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Gleichmäßige Stetigkeit: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Di 05.01.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,
ich versteh die Definition von gleichmäßiger Stetigkeit nicht. Ich habe mir die Definition auf Wikipedia und anderen Seiten angeschaut, aber irgendwie kann ich mir bildlich nichts darunter vorstellen, weil das Bild der "normalen" Stetigkeit irgendwie nicht verschwinden will. Wie kann ich die gleichmäßige Stetigkeit einfach anschaulich verstehen?

Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Di 05.01.2016
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  ich versteh die Definition von gleichmäßiger Stetigkeit
> nicht. Ich habe mir die Definition auf Wikipedia

Hallo,

hast Du Dir bei der wikipedia denn das Beispiel [mm] f(x)=x^2 [/mm] angeschaut.
Da ist das doch ganz gut anschaulich erklärt. (?)

Was verstehst Du an diesem Beispiel nicht?

Die Def. sagt: zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] findest Du ein paasendes [mm] \delta [/mm] mit folgender eigenschaft: wann immer zwei x-Werte nicht weiter auseinanderliegen als [mm] \delta, [/mm] dann liegen ihre Funktionswerte nicht weiter auseinander als [mm] \varepsilon. [/mm]

Bei [mm] f(x)=x^2 [/mm] klappt das nicht. Gebe ich mir ein [mm] \varepsilon [/mm] vor, so muß ich mit meinen x-Werten nur weit genug nach rechts gehen, um das vorgegebene [mm] \varepsilon-Intervall [/mm] von ihren Funktionswerten sprengen zu lassen.

LG Angela





>  und
> anderen Seiten angeschaut, aber irgendwie kann ich mir
> bildlich nichts darunter vorstellen, weil das Bild der
> "normalen" Stetigkeit irgendwie nicht verschwinden will.
> Wie kann ich die gleichmäßige Stetigkeit einfach
> anschaulich verstehen?
>
> Vielen Dank im Voraus


Bezug
                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Di 05.01.2016
Autor: pc_doctor

Hallo, danke für die Antwort, ist besser als die Erklärung auf Wikipedia.

Das ist die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

Sei D Teilmenge von [mm] \IR [/mm]
f: D -> [mm] \IR [/mm]

[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 : [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall x,x_0 \in [/mm] D: [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] => |f(x) - [mm] f(x_0) [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm]

Also sei f(x) = [mm] x^2 [/mm]
Sei [mm] \epsilon [/mm] = 3 ( habe ich einfach mal so gewählt) und sei [mm] \delta [/mm] = 1

Wie geht es jetzt weiter ? Das mit f(x) und [mm] f(x_0) [/mm] verstehe ich noch nicht, x und [mm] x_0 [/mm] ist ja aus der Definitionsmenge, daher kann ich mir wahrscheinlich auch diese Punkte aussuchen. Also sei x = 4 und [mm] x_0 [/mm] = 6

Dann ist
| 4-6 | = 2
2 ist aber nicht kleiner als [mm] \delta [/mm] also geht das schon mal nicht, oder ?

Ich versuche gerade, die Definition anhand von f(x) = [mm] x^2 [/mm] zu verstehen. Ich kann doch eigentlich bei der jeder Funktion, egal welche, [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] so wählen, dass immer ein Widerspruch rauskommt, oder? Wo ist mein Denkfehler?

Bezug
                        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Di 05.01.2016
Autor: angela.h.b.


> Hallo, danke für die Antwort, ist besser als die
> Erklärung auf Wikipedia.
>  
> Das ist die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:
>  
> Sei D Teilmenge von [mm]\IR[/mm]
>  f: D -> [mm]\IR[/mm]

>  
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 : [mm]\exists \delta[/mm] >0 [mm]\forall x,x_0 \in[/mm]
> D: [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] => |f(x) - [mm]f(x_0)[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
>  
> Also sei f(x) = [mm]x^2[/mm]
>  Sei [mm]\epsilon[/mm] = 3 ( habe ich einfach mal so gewählt) und
> sei [mm]\delta[/mm] = 1

Hallo,

nein.

Wäre die Funktion glm stetig, so müßtest Du für [mm] \varepsilon=3 [/mm] ein passendes [mm] \delta [/mm] angeben können, so daß die Funktionswerte von allen x-Werten, die nicht weiter als [mm] \delta [/mm] auseinanderliegen, nicht weiter als 3 auseinanderliegen.

[mm] \delta=1 [/mm] klappt nicht, denn betrachten wir [mm] x_1=10 [/mm] und [mm] x_2=10,5, [/mm] so stellen wir fest f(10,5)-f(10)=10,25|>3.

Klappt es mit irgendeinem anderen [mm] \delta? [/mm]
Nein, das klappt nicht, denn z.B. für
[mm] x_1=\bruch{39}{\delta} [/mm]
[mm] x_2=\bruch{39}{\delta}+\bruch{\delta}{2} [/mm]

bekommt man

[mm] f(x_2)-f(x_1)=39+\bruch{\delta^2}{4}> [/mm] 3.


Allgemein: angenommen [mm] f(x)=x^2 [/mm] wäre glm stetig.

Dann gäbe es zu [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein passendes [mm] \delta, [/mm] so daß die Bedingung gilt.
Wenn das so wäre, dann lägen die Funktionswerte von [mm] x_1=\bruch{\varepsilon}{\delta} [/mm] und [mm] x_2=\bruch{\varepsilon}{\delta}+\bruch{\delta}{2} [/mm] dichter als [mm] \varepsilon [/mm] zusammen.

Es ist aber

[mm] f(x_2)-f(x_1)=\varepsilon+\bruch{\delta^2}{4}>\varepsilon. [/mm]

Widerspruch, also ist f nicht glm stetig.

LG Angela






> Wie geht es jetzt weiter ? Das mit f(x) und [mm]f(x_0)[/mm] verstehe
> ich noch nicht, x und [mm]x_0[/mm] ist ja aus der Definitionsmenge,
> daher kann ich mir wahrscheinlich auch diese Punkte
> aussuchen. Also sei x = 4 und [mm]x_0[/mm] = 6
>  
> Dann ist
>  | 4-6 | = 2
> 2 ist aber nicht kleiner als [mm]\delta[/mm] also geht das schon mal
> nicht, oder ?
>
> Ich versuche gerade, die Definition anhand von f(x) = [mm]x^2[/mm]
> zu verstehen. Ich kann doch eigentlich bei der jeder
> Funktion, egal welche, [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]\delta[/mm] so wählen,
> dass immer ein Widerspruch rauskommt, oder? Wo ist mein
> Denkfehler?  


Bezug
        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Di 05.01.2016
Autor: M.Rex

Hallo

Eine Funktion f ist ja stetig an der Stelle [mm] x_{0}, [/mm] wenn zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] existiert, so dass für alle x mit [mm] |x-x_{0}|<\delta [/mm] gilt: [mm] |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon [/mm]

Bei der "normalen Stetigkeit" kannn dieses [mm] \varepsilon [/mm] sowohl von der zu untersuchenden Stelle [mm] x_{0} [/mm] als auch von der Wahl des [mm] \delta [/mm] abhängig sein.

Bei der gleichmäßigen Steigkeit ist die Wahl von [mm] \varepsilon [/mm] aber quasi festgelegt, denn an jeder Stelle [mm] x_{0} [/mm] gibt es zu einem bestimmten [mm] \delta [/mm] ein bestimmtes [mm] \varepsilon. [/mm]

Grafisch kannst du dir das so vorstellen, dass du einen festen "Kasten" mit der Breite [mm] \delta [/mm] und der Höhe [mm] \varepsilon [/mm] am Funktionsgraphen entlangschieben kannst, und dieser Kasten an allen Stellen "zur Stetigkeit passt"

Marius

Bezug
                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 Di 05.01.2016
Autor: pc_doctor

Vielen Dank für die Antworten, jetzt ist es mir klar geworden.

Bezug
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