Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Sind f: [mm] D_f \subseteq \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] und g: [mm] D_g \subseteq \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gleichmäßig stetig und gilt [mm] g(D_g) \subseteq D_f, [/mm] so ist auch f [mm] \circ [/mm] g : [mm] D_g \subseteq \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gleichmäßig stetig |
Hallo zusammen,
habt ihr ne Idee wie man diese Aufgaben lösen könnte?
Nach langem nachdenken darüber, ist mir leider nix passendes dazu
eingefallen! Durch pures lesen, ist das ja logisch, nur mir fällt leider nix dazu ein, wie ich das lösen könnte...
Danke für eure Hilfe
Grüße
|
|
| |
|
Hi Bodo
Die Frage die du beantwortet haben willst ist also:
Sind f: [mm] D_f \subseteq \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] $ und g: [mm] D_g \subseteq \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gleichmäßig stetig und gilt [mm] g(D_g) \subseteq D_f, [/mm] so ist auch f [mm] \circ [/mm] g : [mm] D_g \subseteq \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gleichmäßig stetig?
sprich du hast das Fraegzeichen vergessen? weil sonst ergibt die Aufgabe für mich keinen Sinn.
Mfg Seb
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Mi 23.01.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Ein "Zeige:" vor die Aufgabe würde auch genügen.
|
|
|
| |
|
Hey,
fange doch mal damit an, dass du das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] für die beiden Funktionen f und g einzeln aufschreibst.
Überlege dir dann, welcher Zusammenhang zwischen dem [mm] \delta [/mm] von g und dem [mm] \varepsilon [/mm] von f besteht.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Es gilt ja bekanntlich:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall x,x_0 [/mm] : [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] -> | f(x) - [mm] f(x_0)| <\varepsilon
[/mm]
Für f gilt: [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \delta [/mm] -> | f(x) - [mm] f(x_0)| <\varepsilon [/mm]
Wenn ich f in [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] einsetze, folgt ja gerade die Behauptung der rechten Seite, wenn ich [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] setze
Für g gilt: [mm] |g(x)-g(x_0)| [/mm] < [mm] \delta [/mm] -> | g(x) - [mm] g(x_0)| <\varepsilon [/mm]
Mit der gleichen Begründung wie oben!
grüße
|
|
|
| |
|
> Es gilt ja bekanntlich:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 [mm]\forall x,x_0[/mm] :
> [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] -> | f(x) - [mm]f(x_0)| <\varepsilon[/mm]
>
> Für f gilt: [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] < [mm]\delta[/mm] -> | f(x) - [mm]f(x_0)| <\varepsilon[/mm]
> Wenn ich f in [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] einsetze, folgt ja gerade
> die Behauptung der rechten Seite, wenn ich [mm]\delta[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm] setze
>
> Für g gilt: [mm]|g(x)-g(x_0)|[/mm] < [mm]\delta[/mm] -> | g(x) - [mm]g(x_0)| <\varepsilon[/mm]
> Mit der gleichen Begründung wie oben!
Ok, dies sind die Voraussetzungen von $f$, $g$ gleichmässig stetig zu sein. Um die gleichmässige Stetigkeit der Zusammensetzung [mm] $f\circ [/mm] g$ zu zeigen, müssen wir nun zu beliebig vorgegebenen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta [/mm] >0$ angeben können, so dass für alle [mm] $x_1, x_2\in D_g$ [/mm] gilt: [mm] $|x_2-x_1|<\delta \Rightarrow |f(g(x_2))-f(g(x_1))|<\varepsilon$.
[/mm]
Nehmen wir also an, uns wäre ein solches [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vorgegeben. Wegen der gleichmässigen Stetigkeit von $f$ gibt es also ein [mm] $\delta_1>0$ [/mm] so dass für alle [mm] $y_1,y_2\in D_f$ [/mm] aus [mm] $|y_2-y_1|<\delta_1$ [/mm] folgt, dass [mm] $|f(y_2)-f(y_1)|<\varepsilon$. [/mm] Wegen der gleichmässigen Stetigkeit von $g$ gibt es des weiteren ein [mm] $\delta [/mm] >0$, so dass für alle [mm] $x_1,x_2\in D_g$ [/mm] aus [mm] $|x_2-x_1|<\delta$ [/mm] folgt, dass [mm] $|g(x_2)-g(x_1)|<\delta_1$.
[/mm]
Damit haben wir das benötigte [mm] $\delta [/mm] >0$ gefunden. Denn nun folgt, für alle [mm] $x_1,x_2\in D_g$ [/mm] mit [mm] $|x_2-x_1|<\delta$, [/mm] dass [mm] $|g(x_2)-g(x_1)|<\delta_1$, [/mm] also auch [mm] $|f(g(x_2))-f(g(x_1))|<\varepsilon$, [/mm] was zu zeigen war.
|
|
|
|
