Gleichmässige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Entscheiden Sie, ob die Funktionsfolge [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x^{2n}}{1+x^{2n}} [/mm] auf das Interval ]-1; 1[ gleichmässig konvergent ist. |
Hallo alle, hat jemand bitte eine Idee zu dieser Aufgabe?
Selber würde ich eher ja sagen, weil die Folge wachsend ist auf [0; 1[ d.h. sie nimmt die Maximalwerte im rechten Intervalendepunkt an (es reicht, das Interval [0; 1[ zu betrachten, weil die Folge symmetrisch um x = 0 ist).
Der einzige Kandidat als Grenzfunktion ist f(x) = 0 auf [0; 1[ und weil [mm] a^{2n} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty [/mm] für jedes [mm] 0\le [/mm] a < 1 dann muss die maximale Distanz zwischen [mm] f^{} [/mm] und [mm] f_n [/mm] gegen 0 laufen, wenn [mm] n\to \infty
[/mm]
Richtig so?
Das Problem ist, das alle Funktionen in der Folge duch den Punkt (x, y) = (1, ½) müssen. Heisst das dann, dass die maximale Distanz für irgendeine [mm] x^{} [/mm] genügend eng an [mm] x^{}=1 [/mm] gegen ½ läuft statt gegen 0?
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Hallo Vogelfänger,
du hast schon recht, der einzige Kandidat für die Grenzfunktion ist
[mm]f(x) = 0[/mm]
Um gleichmäßige Konvergenz zu Widerlegen, geh ich gerne immer über die Definition, die sagt ja:
[mm]\forall\varepsilon>0\text{ }\exists n_0\text{ }\forall n\ge n_0\text{ }\forall x: \text{ }|f_n - f| < \varepsilon[/mm]
Wenn eine Funktionenfolge also NICHT gleichmäßig konvergent sein soll, negieren wir das ganz und beweisen das, dann steht da:
[mm]\exists\varepsilon>0\text{ }\forall n_0\text{ }\exists n\ge n_0\text{ }\exists x:\text{ } |f_n - f| \ge \varepsilon[/mm]
oder vereinfacht:
[mm]\exists\varepsilon>0\text{ }\forall n\text{ }\exists x: \text{ }|f_n - f| \ge \varepsilon[/mm]
Wähle [mm]\varepsilon = 0.1[/mm] (das klappt so gut wie immer^^)
zz: [mm]\forall n\text{ }\exists x:\text{ } |f_n - f| \ge 0.1[/mm]
[mm]\gdw |f_n| \ge 0.1 \gdw \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} \ge 0.1[/mm]
[mm]\gdw x^{2n} \ge 0.1 + 0.1x^{2n} [/mm]
[mm] \gdw x^{2n} \ge \frac{0.1}{0.9} [/mm]
[mm] x \ge \wurzel[2n]{\frac{1}{9}}[/mm]
Es gilt: [mm]\wurzel[2n]{\frac{1}{9}} < 1[/mm] und somit gibt es zu jedem n so ein [mm]x \in ]-1,1[ [/mm] so dass das gilt => keine glm. Konvergenz.
MfG,
Gono.
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Hallo Gono. Vielen Dank, sehr nett von dir.
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