Gleichmäßige Konvergenz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Mat08 |
| Aufgabe | Ich möchte folgenden Satz beweisen, habe dazu aber noch keinen Beweis gefunden und habe mich deshalb daran selbst versucht, und bin leider gescheitert. Der Satz lautet:
Die Folge [mm] $\left(1 - \frac{z}{n}\right)^{-n}$, [/mm] mit [mm] $n\in\mathbb{N}$, $n\geq [/mm] 1$, von Polynomfunktionen auf [mm] $\mathbb{C}$, [/mm] konvergiert auf jeder Kreisscheibe [mm] $\overline{K}_r(0)$ [/mm] gleichmäßig gegen die Exponentialfunktion. Insbesondere gilt [mm] $e^z [/mm] = [mm] \lim\limits_{n\to\infty} \left(1 - \frac{z}{n}\right)^{-n}$ [/mm] für alle [mm] $z\in\mathbb{C}$. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Mein Ansatz ist der folgende
Zunächst bringen wir die die Folge durch elementare Umformungen auf die Form
[mm] $\left(1 - \frac{z}{n}\right)^{-n} [/mm] = [mm] \left(\frac{n}{n-z}\right)^n= \left(1+ \frac{z}{n-z}\right)^n.$
[/mm]
Durch Anwendung des binomischen Lehrsatzes erhalten wir
[mm] \left(1+ \frac{z}{n-z}\right)^n &=\sum_{k=0}^{n} \binom [/mm] n k [mm] \cdot \frac{z^k}{(n-z)^k}\\
[/mm]
[mm] =\sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-(k-1))}{(n-z)^k}\cdot \frac{z^k}{k!}\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^{n} \left(1+\frac{z}{n-z}\right)\left(1 + \frac{z-1}{n-z}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{z-(k-1)}{n-z}\right) \cdot \frac{z^k}{k!}.$
[/mm]
Wir wollen zeigen, dass die Folge [mm] $\left(1 - \frac{z}{n}\right)^{-n}$ [/mm] auf jeder Kreisscheibe [mm] $K_r(0)$ [/mm] gleichmäßig gegen die Exponentialfunktion konvergiert, sodass
[mm] $\left| \left(1 - \frac{z}{n}\right)^{-n} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}\right| \leq \epsilon ~~~\forall\epsilon\leq [/mm] 0 [mm] ~\text{und n}>N.$
[/mm]
Für beliebige [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und Radien $r>0$ gibt es eine universelle Grenze N, sodass
$
[mm] \sum_{k=N + 1}^{\infty} \frac{r^k}{k!} \leq \frac{\epsilon}{3}.
[/mm]
$
Für alle $n>N$, [mm] $z\in\mathbb{C}$ [/mm] und [mm] $|z|\leq [/mm] r$ ist dann
[mm] $\left| \left(1 - \frac{z}{n}\right)^{-n} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}\right| \leq
[/mm]
[mm] \left| \sum_{k=0}^{N} \left[\left(1+\frac{z}{n-z}\right)\cdot \dots \cdot \left(1 + \frac{z-(k-1)}{n-z}\right)-1\right] \cdot \frac{z^k}{k!}\right|\\
[/mm]
+ [mm] \sum_{k=N+1}^{n} \left(1+\frac{z}{n-z}\right)\left(1 + \frac{z-1}{n-z}\right)\cdot \dots \cdot \left(1 + \frac{z-(k-1)}{n-z}\right) \cdot \frac{r^k}{k!} \\
[/mm]
+ [mm] \underbrace{\sum_{k=N+1}^{\infty} \frac{r^k}{k!}}_{\leq\frac{\epsilon}{3}}$
[/mm]
Leider weiß ich nicht, wie ich die Abschätzungen am Schluss machen soll, oder ob meine Überlegung insgesamt ganz falsch waren. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
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Hallo
Irgendwie sieht deine letzte Ungleichungsabschätzung ein bisschen zu rabiat aus. Vielleicht besserst du da noch ein bisschen nach?
Ansonsten siehts gut aus.
Viele Grüße
PS: meine vorherige Lösung war falsch, daher habe ich sie gelöscht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Fr 19.02.2010 | | Autor: | kalkulator |
Hallo Mat08,
>
> Zunächst bringen wir die die Folge durch elementare
> Umformungen auf die Form
> [mm]\left(1 - \frac{z}{n}\right)^{-n} = \left(\frac{n}{n-z}\right)^n= \left(1+ \frac{z}{n-z}\right)^n.[/mm]
>
> Durch Anwendung des binomischen Lehrsatzes erhalten wir
> [mm]\left(1+ \frac{z}{n-z}\right)^n &=\sum_{k=0}^{n} \binom[/mm] n
> k [mm]\cdot \frac{z^k}{(n-z)^k}\\[/mm]
> [mm]=\sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-(k-1))}{(n-z)^k}\cdot \frac{z^k}{k!}\\[/mm]
>
> = [mm]\sum_{k=0}^{n} \left(1+\frac{z}{n-z}\right)\left(1 + \frac{z-1}{n-z}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{z-(k-1)}{n-z}\right) \cdot \frac{z^k}{k!}.$[/mm]
>
Bis hierher habe ich Deine Rechnung nachvollzogen, komme auf dasselbe Ergebnis.
Den Rest Der Rechnung versuche ich auch noch nachzuvollziehen, kann aber dauern...
> Wir wollen zeigen, dass die Folge [mm]\left(1 - \frac{z}{n}\right)^{-n}[/mm]
> auf jeder Kreisscheibe [mm]K_r(0)[/mm] gleichmäßig gegen die
> Exponentialfunktion konvergiert, sodass
> [mm]\left| \left(1 - \frac{z}{n}\right)^{-n} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}\right| \leq \epsilon ~~~\forall\epsilon\leq 0 ~\text{und n}>N.[/mm]
...und das arme Epsilon hier drüber freut sich sicherlich, wenn es [mm] $\geq0$ [/mm] sein darf...
Gruß Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Fr 19.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Andreas,
> > Wir wollen zeigen, dass die Folge [mm]\left(1 - \frac{z}{n}\right)^{-n}[/mm]
> > auf jeder Kreisscheibe [mm]K_r(0)[/mm] gleichmäßig gegen die
> > Exponentialfunktion konvergiert, sodass
> > [mm]\left| \left(1 - \frac{z}{n}\right)^{-n} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}\right| \leq \epsilon ~~~\forall\epsilon\leq 0 ~\text{und n}>N.[/mm]
>
> ...und das arme Epsilon hier drüber freut sich sicherlich,
> wenn es [mm]\geq0[/mm] sein darf...
aber gleich 0 ist es sicher auch nicht so gern :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:36 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > ...und das arme Epsilon hier drüber freut sich sicherlich,
> > wenn es [mm]\geq0[/mm] sein darf...
>
> aber gleich 0 ist es sicher auch nicht so gern :)
immer diese Einschränkungen an das arme Epsilon. Wo es doch in Wahrheit eigentlich komplex sein wollte. Aber keiner läßt ihm diese Freiheit, immer wird zu ihm gesagt: "Bleib' positiv!" 
Beste Grüße,
Marcel
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Hmm, versuche doch mal deine Abschätzung etwas zu verfeinern.
Punktweise Konvergenz der genannten Funktionenfolge gegen die Exponentialfunktion sollte fast offensichtlich sein, wenn du weißt, dass gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n})^{n} = e^{z}, \forall z \in \IC [/mm]
Denn es gilt dann auch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{z}{n-z})^{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(1-\bruch{z}{n})^{n}}=\bruch{1}{e^{-z}}=e^{z}, \forall z \in \IC [/mm]
Dann könntest du gleichmäßige Konvergenz dadurch zeigen, indem du sagst, dass die Funktion
[mm] |e^{z}-(1+\bruch{z}{n-z})^{n}| = |\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{z^{k}}{k!} + \summe_{k=0}^{n} \bruch{z^{k}}{k!}*(1-\bruch{n!}{(n-k)!}*\bruch{1}{(n-z)^{k}})| [/mm]
ihr Maximum unabhängig von [mm] n [/mm] auf dem Rand der Kreisscheibe [mm] \overline{K}_{r}(0)[/mm] annimmt, [mm] n > r [/mm] mal vorausgesetzt (muss natürlich auch noch gezeigt werden). Dann würde einfach folgen
[mm] \forall \varepsilon > 0: \exists N \in \IN, N \ge r: \forall n > N , \forall z \in \overline{K}_{r}(0) : |e^{z}-(1+\bruch{z}{n-z})^{n}| \le |e^{r}-(1+\bruch{r}{n-r})^{n}| < \varepsilon [/mm]
Möglich, dass ich da noch ein paar Feinheiten übersehen habe, aber so ungefähr könnte es gehen.
Gruß
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:31 Mo 22.02.2010 | | Autor: | Mat08 |
Hallo Wirtschaftsweise,
vielen Dank für deine Hilfe. Ich konnte deine Antwort bis zur gleichmäßigen Konvergenz nachvollziehen. Danach leider nicht mehr.
Wie soll ich denn zeigen, dass
[mm] $|e^z [/mm] - (a + [mm] \frac{z}{n-z})^n|$
[/mm]
ihr Maximum unabhängig von $n$ auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt? Da habe ich leider keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll.
Schöne Grüße
Mat
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Na ja, reicht eigentlich das für "genügend große" n zu zeigen (blöde Formulierung, aber da es hier um eine Grenzwertbetrachtung geht, können dir endlich viele n, also alles bis zu einem bestimmten Index N egal sein)
Rigoros habe ich das auch noch nicht gezeigt, aber schauen wir uns den Term doch mal an und drehen ihn mal um.
[mm] |e^{z}-(1+\bruch{z}{n-z})^{n}| = |(1+\bruch{z}{n-z})^{n}-e^{z}| = |-\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{z^{k}}{k!} - \summe_{k=0}^{n} \bruch{z^{k}}{k!}*(\bruch{n!}{(n-k)!}*\bruch{1}{(n-z)^{k}}-1)| [/mm]
Der erste Summand ist für großes n zu vernachlässigen (will heißen, stört dich der Wert, wähle einfach ein größeres n und du kriegst ihn beliebig klein)
Der zweite Summand wird vom Betrage her für großes z auch groß (kann man sich schnell überlegen. Der Faktor [mm] \bruch{z^{k}}{k!} [/mm] wächst betragsmäßig offensichtlich für großes z, der zweite Faktor für festes n ebenfalls, da dann der Ausdruck [mm] \bruch{n!}{(n-k)!}*\bruch{1}{(n-z)^{k}} [/mm] größer wird)
Ich hoffe das reicht dir erstmal. Falls ich es noch genauer ausführen soll, sag Bescheid, dann drücke ich mich vielleicht nicht, das zu versuchen ganz genau aufzuschreiben.^^
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:48 Di 23.02.2010 | | Autor: | Mat08 |
Hallo Wirtschaftsweise,
ich hoffe, ich schaffe es jetzt.  Ich werde mich die nächsten Tage mal dran machen und gebe dann nochmal bescheid, ob es geklappt hat.
Vielen Dank für deine umfangreiche Hilfestellung.
Gruß
M
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:56 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Mat08 |
Hallo,
ich habe es versucht komme aber auf keinen grünen Zweig. Deiner Argumentation zur Folge wird der zweite Term groß, dass soll er aber eigentlich doch gar nicht. Würde mich sehr freuen, wenn wir das Probelm gemeinsam lösen könnten.
Habe auch nochmal über deinen Hinweis mit der punktweisen Konvergenz nachgedacht. Ich glaube aber, dass dort ein Fehler gemacht wurde. Du folgerst, dass aus [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] (1 + [mm] \frac{z}{n})^n [/mm] = [mm] e^z$ [/mm] gefolgert werden kann, dass [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] (1 + [mm] \frac{z}{n-z})^n [/mm] = [mm] e^z$, [/mm] vermutlich deshalb, weil für [mm] $n\to\infty$ [/mm] das [mm] $z\in\mathbb{C}$ [/mm] vernachlässigt werden kann.
Ich glaube, dies ist nicht zulässig, weil wir nicht wissen, ob der Limes von $(1 + [mm] \frac{z}{n-z})^n$ [/mm] existiert. Oder was wäre deine Begründung?
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Hi!
Mit der punktweisen Konvergenz ist auf jeden Fall alles in Ordnung, die Exponentialfolge konvergiert ja für jedes [mm] z \in \IC [/mm] Den Rest habe ich einfach nur aus den Rechenregeln für Grenzwerte gefolgert.
Und das der obige Term für großes z groß wird wollen wir ja gerade, denn dann können wir ja für alle anderen z den Term abschätzen. Tue mich auch immer ein bisschen schwer das vernünftig übers Internet zu erklären, ist halt nicht das selbe wie wenn man direkt seine Ideen mitteilen kann. Möglich dass dir das noch nicht weiterhilft, aber hoffe zumindest, dass ich eine Ideen ein bisschen klarer gemacht habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 01.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Do 04.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Dass die Folge
$ [mm] (\left(1 + \frac{z}{n}\right)^{n}) [/mm] $
auf jeder Kreisscheibe $ [mm] \overline{K}_r(0) [/mm] $ gleichmäßig gegen [mm] e^z [/mm] konvergiert kann man folgendermaßen zeigen (Beweisskizze):
1. Für $|z|<1$ ist
$log(1+z) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{n}z^n$
[/mm]
(Hauptzweig des Logarithmus)
2. Aus 1. folgt:
$|log(1+z)-z| [mm] \le |z|^2$ [/mm] für $|z| [mm] \le [/mm] 1/2$
3. Sei r >0. Dann ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] , so dass für n [mm] \ge [/mm] N die Funktionen
[mm] $f_n(z):= [/mm] n*log(1+z/n)$
auf $ [mm] \overline{K}_r(0) [/mm] $ definiert sind.
Wegen 2. kann man davon ausgehen, dass N so gewählt ist, dass
(*) [mm] $|f_n(z)-z| \le \bruch{|z|^2}{n}$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N und z [mm] \in [/mm] $ [mm] \overline{K}_r(0) [/mm] $
ist.
4. Aus (*) folgt, dass [mm] (f_n) [/mm] auf $ [mm] \overline{K}_r(0) [/mm] $ gleichmäßig gegen $f(z) =z$ konvergiert.
5. Aus 4. erhalten wir:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(1+z/n)^n [/mm] = [mm] e^z$ [/mm] gleichmäßig auf $ [mm] \overline{K}_r(0) [/mm] $
FRED
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