matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-SonstigesGleichmäßige Stetigkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Gleichmäßige Stetigkeit
Gleichmäßige Stetigkeit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gleichmäßige Stetigkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 So 02.05.2021
Autor: sancho1980

Aufgabe
Sei $b [mm] \in [/mm] ]0,1[$. Zeigen Sie, dass die Funktion $f:[0, b] [mm] \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\ln (x)}, & x \in] 0, b] \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ [/mm] gleichmäßig stetig, aber zu keinem Exponenten [mm] $\alpha$ [/mm] Hölder-stetig ist.

Hallo,

ich frage mich, ob mit der Aufgabenstellung etwas nicht stimmt. M.E. muss man für die gleichmäßige Stetigkeit zeigen, dass $f'(x) = [mm] -\frac{1}{x \ln^2(x)}$ [/mm] auf $]0,b]$ beschränkt ist, was doch aber gar nicht der Fall ist, denn wegen $x [mm] \ln^2(x) \to [/mm] 0$ für $x [mm] \to [/mm] 0$ gilt wohl [mm] $\frac{1}{x \ln^2(x)} \to \infty$. [/mm]
Wie seht ihr das?
Gruß und Danke,
Martin

        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 So 02.05.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> M.E. muss man für die gleichmäßige Stetigkeit zeigen, dass [mm]f'(x) = -\frac{1}{x \ln^2(x)}[/mm] auf [mm]]0,b][/mm]beschränkt ist

Da bringst du Lipschitz-Stetigkeit (resp. Dehnungsbeschränktheit) und gleichmäßige Stetigkeit durcheinander…

Jede stetige Funktion ist auf einem Kompaktum gleichmäßig stetig.
Zeige also: $f$ ist stetig auf $[0,b]$.

Als Tipp für die Hölder-Stetigkeit: Es geht in $x=0$ kaputt. Betrachte also mal die Definition der Hölder-Stetigkeit in $x=0$.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Mo 03.05.2021
Autor: sancho1980

Hallo,
mal eine Seitenfrage:
Tatsächlich habe ich gar nicht Lipschiz- und gleichmäßige Stetigkeit verwechselt. Nach der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit war mir nur der Gedanke gekommen, dass man doch verallgemeinern können müsste: Wenn die Ableitung von f auf dem Definitionsbereich beschränkt ist, müsste gleichmäßige Stetigkeit folgen. Als ich dann im Mentoriat danach gefragt hatte, kam die spontane Antwort, dass das "wahrscheinlich" stimmt. Wie siehst du das? In jedem Fall zeigt das Beispiel dann wohl, dass die Umkehrung der Aussage im Allgemeinen nicht simmt. Stimmt sie (die Umkehrung der Aussage) für offene Mengen?
Danke und Gruß,
Martin

Bezug
                        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 Mo 03.05.2021
Autor: fred97


> Hallo,
>  mal eine Seitenfrage:
>  Tatsächlich habe ich gar nicht Lipschiz- und
> gleichmäßige Stetigkeit verwechselt. Nach der Definition
> der gleichmäßigen Stetigkeit war mir nur der Gedanke
> gekommen, dass man doch verallgemeinern können müsste:
> Wenn die Ableitung von f auf dem Definitionsbereich
> beschränkt ist, müsste gleichmäßige Stetigkeit folgen.
> Als ich dann im Mentoriat danach gefragt hatte, kam die
> spontane Antwort, dass das "wahrscheinlich" stimmt.


Was ist denn Dein Mentor von Beruf ?


>Wie

> siehst du das?

Sei I ein Intervall und $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] differenzierbar und die Ableitung $f'$ sei auf I beschränkt, etwa $|f'(x)| [mm] \le [/mm] L$ für alle $x [mm] \in [/mm] I.$

Seien nun $x,y [mm] \in [/mm] I$. Nach dem Mittelwertsatz ex. ein $t$ zwischen x und y mit

    $f(x)-f(y) = f'(t) (x-y).$

Es folgt: $|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L |x-y|$.

Damit ist f auf I Lipschitzstetig und damit auch gleichmäßig stetig.

Zeige diese Ausführungen deinem Mentor, dann lernt er/sie etwas, was er/sie schon längst wissen sollte.


> In jedem Fall zeigt das Beispiel dann wohl,
> dass die Umkehrung der Aussage im Allgemeinen nicht simmt.

So ist es.

> Stimmt sie (die Umkehrung der Aussage) für offene Mengen?

Nein. Nimm doch die Funktion aus Deiner Aufgabe und betrachte sie of $]0,b[.$

>  Danke und Gruß,
>  Martin


Bezug
        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Mo 03.05.2021
Autor: donmarcos

Hi Sancho,
Ich versuche mich mal mit folgender Lösung, keine Garantie auf Korrektheit:

Da f auf der kompakten Menge [0,b] definiert ist, genügt es mit dem Satz über gleichmäßige Stetigkeit (2.5.9 aus unserem Skript) zu zeigen, dass f stetig ist.
f ist auf (0,b) stetig, denn f ist Verkettung der stetigen Funktionen ln(x) und [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
Diese Funktionen sind auf (0,1] stetig und somit auch f.

Zu untersuchen ist noch das Verhalten für x [mm] \to [/mm] 0:

Es ist bekannt, dass [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] ln(x) = [mm] -\infty [/mm]
Daraus folgt, dass der Kehrwert gegen 0 strebt, d.h. f hat in 0 den Grenzwert 0 und ist somit stetig auf [0,b]

Angenommen f wäre Hölder-stetig zu einem [mm] \alpha \in [/mm] (0, [mm] \infty). [/mm] Dann existiert C mit
|f(x) - f(y)| [mm] \le C|x-y|^\alpha [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] [0,b]

Sei x [mm] \in [/mm] M [mm] \backslash [/mm] {0} und y = 0. Dann muss für alle x gelten:

|f(x)| = [mm] |\bruch{1}{ln x} \le C|x|^\alpha [/mm]

also

[mm] C^\alpha \ge \bruch{1}{x|ln x|} [/mm]

Die rechte Seite dieser Gleichung wäre also durch eine Konstante nach oben beschränkt.

Das kann aber nicht sein, denn x ln(x) [mm] \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0, ein Widerspruch!

(sorry für die etwas holprige Ausarbeitung, ist mein erster Beitrag mit dem Forensystem hier)

Bezug
                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Mo 03.05.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Ich versuche mich mal mit folgender Lösung, keine Garantie auf Korrektheit:

Dein Beweis ist soweit ok.

Für die "Schönheit":
Versuch mal deinen Widerspruchsbeweis direkt zu formulieren.
Also direkt zeigen, dass die Funktion NICHT Hölder-Stetig zum Parameter [mm] $\alpha$ [/mm] ist.

Der Beweis verläuft analog.

Gruß,
Gono



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]