi)[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\vec{e}_{z}=\vec{e}_{z}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > zu projizieren.
> > >
>
> Hmm... vielleicht steh ich aufm Schlauch, aber was soll das
> bringen?
Wenn du beispielsweise ein Hüllflächenintegral mit einem Flächenteilstück betrachtest, dessen Orientierung durch einen Einheitsvektor aus dem Zylinderkoordinatensystem erfolgt, so empfiehlt es sich auch den entsprechenden Ortsvektor, bzw. das entsprechende Vektorfeld auf die Einheitsvektoren des Zylinderkoordinatensystems zu projizieren, da du anderfalls ausschließlich Skalarprodukte ungleicher Einheitsvektoren erhälst. Denn man hat im Allgemeinen:
[mm] \vec{e}_{m}*\vec{e}_{n}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } m=n \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } m\not=n \mbox{} \end{cases}
[/mm]
> > > > Hier das gleiche Spielchen: Du erhälst dann das
> > > > orientierte Flächenelement zu
> > > > [mm]d\vec{A}=\rho\vec{e}_{\rho}d\varphi{dz},[/mm] wobei
> > > > [mm]\vec{e}_{\rho}[/mm] hier den
> > > > Zylindermantelflächennormalen(einheits)vektor darstellt.
> > > >
> > >
>
> Steht bei mir nicht genau das Gleiche? (wenn man r bzw.
> [mm]\rho[/mm] als Faktor vor den Vektor schreibt)
Deine Angabe war nicht falsch. Ich wollte nur auf die Gleichheit der Einheitsvektoren hinweisen. In weiteren Veranstaltungen wirst du sicher noch darauf stoßen. Die vollständige Transformation eines Vektorfeldes erfolgt üblicherweise in 2 Schritten:
1.) Zunächst werden, wie du es getan hast, die Komponentenfunktionen umgerechnet.
2.) Dann erfolgt eine Projektion auf die Einheitsvektoren des entsprechenden Koordinatensystems.
> > Wenn ich mich nicht verrechnet habe erhalte ich u.a. durch
> > Anwendung der Produktregel für [mm]div\vec{A}[/mm]
> >
> >
> >
> [mm]div\vec{A}=\rho{sin(\varphi)}cos^{2}(\varphi)+\rho{cos(\varphi)}+\rho{sin^{3}(\varphi)}+z[/mm]
> >
>
> Ist mir schleierhaft, wie Du darauf kommst. Welche
> Komponente von
> [mm] \vec{A}(\vec{r})=\left(\begin{array}{c} r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\\zr\sin\varphi\\zr\cos\varphi\end{array}\right)
[/mm]
Keine. Du betrachtest hier nach wie vor die Einheitsvektoren aus dem kartesischen Koordinatensystem. Die Umrechnungen in kreiszylindrische Einheitsvektoren hatte ich bereits oben gepostet.
> ist denn [mm]A_{\rho}[/mm]? Die erste?
>
>
> Edit: Link angepasst
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Sa 29.05.2010 | | Autor: | notinX |
> Betrachte dazu beispielsweise einen Zylinder mit den
> folgenden Abmessungen:
>
>
> [mm]V_{Zylinder}(\rho,\varphi,z)=\integral_{0}^{l_{0}}{\integral_{0}^{\bruch{3}{2}\pi}\integral_{0}^{\rho_{0}}{{\rho}d\rho}d\varphi{dz}}[/mm]
Ach das meinst Du... :)
> > > Wenn ich mich nicht verrechnet habe erhalte ich u.a. durch
> > > Anwendung der Produktregel für [mm]div\vec{A}[/mm]
> > >
> > >
> > >
> >
> [mm]div\vec{A}=\rho{sin(\varphi)}cos^{2}(\varphi)+\rho{cos(\varphi)}+\rho{sin^{3}(\varphi)}+z[/mm]
> > >
> >
> > Ist mir schleierhaft, wie Du darauf kommst. Welche
> > Komponente von
> > [mm]\vec{A}(\vec{r})=\left(\begin{array}{c} r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\\zr\sin\varphi\\zr\cos\varphi\end{array}\right)[/mm]
>
>
>
> Keine. Du betrachtest hier nach wie vor die
> Einheitsvektoren aus dem kartesischen Koordinatensystem.
> Die Umrechnungen in kreiszylindrische Einheitsvektoren
> hatte ich bereits oben gepostet.
>
> Gruß, Marcel
Ich kann dem leider nicht ganz folgen. Ich habe aber gerade herausgefunden, dass das richtige Ergebnis rauskommt wenn ich zuerst die Divergenz des nicht transformierten Feldes ausrechne, also:
[mm] $\mathrm{div}\vec{A}=y+z+x$
[/mm]
und dann die Transformationsgleichungen einsetze:
[mm] $\mathrm{\mathrm{div}}\vec{A}=r\sin\varphi+z+r\cos\varphi$
[/mm]
und dann über das Volumen integriere:
[mm] $\int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(r\sin\varphi+z+r\cos\varphi)\, r\,\mathrm{dr\, d\varphi\, dz=\frac{\pi h^{2}R^{2}}{2}}$
[/mm]
Ist das Zufall, oder gehts so auch?
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Hallo!
> > Betrachte dazu beispielsweise einen Zylinder mit den
> > folgenden Abmessungen:
> >
> >
> >
> [mm]V_{Zylinder}(\rho,\varphi,z)=\integral_{0}^{l_{0}}{\integral_{0}^{\bruch{3}{2}\pi}\integral_{0}^{\rho_{0}}{{\rho}d\rho}d\varphi{dz}}[/mm]
>
> Ach das meinst Du... :)
>
>
>
> > > > Wenn ich mich nicht verrechnet habe erhalte ich u.a. durch
> > > > Anwendung der Produktregel für [mm]div\vec{A}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]div\vec{A}=\rho{sin(\varphi)}cos^{2}(\varphi)+\rho{cos(\varphi)}+\rho{sin^{3}(\varphi)}+z[/mm]
> > > >
> > >
> > > Ist mir schleierhaft, wie Du darauf kommst. Welche
> > > Komponente von
> > > [mm]\vec{A}(\vec{r})=\left(\begin{array}{c} r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\\zr\sin\varphi\\zr\cos\varphi\end{array}\right)[/mm]
>
> >
> >
> >
> > Keine. Du betrachtest hier nach wie vor die
> > Einheitsvektoren aus dem kartesischen Koordinatensystem.
> > Die Umrechnungen in kreiszylindrische Einheitsvektoren
> > hatte ich bereits oben gepostet.
> >
> > Gruß, Marcel
>
> Ich kann dem leider nicht ganz folgen. Ich habe aber gerade
> herausgefunden, dass das richtige Ergebnis rauskommt wenn
> ich zuerst die Divergenz des nicht transformierten Feldes
> ausrechne, also:
> [mm]\mathrm{div}\vec{A}=y+z+x[/mm]
> und dann die Transformationsgleichungen einsetze:
> [mm]\mathrm{\mathrm{div}}\vec{A}=r\sin\varphi+z+r\cos\varphi[/mm]
> und dann über das Volumen integriere:
>
> [mm]\int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(r\sin\varphi+z+r\cos\varphi)\, r\,\mathrm{dr\, d\varphi\, dz=\frac{\pi h^{2}R^{2}}{2}}[/mm]
>
> Ist das Zufall, oder gehts so auch?
Nochmal: Ich habe nicht gesagt, dass deine Rechnung falsch ist. Natürlich gelangst du auch über diesen Weg zum Ziel.
Generell kann man Feldgleichung und die dazugehörigen Lösungen für beliebige Anordnungen in kartesischen Koordinaten ausdrücken. Man weicht ggf. auf othogonal, krummlinige Koordinaten aus, um von Symmetrieeigenschaften einer Anordnung zu profitieren.
Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 So 30.05.2010 | | Autor: | notinX |
> [mm]\int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(r\sin\varphi+z+r\cos\varphi)\, r\,\mathrm{dr\, d\varphi\, dz=\frac{\pi h^{2}R^{2}}{2}}[/mm]
>
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> > Ist das Zufall, oder gehts so auch?
>
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> Nochmal: Ich habe nicht gesagt, dass deine Rechnung falsch
> ist. Natürlich gelangst du auch über diesen Weg zum
> Ziel.
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Wieso nochmal? Ich habe diese Möglichkeit doch zum ersten Mal gepostet.
Wie auch immer, wenns so stimmt bin ich zufrieden :)
Vielen Dank für die Hilfe.
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