Gleichmäßig stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden Sie, welche der folgenden Funktionen gleichmäßig stetig sind:
a) f: (0,1) -> R , f(x)=1/x
b) g: (0,+unendlich) -> R, g(x)= Wurzel x
c) h: R -> R, h(x)=xsinx |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo, ich habe die folgenden aufgaben da, weiß aber überhaupt nicht, wie ich anfangen soll. Ich weiß dass es eine Def. von gleichmäßig stetigkeit gibt, weiß aber überhaupt nicht, wie ich das jetzt auf die Aufgabe anwenden soll, und wie ich diese gegeben Intervalle berücksichtigen soll.
Wäre echt nett, wenn mir einer mal ein Bsp. vorrechnen könnte.
Danke im voraus.
Gruß
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> Entscheiden Sie, welche der folgenden Funktionen
> gleichmäßig stetig sind:
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> a) f: (0,1) -> R , f(x)=1/x
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> b) g: (0,+unendlich) -> R, g(x)= Wurzel x
>
> c) h: R -> R, h(x)=xsinx
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
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> Hallo, ich habe die folgenden aufgaben da, weiß aber
> überhaupt nicht, wie ich anfangen soll. Ich weiß dass es
> eine Def. von gleichmäßig stetigkeit gibt,
Hallo,
wie lautet denn die definition der gleichmäßigen Stetigkeit?
Wie unterscheidet sich die gleichmäßige Stetigkeit v. der Stetigkeit?
Kannst Du mit dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium zeigen, daß die obigen Funktionen stetig sind?
Vielleicht solltest Du zum Verständnis hiermit beginnen - das wäre dann auch ein Lösungsansatz.
Gruß v. Angela
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Hi Angela. danke das du geantwortet hast.
also unsere def. zu gleich. stetig ist wie folgt:
Sei V beschränkt und abgeschlossen. Sei F: V->K stetig Dann existiert für jedes epzilon größer 0 ein delta größer 0, so dass für x,y element von V mit Betrag von x-y< delta, daraus folgt f(x)-f(y)<epzilon.
Also diese Def. haben wir, aber ich kann das irgendwie auf die aufgaben nicht anwenden, und was haben diese Intervalle zu bedeuten, die offen sind?
Deinen Lösungsansatz konnte ich leider nicht öffnen, kam immer ein fehler.
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> also unsere def. zu gleich. stetig ist wie folgt:
>
> Sei V beschränkt und abgeschlossen. Sei F: V->K stetig Dann
> existiert für jedes epzilon größer 0 ein delta größer 0, so
> dass für x,y element von V mit Betrag von x-y< delta,
> daraus folgt f(x)-f(y)<epzilon.
Hallo,
irgendwie wundert mich Deine "Definition" ein wenig.
Wenn man "glm stetig" definiert, steht doch irgensoetwas da wie: Sei blabla. f heißt gleichmäßig stetig, wenn...
In Deiner "Definition" taucht nirgendwo der Begriff glm stetig auf.
Des Rätsels Lösung: das, was Du oben schreibst, ist ein Satz, welcher in Worten lautet
Jede auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion ist gleichmäßig stetig.
> aber ich kann das irgendwie auf
> die aufgaben nicht anwenden,
Und diesen Satz kannst Du natürlich nicht anwenden, weil Deine Funktionen ja nicht auf abgeschlossenen Intervallen zu betrachten sind.
> Also diese Def. haben wir,
Ich hoffe, Du hast erkannt, daß Du Deine Definition erst noch suchen mußt - ich möchte Dir das auch nicht abnehmen.
Also nochmal:
1. wie lautet die Definition für gleichmäßig stetig?
2. Wie geht das [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium für Stetigkeit?
3. Wo ist der Unterschied?
4. Kannst Du mit dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium für Stetigkeit zeigen, daß die Funktionen, die Du untersuchen sollst, stetig sind?
> Deinen Lösungsansatz konnte ich leider nicht öffnen, kam
> immer ein fehler.
Es war kein Lösungsansatz, sondern ein Link zu den Forenregeln, in welchen steht, daß Lösungsansätze erwartet werden...
(Solche Ansätze wären z.B. auch Antworten auf die oben gestellten Fragen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Sa 24.11.2007 | | Autor: | jaruleking |
also irgendwie komme ich leider immer noch nicht weiter.
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Hallo nochmal.
also die def. für gl. stetigkeit ist wie folgt:
Es sei $ [mm] I\subset \mathbb{R}$ [/mm] ein Intervall. Eine Funktion $ f:I [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] heißt gleichmäßig stetig wenn folgende gilt:
Zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] >0$ gibt es ein $ [mm] \delta>0$, [/mm] so daß für alle $ x$, $ y [mm] \in [/mm] I $ aus $ [mm] \vert x-y\vert [/mm] < [mm] \delta [/mm] $ stets $ [mm] \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon [/mm] $ folgt
unf die für normal stetigkeit ist:
Eine reelle Funktion $ f: D [mm] \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ [/mm] ist an der Stelle $ [mm] x_0 \in [/mm] D$ stetig, wenn $ [mm] \lim_{x \rightarrow x_0} [/mm] f (x) = [mm] \, [/mm] f [mm] (x_0)$ [/mm] gilt.
b)$ f$ ist (überall) stetig, wenn $ f$ in jedem Punkt $ [mm] x_0 \in [/mm] D$ stetig ist.
hmm und wie kann ich jetzt diese formeln auf meine aufgaben anwenden?
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> Hallo nochmal.
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> also die def. für gl. stetigkeit ist wie folgt:
>
> Es sei [mm]I\subset \mathbb{R}[/mm] ein Intervall. Eine Funktion [mm]f:I \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> heißt gleichmäßig stetig wenn folgende gilt:
>
> Zu jedem [mm]\varepsilon >0[/mm] gibt es ein [mm]\delta>0[/mm], so daß für
> alle [mm]x[/mm], [mm]y \in I[/mm] aus [mm]\vert x-y\vert < \delta[/mm] stets [mm]\vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon[/mm]
> folgt
Hallo,
ja, das haben wir sie ja endlich, die Definition.
Damit ist klar, was zu tun ist, wenn man glm. Stetigkeit beweisen möchte:
zu vorgebenem beliebigen [mm] \varepsilon>0 [/mm] muß man ein passendes [mm] \delta [/mm] finden so, daß für alle Elemente aus dem Definitionsbereich, die nicht weiter als [mm] \delta [/mm] auseinanderliegen, die Funktionswerte höchstens um [mm] \varepsilon [/mm] auseinanderliegen.
Will man die gleichmäßige Stetigkeit widerlegen, so muß man zeigen, daß man solch ein [mm] \delta [/mm] nicht finden kann.
Leider fische ich immer noch im Trüben bzgl. Deiner Vorkenntnisse. Ich weiß überhaupt nicht, ob Du die (normale) Stetigkeit verstanden hast und zeigen kannst.
Ich habe Dir eine Menge Fragen gestellt, welche nicht der Befiedigung meiner Neugierde dienen sollten, sondern dazu, Dich zum Verständnis und damit verbunden zu einer Lösung zu führen, leider hast Du bis auf die Definition der glm Stetigkeit, die nun steht, keine beantwortet:
>>>> Wie unterscheidet sich die gleichmäßige Stetigkeit v. der Stetigkeit?
>>>> Kannst Du mit dem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ - $ [mm] \delta [/mm] $ - Kriterium zeigen, daß die obigen Funktionen stetig sind?
>> 2. Wie geht das $ [mm] \varepsilon [/mm] $ - $ [mm] \delta [/mm] $ - Kriterium für Stetigkeit?
>> 3. Wo ist der Unterschied?
> hmm und wie kann ich jetzt diese formeln auf meine aufgaben
> anwenden?
Ich hatte Dir ja bereits empfohlen, mit dem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ - $ [mm] \delta [/mm] $ - Kriterium für Stetigkeit zunächst die Stetigkeit zu zeigen.
Daß ich das sage, hat nichts mit Beschäftigungstherapie zu tun - ich weiß sehr wohl, daß die Zeit am Studienanfang knapp ist.
Es geht darum, daß bei der glm Stetigkeit das zu findende [mm] \delta [/mm] von der betrachteten Stelle unabhängig sein muß, und davon, ob das der Fall ist, bekommt man eine Ahnung bei der Untersuchung auf Stetigkeit.
Die Funktion a) ist nicht glm stetig, wie oben beschrieben mußt Du zeigen, daß man solch ein [mm] \delta [/mm] nicht finden kann.
Zum Beweis nimm an, daß es so eins gibt, und führe dies zum Widerspruch.
b) ist glm stetig. Gib zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] an, welches es tut.
Falls es Dir lediglich auf die Lösung der Aufgaben ankommt: diese beiden Aufgaben sind Standardbeispiele, sie dürften sich in großer Zahl in der Literatur finden.
Über c) kann man anschließend nachdenken.
Gruß v. Angela
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Hi Angela.
Ne die sache ist ja nicht, dass ich nur ne lösung brauche, um die an abzuschreiben, ich will schon verstehen, was da meint ist. deswegen habe ich auch gleich mal eine frage.
zu vorgebenem beliebigen $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ muß man ein passendes $ [mm] \delta [/mm] $ finden so, daß für alle Elemente aus dem Definitionsbereich, die nicht weiter als $ [mm] \delta [/mm] $ auseinanderliegen, die Funktionswerte höchstens um $ [mm] \varepsilon [/mm] $ auseinanderliegen.
könntest du mir vielleicht dazu ein ganz einfaches beispiel zeigen, denn mir ist noch nicht ganz klar, wie sowas das in der realität aussieht. z.b. für [mm] x^2
[/mm]
Und das mit deiner Vermutung stimmt auch schon leider, so ganz richtig habe ich die (normale) stetigkeit auch nicht verstanden.
ich versuche jetzt mal mein wissen aufzuschreiben, und du kannst ja dann, wenn du lust hast sagen, ob ich richtig oder falsch liege.
also stetigkeit:
Eine reelle Funktion $ f: D [mm] \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ [/mm] ist an der Stelle $ [mm] x_0 \in [/mm] D$ stetig, wenn $ [mm] \lim_{x \rightarrow x_0} [/mm] f (x) = [mm] \, [/mm] f [mm] (x_0)$ [/mm] gilt
ich glaub, das ist noch einfach. Das bedeutet doch nichts anderes als, wenn die Funktion an der Stelle x gegen x0 konvergiert, muss es das gleich sein, wie wenn man den funktionswert an der stelle x0 ausrechnet. richig? weiß jetzt nicht, ob ich mich mathematisch so richtig ausdrücke.
$ f$ ist (überall) stetig, wenn $ f$ in jedem Punkt $ [mm] x_0 \in [/mm] D$ stetig ist
so das kann man ja auch noch verstehen. aber jetzt komme eine wissenlücke für mich.
Zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0$ gibt es ein $ [mm] \delta [/mm] > 0$ so dass $ [mm] \vert [/mm] f (x) - f [mm] (x_0) \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist für alle $ x [mm] \in [/mm] D$ mit $ [mm] \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \delta$.
[/mm]
So das ist ja dieses $ [mm] \varepsilon [/mm] $ - $ [mm] \delta [/mm] $ - Kriterium, aber das habe ich dir ja oben auch schon mal hingeschrieben, dass ich das noch nicht ganz verstanden habe. wenn du mir dies an einen ganz einfachem beispiel mal zeigen könntest, wäre das super nett. ja und da ich das noch nicht so gut verstanden habe, kann ich deine anderen fragen da unten auch noch nicht so gut beantworten.
gleichmäßig stetigkeit hatten wir ja schon:
[mm] $\displaystyle \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \,\exists\; \delta>0 \,\forall x,y\in [/mm] I\ :\ [mm] \vert x-y\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon$ [/mm]
So der unterschied ist meines Erachtens folgendes:
bei glm. stetigkeit hängt [mm] \delta [/mm] nur von [mm] \varepsilon [/mm] und nicht von x0. bei der normalen stetigkeit betrachtet man ja meistens eine stelle, und die soll man dann auf stetigkeit untersuchen. liege ich bis hier hin richtig?
so ich hoffe bis hier her sollten wir erstmal die sachen klären.
danke schon mal für antworten.
gruß
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> zu vorgebenem beliebigen [mm]\varepsilon>0[/mm] muß man ein
> passendes [mm]\delta[/mm] finden so, daß für alle Elemente aus dem
> Definitionsbereich, die nicht weiter als [mm]\delta[/mm]
> auseinanderliegen, die Funktionswerte höchstens um
> [mm]\varepsilon[/mm] auseinanderliegen.
>
> könntest du mir vielleicht dazu ein ganz einfaches beispiel
> zeigen, denn mir ist noch nicht ganz klar, wie sowas das in
> der realität aussieht. z.b. für [mm]x^2[/mm]
Hallo,
solche vorgerechneten Beispiele findest Du in der Literatur, schau Dich da mal um.
Ich gucke gerne v. Dir gerechnete Beispiele an,
aber wenn ich das aufschreibe, was i jedem Buch steht, kommt mir das sinnlos vor.
> also stetigkeit:
>
> Eine reelle Funktion [mm]f: D \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/mm]
> ist an der Stelle [mm]x_0 \in D[/mm] stetig, wenn [mm]\lim_{x \rightarrow x_0} f (x) = \, f (x_0)[/mm]
> gilt
Das sit die Definition der Stetigkeit über den Grenzwert v. Folgen, welche wichtig ist, aber hier, im Zusammenhang mit der glm Stetigkeit, nicht so interessiert.
> aber jetzt komme
> eine wissenlücke für mich.
Ich entnehme deinem Profil, daß Du Lehramtsstudent bist, also mit Hauptfach Mathematik.
Du mußt diese Lücken unbedingt schließen!
Das sind die Themen, für die "man" sich interessiert.
>
> Zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] gibt es ein [mm]\delta > 0[/mm] so dass
> [mm]\vert f (x) - f (x_0) \vert < \varepsilon[/mm] ist für alle [mm]x \in D[/mm]
> mit [mm]\vert x - x_0 \vert < \delta[/mm].
> So das ist ja dieses
> [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] - Kriterium,
für die Stetigkeit an der Stelle [mm] x_0.
[/mm]
Ein Beispiel möchte ich nicht rechnen, ich verweise auf die Literatur.
Ich will Dir das aber ein bißchen erklären.
Ich denke mal, daß Dir intuitiv klar ist, was eine stetige Funktion ist: keine Sprünge.
Dieses Kriterium sagt nun, daß eine Funktion f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig ist, wenn man an [mm] x_0 [/mm] so wackeln kann, daß daß das Wackeln der Funktionswerte innerhalb einer beliebig kleinen Grenze um [mm] f(x_0) [/mm] bleibt. Und genau das schafft amn an den Stellen mit Sprungstellen nicht. Denn da "springt" der Funktionswert.
Wenn eine Funktion stetig ist, findet man zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] an jeder Stelle ein [mm] \delta, [/mm] so daß sich die Funktionswerte, die nicht weiter v. [mm] x_0 [/mm] entfernt sind um weniger als [mm] \varepsilon [/mm] von [mm] f(x_0) [/mm] unterscheiden.
Bei der gleichmäßigen Stetigkeit ist nun gefordert, daß dieses zu findende [mm] \delta [/mm] völlig unabhängig ist von der betrachteten Stelle. Man muß zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] finden, welches auf dem gesamten Definitionsbereich funktioniert.
> gleichmäßig stetigkeit hatten wir ja schon:
> [mm]\displaystyle \forall \varepsilon >0 \,\exists\; \delta>0 \,\forall x,y\in I\ :\ \vert x-y\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon[/mm]
>
> So der unterschied ist meines Erachtens folgendes:
> bei glm. stetigkeit hängt [mm]\delta[/mm] nur von [mm]\varepsilon[/mm] und
> nicht von x0. bei der normalen stetigkeit betrachtet man ja
> meistens eine stelle, und die soll man dann auf stetigkeit
> untersuchen. liege ich bis hier hin richtig?
Ah, hier schreibst Du es ja selbst.
Du wirst übrigens über die Suchfunktion auch viele Beispiele im Forum finden zum Thema, allerdings haben sie gegenüber der Literatur den Nachteil, daß es hier oft ein Prozeß mit Irrungen und Wirrungen ist,welcher schließlich zur Lösung führt.
Gruß v. Angela
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