Gleichmäßige Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Sa 22.07.2006 | | Autor: | algebra1 |
| Aufgabe | Gib die Grenzfunktion der folgenden Funktionenfolge für n [mm] \to \infty [/mm] an, und entscheide, ob die Konvergenz gleichmäßig ist:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{3^{k}} *x^{k} [/mm] : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] |
Hallo,
ich sitze hier vor dieser Aufgabe und weis nicht so recht weiter. Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich erst die Funktion zu der Folge aufstellen und betrachte danach | [mm] f(x)_{n} [/mm] - f(x) |. Danach entscheide ich ob für alle [mm] n_{ \varepsilon}>0 [/mm] die Gleichung erfüllt ist.
Wie komme ich auf die Funktion und wie geht es danach weiter?
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Grüße!
Du kennst doch die geometrische Reihe... 
[mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}$ [/mm] falls $|q| < 1$.
Das kann man hier gewinnbringend einsetzen. Die gegebene Summe lässt sich schreiben als
[mm] $\sum_{k=0}^n \frac{1}{3^k} x^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \left( \frac{x}{3} \right)^k$
[/mm]
Das konvergiert für $n [mm] \to \infty$ [/mm] genau dann, wenn $|x| < 3$. Die Grenzfunktion ist also
$f(x) = [mm] \frac{1}{1 - \frac{x}{3}}$.
[/mm]
Bleibt die Frage, ob diese Konvergenz gleichmäßig ist... aber beim Beweis der geometrischen Reihe kam doch bestimmt auch dran, wie man die Partialsumme, die nur bis $n$ aufsummiert wird, umschreiben kann... das liefert Dir den Fehlerterm und Du musst entscheiden, ob die Konvergenzgeschwindigkeit von $x$ abhängt oder nicht...
Viel Erfolg!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Sa 22.07.2006 | | Autor: | algebra1 |
Hallo Lars,
vielen Dank für deine zügige Antwort :)
Ich versuche das mal soweit auszurechnen:
[mm] R_{n} [/mm] = | [mm] f(x)_{n}-f(x) [/mm] | = | [mm] \summe_{k=0}^{n} (\bruch{x}{3})^{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{x}{3})^{k} [/mm] |
= | [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty} (\bruch{x}{3})^{k} [/mm] | = [mm] (\bruch{x}{3})^{n+1} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{x}{3})^{k}
[/mm]
Bin mir nicht sicher, ob das soweit stimmt und wie es weitergeht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 So 23.07.2006 | | Autor: | Gnometech |
Gruß!
Ja, so geht das.
Für den Fehlerterm gilt also:
[mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| = [mm] \left( \frac{x}{3} \right)^{n+1} \cdot \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{x}{3}\right)^k [/mm] = [mm] \left(\frac{x}{3}\right)^{n+1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{3}}$ [/mm]
Wie erwartet geht das für $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $f(x)$, da für $|x| < 3$ der Term [mm] $\left( \frac{x}{3} \right)^{n+1}$ [/mm] gegen 0 konvergiert.
Aber ist die Konvergenz gleichmäßig auf dem Intervall $]-3,3[$? Nein! Damit es gleichmäßig wäre, müsstest Du zu vorgegebenem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ einen Index [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] finden, so dass der obige Term für alle $n [mm] \geq n_0$ [/mm] unter dem [mm] $\varepsilon$ [/mm] bleibt und zwar für jedes $x$!
Das geht aber nicht, denn wenn Du [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $n_0$ [/mm] wählst, wenn Du die beiden Werte festhältst und das $x$ langsam gegen eine der Grenzen (z.B. in Richtung 3) verschiebst, dann geht der Term gegen 1, wird das [mm] $\varepsilon$ [/mm] also irgendwann überschreiten, wenn dieses zu klein ist.
Ist das anschaulich in etwa klar? Die Folge konvergiert punktweise, denn für festes $x$ und gegebenes [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist die Konvergenz kein Problem, da findest man ein solches [mm] $n_0$. [/mm] Man findest aber kein globales, je näher man an die Grenzen kommt, desto extremer muss man sein [mm] $n_0$ [/mm] wählen, es gibt also kein [mm] $n_0$, [/mm] das es für alle $x$ simultan tut. Und deshalb ist die Folge nicht gleichmäßig konvergent.
Ich hoffe, das war halbwegs verständlich... falls noch Fragen sind, einfach stellen.
Lars
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