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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Gleichmächtigkeit
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Gleichmächtigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Fr 27.10.2017
Autor: Flauschling


(a) Beweisen Sie, das die folgenden Menge M1 und M2 jeweils gleichmächtig sind, indem Sie eine bijektive
Abbildung f : M1 → M2 angeben.
(i) M1 = N, M2 = {n : n ∈ N, n ist gerade}.
(ii) M1 = N, M2 = {n : n ∈ N, n ≥ 2781}
(b) Seien M1 und M2 gleichmächtig. Beweisen Sie, dass dann auch die Potenzmengen P ot(M1) und P ot(M2)
gleichmächtig sind.
(c) Wir betrachten die Relation R auf der Menge der Menschen, die durch
xRy, falls x und y den gleichen Vater haben
definiert ist. Es bezeichne M1 := {Menschen}/R die Menge der Aquivalenzklassen bezüglich R und es sei
M2 := {M : Mist männlicher Mensch und M hat mindestens ein Kind}. Zeigen Sie Gleichmächtigkeit der
beiden Mengen. </task>
Hallo erst mal,

Suche Hilfe bei dieser (zumindest für mich) doch relativ komplexen Aufgabe.
Was Gleichmächtigkeit bedeutet, weiß ich (Zwei Mengen m und Omega heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung f: m → Omega gibt.
1. Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Mengen oder 2. Endliche Mengen mit gleicher Anzahl an Elementen sind gleichmächtig)
Bijektiv, wenn eine Abbildung sowohl injektiv als auch surjektiv ist (zu a))

Würde gerne, um Hilfe für alle drei Aufgabenteile bitten.

        
Bezug
Gleichmächtigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Fr 27.10.2017
Autor: ChopSuey

Hallo,

du musst dir bloß Bijektionen zwischen den Mengen $ [mm] M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] überlegen.

a)

Bsp i): $ [mm] M_1 [/mm] = [mm] \IN, [/mm] \ [mm] M_2 [/mm] = [mm] \{ n \in \IN : n \ \text{gerade}\}$ [/mm]

Definiere $ [mm] \varphi: M_1 \to M_2, [/mm] \ n [mm] \mapsto [/mm] 2n$

b)

Überlege dir welche Mächtigkeit die Potenzmenge $ P(M)$ für eine Menge $ M $ mit $ [mm] \vert [/mm] M [mm] \vert [/mm] = k $ mit $ k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.

c) Weißt du was eine Relation und zugrundeliegende Äquivalenzklassen sind? Versuche dich mit den Definitionen vertraut zu machen und sag mal, was du mit der Aufgabe anzufangen weißt.

LG,
ChopSuey



Bezug
                
Bezug
Gleichmächtigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Fr 27.10.2017
Autor: tobit09

Hallo ChopSuey!


> b)
>  
> Überlege dir welche Mächtigkeit die Potenzmenge [mm]P(M)[/mm] für
> eine Menge [mm]M[/mm] mit [mm]\vert M \vert = k[/mm] mit [mm]k \in \IN[/mm] gilt.

Diese Überlegung hilft nur für endliche Mengen [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] weiter.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                        
Bezug
Gleichmächtigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 Fr 27.10.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Tobi,

> Hallo ChopSuey!
>  
>
> > b)
>  >  
> > Überlege dir welche Mächtigkeit die Potenzmenge [mm]P(M)[/mm] für
> > eine Menge [mm]M[/mm] mit [mm]\vert M \vert = k[/mm] mit [mm]k \in \IN[/mm] gilt.
> Diese Überlegung hilft nur für endliche Mengen [mm]M_1[/mm] und
> [mm]M_2[/mm] weiter.

Das stimmt natürlich. Ich hatte vorausgesetzt, dass beide Mengen endlich sind. Sehe gerade, dass das nicht gefordert wird. Dann muss man es über die Bijektionen machen.

>  
>
> Viele Grüße
>  Tobias

LG,
ChopSuey
ChopSuey


Bezug
        
Bezug
Gleichmächtigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Fr 27.10.2017
Autor: tobit09

Hallo Flauschling!


> (a) Beweisen Sie, das die folgenden Menge M1 und M2 jeweils
> gleichmächtig sind, indem Sie eine bijektive
>  Abbildung f : M1 → M2 angeben.

>  (ii) M1 = N, M2 = {n : n ∈ N, n ≥ 2781}

Eine Idee zur Konstruktion der gesuchten Abbildung f (falls 0 bei euch zu den natürlichen Zahlen zählt):
[mm] $0\mapsto [/mm] 2781$
[mm] $1\mapsto [/mm] 2782$
[mm] $2\mapsto [/mm] 2783$
[mm] $3\mapsto [/mm] 2784$
usw.

Findest du eine passende Funktionsvorschrift für die so angedeutete Abbildung f?

Kannst du die Wohldefiniertheit, Injektivität und Surjektivität dieser Abbildung nachweisen?


>  (b) Seien M1 und M2 gleichmächtig. Beweisen Sie, dass
> dann auch die Potenzmengen P ot(M1) und P ot(M2)
>  gleichmächtig sind.

Da [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] gleichmächtig sind, existiert eine bijektive Abbildung [mm] $f\colon M_1\to M_2$. [/mm]
Um zu zeigen, dass [mm] $Pot(M_1)$ [/mm] und [mm] $Pot(M_2)$ [/mm] gleichmächtig sind, benötigen wir eine bijektive Abbildung [mm] $g\colon Pot(M_1)\to Pot(M_2)$. [/mm]

Hast du eine Idee, wie wir mittels f eine "sinnvolle" Abbildung [mm] $g\colon Pot(M_1)\to Pot(M_2)$ [/mm] basteln können?
Wir suchen also sinnvolle Werte für $g(A)$ für alle [mm] $A\subseteq M_1$. [/mm]
Dabei muss $g(A)$ eine Teilmenge von [mm] $M_2$ [/mm] sein.


>  (c) Wir betrachten die Relation R auf der Menge der
> Menschen, die durch
>  xRy, falls x und y den gleichen Vater haben
>  definiert ist. Es bezeichne M1 := {Menschen}/R die Menge
> der Aquivalenzklassen bezüglich R und es sei
>  M2 := {M : Mist männlicher Mensch und M hat mindestens
> ein Kind}. Zeigen Sie Gleichmächtigkeit der
>  beiden Mengen.

Behauptung:
Die Abbildung [mm] $h\colon M_2\to M_1$ [/mm] definiert durch [mm] $h(M)=\{K\;|\;K\text{ ist Kind von }M\}$ [/mm] ist eine wohldefinierte, injektive und surjektive Abbildung.

Das gilt es nun zu beweisen.

(Wohldefiniertheit meint hier: Für alle [mm] $M\in M_2$ [/mm] ist [mm] $\{K\;|\;K\text{ ist Kind von }M\}\in M_1$.) [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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