Gleichmächtigkeit in AG(2,K) < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Di 21.04.2009 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathbb{K} [/mm] ein Körper mit [mm] |\mathbb{K}|=q. [/mm] Wir betrachten [mm] \Gamma=PG(2,\mathbb{K})=PG(P,G,I).
[/mm]
a.) Zeigen Sie: [mm] |P|=q^2+q+1=|G|
[/mm]
b.) Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte auf einer Geraden und die Anzahl der Gerade durch einen Punkt (jeweils mit Begründung). |
Hallo zusammen,
obige Aufgabe möchte ich gerne lösen, habe aber noch nicht so richtig eine Idee wie ich es angehen soll. Mir stehen für die Beweise die Begriffe der Inzidenzstruktur, des Inzidenzraumes der kollinearen Abbildung sowie der affinen Ebene zur Verfügung. Lineare Algebra darf auch benutzt werden.
Ich habe mir das Problem erstmal auf [mm] \mathbb{K}_2 [/mm] angeschaut und die erwarteten 7 Geraden gefunden, nämlich die Ursprungsgeraden. Dann habe ich damit begonnen mir verschiedene Kombinationen der Geraden anzusehen, sodass ich 2-dimensionale Untervektorräume bekomme. Das sind auf den ersten Blick ziemlich viele... wovon aber sehr viele identisch sind, sodass man 7 Ebenen findet.
In [mm] \matbb{K}_3 [/mm] findet man zu den Ursprungsgeraden aus [mm] \mathbb{K}_2 [/mm] noch 5 weitere Geraden und ich weiß nicht wie viele neue Ebenen...
Irgendwie sehe ich den Ansatz noch nicht. Es müsste sich eigentlich um ein kombinatorisches Problem handeln, da ja alle vielfachen einer Geraden denselben 1-dimensionalen Untervektorraum aufspannen und dasselbe für die Vielfachen der 2-Dimensionalen Untervektorräume gilt.
Nur wie beweise ich das?
Wenn man sich nochmal [mm] \mathbb{K}_2 [/mm] anschaut sieht man, dass es 7 UVRs gibt, bei [mm] q^3 [/mm] Elementen, also genau q-1 UVRs mit Dimension 1. Und aufgrund linearer Abhängigkeit einiger Vektoren voneinander findet man auch genau q-1 UVRs mit Dimension 2. Im [mm] \mathbb{K}_3 [/mm] stimmt dieser Zusammenhang aber bereits nicht mehr, denn da findet man nur 13 UVRs mit Dimension 1.
Könnt ihr mir bei den Aufgaben bitte ein bisschen unter die Arme greifen?
Danke im Vorraus,
Theta
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Website gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mi 22.04.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Sei [mm]\mathbb{K}[/mm] ein Körper mit [mm]|\mathbb{K}|=q.[/mm] Wir
> betrachten [mm]\Gamma=PG(2,\mathbb{K})=PG(P,G,I).[/mm]
>
> a.) Zeigen Sie: [mm]|P|=q^2+q+1=|G|[/mm]
> b.) Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte auf einer
> Geraden und die Anzahl der Gerade durch einen Punkt
> (jeweils mit Begründung).
Wenn ich das richtig sehe, sind wir im 3dimensionalen affinen Raum über einem endlichen Körper mit q Elementen. Jetzt wollen wir die Anzahl der 1dimensionalen Unterräume (der Geraden durch 0) bestimmen. Das ist einfach: Der Raum hat [mm] $q^3-1$ [/mm] von 0 verschiedene Punkte (linear unabhängige Vektoren), und jeder bestimmt eine Gerade. Allerdings bestimmen jeweils q-1 Punkte die gleiche Gerade, weil es q-1 von 0 verschiedene Vielfache gibt. Die Anzahl der Geraden ist dann also [mm] $$\bruch{q^3 - 1}{q-1} [/mm] = [mm] q^2 [/mm] + q + 1$$
Jetzt zählen wir die 2dim. Unterräume (Ebenen). Ich wähle 2 lin. unabh. Vektoren, für den 1. habe ich [mm] $q^3-1$ [/mm] Möglichkeiten, für den 2. dann noch q$^3-q,$ weil er ja kein Vielfaches des 1. sein darf, und insgesamt das Produkt aus beiden. Diese Ebenen sind leider nicht alle verschieden. Da in einer Ebene [mm] $q^2-1$ [/mm] Punkte außer dem Ursprung liegen, erhalte ich in [mm] $(q^2-1)(q^2-q)$ [/mm] Fällen dieselbe Ebene. Das liefert mir für die Gesamtzahl der Ebenen [mm] $$\bruch{(q^3-1)(q^3-q)}{(q^2-1)(q^2-q)}$$
[/mm]
Wenn du das ausrechnest und kürzt, wirst du staunen.
In der projektiven Welt sind nun unsere affinen Geraden die Punkte und unsere affinen Ebenen die Geraden.
Zur Lösung von b) weiß ich jetzt nicht genau, was betrachtet werden soll, die affine Welt oder die projektive. Aber vielleicht kriegst du das jetzt auch selbst hin.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:16 Mi 22.04.2009 | | Autor: | briddi |
Der Raum
> hat [mm]$q^3-1$[/mm] von 0 verschiedene Punkte (linear unabhängige
> Vektoren),
sind die wirklich linear unabhängig??? wenn man zb die zwei punkte im [mm] \IR^{3} [/mm] nimmt. q=3:
[mm] \vektor{0\\ 1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\ 2 \\0} [/mm] dann sind die doch nicht linear unabhängig,denn
[mm] \vektor{0\\ 1\\0} [/mm] +2 [mm] \vektor{0\\ 2 \\0} =\vektor{0\\ 0 \\0}
[/mm]
deshalb spannen die doch auch denselben 1dimensionalen raum auf,weil sie abhägnig sind,oder nicht.
(und zur gesamzahl,ich hab es jetzt mehrfach versucht auszurechnen,komme aber nicht auf das richtige ergebnis,kann es sien dass da noch irgendwie ein fehlrer drin ist? oder steh ich grad aufm schlauch beim rechnen)--> hat sich erledigt
und dann nochma ne frage: angenommen wir sind in einem körper mit 4 elementen. wenn ich in der ebene für den ersten vektor zb [mm] \vektor{2\\ 2\\0} [/mm] wähle, dann sagst du dass ich für den zweiten alle ausser den vielfachen wählen darf. was genau sind denn hier die vielfachen,wenn ich den vektor mit 2 multipliziere komme ich auf den nullvektor,falls mit drei wieder auf denselben. oder zähle ich zb [mm] \vektor{1\\ 1\\0} [/mm] als vielfaches,weil 2* [mm] \vektor{1\\ 1\\0} =\vektor{2\\ 2\\0}. [/mm] ist dann aber auch [mm] \vektor{1\\ 3\\0} [/mm] ein vielfaches davon,weil [mm] 2*\vektor{1\\ 3\\0}= \vektor{2\\ 2\\0} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Mi 22.04.2009 | | Autor: | briddi |
habs es jetzt doch noch hinbekommen das auszurechnen :) was ein kleiner vorzeichenfehler nur ausmachen kann....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:54 Mi 22.04.2009 | | Autor: | briddi |
ich glaube die aufgabe b) bezieht sich darauf,dass die gesuchten punkte die geraden sind,die gesuchten geraden unsere ebenen,wir sind wohl in der projektiven geometrie.
ist es richtig,dass ich sage dass [mm] q^{2}: [/mm] (q-1)=q+1 punkte in einer ebene sind? wie eben wäre die begründung dass [mm] q^{2} [/mm] "richtige punkte" in einer ebene liegen,abzüglich des nullpunktes wären es also einer weniger und um die vielfachen rauszurechnen teile ich durch q-1.
bei der anzahl der schnittgeraden durch einen punkt,was ja soviel beduetet wie: wieviele ebenen schneiden sich in einer geraden hab ich irgendwie gar keine ahnung,hat jemand noch nen tipp?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 24.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Do 23.04.2009 | | Autor: | Theta |
Das hat mir weitergeholfen, vielen dank für die Hilfe.
|
|
|
|
