Gleichheit zweier Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beweisen oder widerlegen Sie: Zwei endliche Mengen sind genau dann gleich, wenn ihre Potenzmengen gleich sind. |
Ich weiß nicht, wie ich den Beweis angehen soll, obgleich ich mir relativ sicher bin, dass die Aussage der Wahrheit entspricht, da die Elemente, die in der Potenzmenge enthalten sind auch in der Ausgangsmenge enthalten sein müssen.
Sind nun die Potenzmengen gleich, müssen die Mengen ja auch die Selben Elemente haben.
Nur finde ich leider absolut keinen Einstiegspunkt für den Beweis.
Die einzige Idee die ich hatte, wäre zwei Mengen zu erstellen, die die selben Elemente enthalten, vielleicht mit einigen mehrfach, vielleicht in einer anderen Reihenfolge (wobei diese ja ohnehin keine rolle spielen sollte )
Würde ich nun von beiden die Potenzmenge bilden, müsste diese ja auch identisch sein.
Ich wäre sehr dankbar für einige Denkanstöße :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 So 07.11.2010 | | Autor: | Lippel |
> Beweisen oder widerlegen Sie: Zwei endliche Mengen sind
> genau dann gleich, wenn ihre Potenzmengen gleich sind.
Im Grunde sind ja zwei Aussagen zu zeigen, wobei hoffentlich klar ist, dass wenn zwei Mengen gleich sind, dass ihre Potenzmengen ebenfalls gleich sind.
Nun müssen wir zeigen, dass aus der Gleichheit der Potenzmengen auch die Gleichheit der Mengen selbst folgt:
Nehme also zwei Mengen $A,B$, für die gilt $P(A) = P(B)$ und nehme an es würde gelten $A [mm] \not=B$ [/mm] (Beweis durch Widerspruch). Daraus folgt oBdA: es existiert $a [mm] \in [/mm] A$ mit $a [mm] \not\in [/mm] B$.
Was kannst du nun daraus folgern?
Viele Grüße, Lippel
|
|
|
| |
|
Mein Weg wäre jetzt:
A,B [mm] \not= \emptyset
[/mm]
a [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \gdw [/mm] (a,b) [mm] \in \mathcal{P}_{A}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (a,b) [mm] \in \mathcal{P}_{B}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (a,b) [mm] \in \mathcal{P}_{A} \wedge \mathcal{P}_{B}
[/mm]
[mm] \gdw \mathcal{P}_{A} [/mm] = [mm] \mathcal{P}_{B}
[/mm]
wäre das so richtig bewiesen? :)
|
|
|
| |
|
> Mein Weg wäre jetzt:
> A,B [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> a [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] b [mm]\in[/mm] B [mm]\gdw[/mm] (a,b) [mm]\in \mathcal{P}_{A}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] (a,b) [mm]\in \mathcal{P}_{B}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] (a,b) [mm]\in \mathcal{P}_{A} \wedge \mathcal{P}_{B}[/mm]
>
> [mm]\gdw \mathcal{P}_{A}[/mm] =
> [mm]\mathcal{P}_{B}[/mm]
>
> wäre das so richtig bewiesen? :)
Hallo,
mit Sicherheit nicht.
Am besten überlegst Du Dir erstmal, was überhaupt zu zeigen ist. Nämlich
A=B <==> [mm] \mathcal{P}(A)=\mathval{P}(B).
[/mm]
Dies beinhaltet zwei Aussagen, die gezeigt werden müssen:
1. A=B ==> [mm] \mathcal{P}(A)=\mathval{P}(B)
[/mm]
2. [mm] \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B) [/mm] ==> A=B
Zu 1.:
Voraussetzung: A=B
zu zeigen: [mm] \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B),
[/mm]
[mm] dh.\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)
[/mm]
und [mm] \mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A).
[/mm]
dh. i) [mm] T\in \mathcal{P}(A) [/mm] ==> [mm] T\in\mathcal{P}(B)
[/mm]
und ii) [mm] T\in \mathcal{P}(B) [/mm] ==> [mm] T\in\mathcal{P}(A)
[/mm]
(All dies sind Überlegungen, die sich aus den Definitionen ergeben.)
Beweis:
i)
Sei [mm] T\in \mathcal{P}(A)
[/mm]
==>
[mm] T\subseteq [/mm] A
==> und jetzt weiter.
ii)...
Dann die andere Richtung.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
