Gleichmäßige Stetigkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Mi 18.11.2015 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | | Zeige, das [mm] f(x)=\frac{1}{x} [/mm] auf dem Intervall [mm] I=[a,\infty),a>0 [/mm] gleichmäßig stetig ist. |
Hallo zusammen,
ich würde die Aufgabe gerne mit dem Delta-Epsilon Kriterium bewältigen können. Das Kriterium besagt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta>0 \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] I: [mm] |x-y|<\delta \rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon
[/mm]
Mein Problem liegt darin [mm] \delta [/mm] rechnerisch ermittel zu können.
Hier mein Ansatz:
[mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon \gdw |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|<\varepsilon \gdw |\frac{x-y}{xy}|<\varepsilon
[/mm]
Ich habe zahlreiche Umformungen ausprobiert, jedoch darf bei gleichmäßiger Stetigkeit [mm] \delta [/mm] nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen und das bekomme ich einfach nicht auf die Kette.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Danke im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:55 Do 19.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, das [mm]f(x)=\frac{1}{x}[/mm] auf dem Intervall
> [mm]I=[a,\infty),a>0[/mm] gleichmäßig stetig ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich würde die Aufgabe gerne mit dem Delta-Epsilon
> Kriterium bewältigen können. Das Kriterium besagt:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta>0 \forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] I:
> [mm]|x-y|<\delta \rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon[/mm]
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> Mein Problem liegt darin [mm]\delta[/mm] rechnerisch ermittel zu
> können.
>
> Hier mein Ansatz:
> [mm]|f(x)-f(y)|<\varepsilon \gdw |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|<\varepsilon \gdw |\frac{x-y}{xy}|<\varepsilon[/mm]
>
> Ich habe zahlreiche Umformungen ausprobiert, jedoch darf
> bei gleichmäßiger Stetigkeit [mm]\delta[/mm] nur von [mm]\varepsilon[/mm]
> abhängen und das bekomme ich einfach nicht auf die Kette.
>
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
>
> Danke im Vorraus.
Du hast kurz vorm Ziel schlapp gemacht und das liegt daran, weil Du am Start etwas vergessen hast. Meistens ist es in der Mathematik so, dass es ohne Voraussetzungen nicht geht.
Hier ist f definiert auf $ [mm] I=[a,\infty)$ [/mm] , mit $a>0 $.
Dann gilt für x,y [mm] \in [/mm] I:
[mm] |f(x)-f(y)|=\bruch{|x-y|}{xy} \le \bruch{1}{a^2}|x-y|$.
[/mm]
Siehst Du nun, wie Du zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] ein geeignetes [mm] \delta [/mm] wählen kannst ?
FRED
P.S. f ist auf I sogar Lipschitzstetig.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Do 19.11.2015 | | Autor: | Skyrula |
Hallo,
vielen Dank für die Hilfe und den Tipp,
mit deiner Hilfe komme ich dann auf [mm] \frac{1}{a^2}|x-y|<\varepsilon \gdw \frac{1}{a^2}\delta<\varepsilon \le \delta<\varepsilon a^2
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Fr 20.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> vielen Dank für die Hilfe und den Tipp,
>
> mit deiner Hilfe komme ich dann auf
> [mm]\frac{1}{a^2}|x-y|<\varepsilon \gdw \frac{1}{a^2}\delta<\varepsilon \le \delta<\varepsilon a^2[/mm]
Das ist Murks ! Aus Deinen obigen Ungleichungen würde folgen
[mm] \varepsilon <\varepsilon a^2,
[/mm]
also [mm] a^2>1 [/mm] !!!
Ist [mm] \varepsilon>0 [/mm] gegeben, so wähle [mm] \delta=a^2*\varepsilon
[/mm]
FRED
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[mm] \delta [/mm] darf nicht von x bzw. y abhängen, wohl aber von a.
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