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Forum "Stetigkeit" - Gleichmäßige Stetigkeit
Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gleichmäßige Stetigkeit: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Mi 16.12.2020
Autor: hadamard

Aufgabe
Sei [mm] D\subset \IR [/mm] beschränkt und nichtleer. Weiters sei [mm] f\colon [/mm] D [mm] \to \IR [/mm] eine Abbildung.
Zeigen Sie dass [mm] \lim [/mm] f(x) genau dann für alle Häufungspunkte [mm] x_0 \in [/mm] D existiert wenn f gleichmäßig stetig ist.

Ich kann die richtung "<=" relativ leicht zeigen also das aus der gleichmäßigen Stetigkeit die existenz der limiten folgt aber die andere richtung macht mir noch zu schaffen, wäre über jeden Tipp froh.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Mi 16.12.2020
Autor: fred97


> Sei [mm]D\subset \IR[/mm] beschränkt und nichtleer. Weiters sei
> [mm]f\colon[/mm] D [mm]\to \IR[/mm] eine Abbildung.
> Zeigen Sie dass [mm]\lim[/mm] f(x) genau dann für alle
> Häufungspunkte [mm]x_0 \in[/mm] D existiert wenn f gleichmäßig
> stetig ist.
>  Ich kann die richtung "<=" relativ leicht zeigen also das
> aus der gleichmäßigen Stetigkeit die existenz der limiten
> folgt aber die andere richtung macht mir noch zu schaffen,
> wäre über jeden Tipp froh.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Sei $H(D)$ die Menge der Häufungwerte von $D$ und $K:=D [mm] \cup [/mm] H(D).$

Zeige: $K$ ist kompakt.

Wie setzen $f$  durch $F:K [mm] \to \IR$ [/mm] wie folgt fort:

  ist [mm] $x_0 \in [/mm] H(D) [mm] \setminus [/mm] D$, so sei $F(x):= [mm] \lim_{x \to x_0}f(x).$ [/mm]

Zeige: $F$ ist auf $K$ stetig.

Kommst Du nun weiter ?

Bezug
                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Mi 16.12.2020
Autor: hadamard

Ok also wenn ich zeige, dass K=H(D) [mm] \cup [/mm] D kompakt ist und F auf K stetig ist folgt das F gleichmäßig stetig ist. Jetzt fehlt mir noch dass die Einschränkung von F auf D gleichmäßig stetig ist oder?

Bezug
                        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Mi 16.12.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Jetzt fehlt mir noch dass die Einschränkung von F auf D gleichmäßig stetig ist oder?

Ja, aber das ist doch trivial.
Schau dir mal die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit an und dann verrätst du mir, warum.

Gruß,
Gono


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