Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Mumrel |
| Aufgabe | | Ist [mm] nx(1-x)^n [/mm] auf I=[0,1] gleichmäßig konvergent? |
Also mittels Fallunterscheidung (x=0, 0 < x [mm] \leq [/mm] 1) konnte ich die punktweise Konvergenz schon nachweisen. Die Grenzfunktion ist f(x)=0.
Nur weiß ich jetzt nicht wie ich die gleichmäßige Konvergenz überprüfen kann.
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0 \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] n [mm] \geq n_0 [/mm] :| [mm] f_n(x) [/mm] - f(x) | < [mm] \varepsilon
[/mm]
Für die nicht gleichmäßige Konvergenz also:
[mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall n_0 \exists [/mm] x [mm] \exists [/mm] n [mm] \geq n_0: |f_n(x) [/mm] - f(x)| [mm] \geq \varepsilon
[/mm]
Da ich vermute/weiß dass sie nicht gleichmäßig konvergiert muss ich doch also ein Epsilon und ein x finden damit untere gleichung unabhänig von n gilt?
[mm] nx(1-x)^n \geq \varepsilon
[/mm]
Aber irgendwie fällt mir dazu nichts ein. Hat jemand vielleicht einen Ansatzpunkt wie man das angehen könnte?
Danke und Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Fr 20.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei der punktweisen Konv. musst du doch ein [mm] n_0 [/mm] zu jedem x bestimmt haben.Da sieht man dann dass [mm] n_0 [/mm] immer größer wird je kleiner x, also für a>0 und [mm] x\in[a,1] [/mm] kannst du ein festes [mm] n_0 [/mm] angeben, für x bel. klein wird [mm] n_0 [/mm] bel. gross
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Mumrel |
Also ich habe die Punktweise Konvergenz so gelöst:
[mm] f_n(x) [/mm] = [mm] nx(1-x)^n
[/mm]
0 < x [mm] \leq [/mm] 1:
lim nx(1-x) = lim nx * lim [mm] (1-x)^n
[/mm]
= lim nx * 0 (geom. Folge)
= 0
und für x = 0
lim [mm] n*0(1-0)^n [/mm] = 0
Aber ich werde über das was du geschrieben hast mal nachdenken.
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Fr 20.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also ich habe die Punktweise Konvergenz so gelöst:
>
> [mm]f_n(x)[/mm] = [mm]nx(1-x)^n[/mm]
>
> 0 < x [mm]\leq[/mm] 1:
> lim nx(1-x) = lim nx * lim [mm](1-x)^n[/mm]
das ist nur zulässig, wenn beide GW. existieren! aber hier geht j ja der erste Teil gegen [mm] \infty
[/mm]
auf diese Weise kannst du auch beweisen dass lim n*1/n 0ist!
du musst schon zeige, dass das Produkt gegen 0 geht!
> = lim nx * 0 (geom. Folge)
> = 0
>
> und für x = 0
> lim [mm]n*0(1-0)^n[/mm] = 0
der Teil ist richtig!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Mumrel |
Au, ja blöder Fehler. Aber man lernt ja aus Ihnen ;).
Danke für dein Hinweis, da werd ich wohl anderst heran gehen müssen..
Grüße Jan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Mumrel |
Leider hab ich keine Idee wie da ran gehen.
Durch plotten weiß ich die GrenzfunktiGrenzfunktion ist f(x)=0 für 0 < x < 1
Jetzt muss ich zeigen
[mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
also im Grunde dass
[mm] nx(1-x)^n [/mm] eine Nullfogle ist.
Mir fällt nur kein Ansatz ein ausser das Binom auszuschreiben, also
nx [mm] \sum_{i=0}^n \vektor{n \\ i} -x^i
[/mm]
und das würde dann zu
nx(1- [mm] \vektor{n \\ 1}x [/mm] - [mm] \vektor{n \\ 2}x^2 [/mm] - [mm] \cdots [/mm] - [mm] x^n)
[/mm]
Ich sehe aber nicht wo das hinführen soll.
Hat mir jemand einen Tipp wie ich hier prinzipiell vorgehen kann?
Mir fehlts gerade einfach an Ideen...
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Sa 21.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst zegen, dass [mm] n*q^n [/mm] auch ne Nullfolge bildet [mm] (q<1,\wurzel{q}<1)
[/mm]
[mm] $n*q^n=n*\wurzel{q}^n*\wurzel{q}^n$
[/mm]
[mm] $n*\wurzel{q}<\summe_{i}^{n}\wurzel{q}^i<\bruch{1}{1-\wurzel{q}}$
[/mm]
damit :
[mm] $n*\wurzel{q}^n*\wurzel{q}^n<\bruch{\wurzel{q}^n}{1-\wurzel{q}
}$
[/mm]
und dann kannst du das für deinen lim wirklich benutzen!
(ist eh gut, das zu wissen!)
für die nicht gleichmäsige Konv. [mm] f_n [/mm] ableiten, max suchen, davon den Wert, dann kannst dus sicher.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:57 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hallo leduart,
schon mal danke für deine Hinweise.
Leider muss ich aber eingstehen, dass ich mit meinem einen Semester nicht so recht schlau daraus werde.
Also das Ziel ist klar, wenn n [mm] q^n [/mm] ebenfalls wie [mm] q^n [/mm] gegen null konvergiert dann haben wir mind. punktweise konvergenz, eigentlich ja aber sogar gleichmäßige, da unabhänig von x (die 0 des Intervalls mal ausgenommen).
[mm] \underbrace{n*\sqrt{n}}_{1} \underbrace{<}_{2} [/mm] < [mm] \underbrace{\summe _{i=0}^n \sqrt{q^i}}_{3} \underbrace{<}_{4} \underbrace{\frac{1}{1-\sqrt{q}}}_{5}
[/mm]
1) Ein [mm] \sqrt{q^n} [/mm] weggelassen, das nacher auf beiden Seiten der Ungleichung wieder hinzukommt, ok.
2) Warum gilt das?
Verstehe ich das richtig was hier gemacht wurde.
Man lässt erstmal ein [mm] \sqrt{q^n} [/mm] weg und zeigt für den Rest dass es kleiner ist wie den Ausdruck den ich nicht verstehe (3), bzw. ich verstehe nicht warum der gilt.
3 ist aber gerade die endliche geometrische Reihe und 5 der Grenzwert der Unendlichen geo. Reihe. Das begründet auch das < Zeichen (4), da die rechte Seite ein "paar" Summen mehr hat.
Nun schaut man nur 1 und 5 an und holt auf beiden Seiten den weggelassenen Teil wieder hinzu und erhält
[mm] $n*\wurzel{q}^n*\wurzel{q}^n<\bruch{\wurzel{q}^n}{1-\wurzel{q}
}$ [/mm]
Aber was stellt die rechte Seite da? Warum kann man daraus ablesen, dass n * [mm] q^n [/mm] gegen 0 geht. Ich sehe leider gerade nicht dass die rechte Seite gegen 0 geht ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") .
Also im wesentliche unklar sind mir 2) und die rechte Seite der letzten Ungleichung.
Falls du noch ein paar Worte darüber verlieren könntest wäre riesig ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]") .
Ableiten von [mm] f_n [/mm] 's haben wir noch nicht kennen gelernt. Aber das kann erstmal aufgeschoben werden. Ich will ersmal das verstehen ;).
Nochmals Danke!
Grüße Murmrel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:22 Sa 21.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] \wurzel{q}<1 [/mm] deshalb [mm] \wurzel{q}^n [/mm] geometrische Folge gegen 0.
2. [mm] \wurzel{q}^n<\wurzel{q}^m [/mm] falls n>m
3. [mm] 1+\wurzel{q}+\wurzel{q}^2+....\wurzel{q}^n>\wurzel{q}^n+\wurzel{q}^n+...\wurzel{q}^n=n*\wurzel{q}^n
[/mm]
soweit der linke Teil der Gl.
der rechte ist klar, weil man die letzen glieder der unendlichen Summe weglaesst.
das ich das mit [mm] \wurzel{q}^n [/mm] und nicht mit q mach liegt daran, dass man dann ja nur zeigt dass [mm] n*q^n [/mm] beschränkt ist!
wenn ich aber jetzt die Ungleichung für [mm] n*\wurzel{q}^n [/mm] habe kann ich sie mit dem positiven [mm] \wurzel{q}^n [/mm] multipl. und habe wie im anderen post: [mm] n*q^n<\bruch{1}{1-q}*\wurzel{q}^n
[/mm]
für q<1 ist [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] eine Zahl, (die allerdings umso größer wird, je kleiner1- q (und unser q ist ja (1-x), also je näher x bei 0 liegt!)
Zahl*geom.Folge konv. gegen 0 aber noch mal immer schlechter je kleiner x.
Punktweise haben wir. für 1-x=a>0 bis x=1 haben wir dann auch gleichm. Konvergenz. man kann aus der abschätzung zu a ein N zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] finden, das was für a gilt dann erstrecht für alle größeren x.
Aber für x gegen 0 sieht es nicht gut aus. das beweist aber noch nicht, dass es nicht gl. konv ist, legt nur den Verdacht nahe.
Drum such ich das max. von [mm] f_n(x). [/mm] dort hat f(x)einen Wert etwa 1/e , wenn man [mm] \varepsilon [/mm] kleiner wählt kein festes N!
sieh dir das mal an, man braucht ne Weile das einzusehen.
Das schwierigste ist sich klar zu machen, was genau es bedeutet NICHTgleichm. konv. zu sein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi Leduart,
wenn wir jetzt noch die letzte Unklarheit beseitigen habe ich es verstanden. Danke für deine tolle Erklärung ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") .
Du schreibst aber in deinem ersten Post folgendes;
$ [mm] n\cdot{}\wurzel{q}<\summe_{i}^{n}\wurzel{q}^i<\bruch{1}{1-\wurzel{q}} [/mm] $
Wenn es hier
[mm] $n\cdot{}\wurzel{q}^n<\summe_{i}^{n}\wurzel{q}^i$
[/mm]
heißen würde dann wäre mir die Sache klar. Allerdings glaube ich dass das nur im Eifer des Gefechts untergegangen ist, denn so wie es jetzt darsteht gilt die Ungliechung für große n wohl nicht?!
Also nochmal danke für deine tolle Mitarbeit!
Grüße Mumrel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Mo 23.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hi Leduart,
> Du schreibst aber in deinem ersten Post folgendes;
>
> [mm]n\cdot{}\wurzel{q}<\summe_{i}^{n}\wurzel{q}^i<\bruch{1}{1-\wurzel{q}}[/mm]
>
> Wenn es hier
> [mm]n\cdot{}\wurzel{q}^n<\summe_{i}^{n}\wurzel{q}^i[/mm]
Es fehlt dir nur ein Zwischschritt:
[mm]n\cdot{}\wurzel{q}<\summe_{i}^{n}\wurzel{q}^i=\bruch{1-\wurzel{q}^{n+1}}}{1-\wurzel{q}}<\bruch{1}{1-\wurzel{q}}[/mm]
>
> heißen würde dann wäre mir die Sache klar. Allerdings
> glaube ich dass das nur im Eifer des Gefechts untergegangen
> ist, denn so wie es jetzt darsteht gilt die Ungliechung für
> große n wohl nicht?!
natürlich ist die auch richtig, aber mit der nächsten sag ich ja nur dass die Summe bis n kleiner als die bis [mm] \infty [/mm] ist! und mit ner Zahl ist schöner argumentieren als mit ner Summe.
>
>Gruss leduart
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