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Hallo,
sei [mm] c\in\IR [/mm] mit c > 0. [mm] f:\IR->\IR
[/mm]
[mm] f(x):=\wurzel{c+x^2}
[/mm]
Wenn ich gleichmäßige Stetigkeit zeigen möchte,
habe ich dann [mm] \delta [/mm] := [mm] \varepsilon^2
[/mm]
richtig gewählt?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Di 20.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> sei [mm]c\in\IR[/mm] mit c > 0. [mm]f:\IR->\IR[/mm]
> [mm]f(x):=\wurzel{c+x^2}[/mm]
>
> Wenn ich gleichmäßige Stetigkeit zeigen möchte,
> habe ich dann [mm]\delta[/mm] := [mm]\varepsilon^2[/mm]
> richtig gewählt?
das kommt drauf an, wie Du abschätzt. Ich würde es so machen:
Es gilt für jedes $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $f\,'(x)=\frac{1}{2*\sqrt{c+x^2}}*2x$
[/mm]
und daher ist [mm] $|f\,'(x)| \le [/mm] 1$ für alle $x$.
Mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung kann man daher folgern:
Aus [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] folgt:
$|f(y)-f(x)| [mm] \le [/mm] 1*|y-x|$
D.h., Du solltest hier einfach [mm] $\delta:=\varepsilon$ [/mm] definieren.
Wenn Du die obigen Überlegungen nicht verstehst, dann frag' ggf. nochmal nach. Bzw. wenn der Mittelwertsatz noch nicht bekannt ist, so gebe ich Dir einfach den folgenden Tipp:
Zeige, dass für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ und alle $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] folgt:
$|f(y)-f(x)| < |y-x|$
Dazu:
O.B.d.A. sei zunächst $y > x [mm] \ge [/mm] 0$. Dann hast Du zu zeigen:
[mm] $(\star)$ $\sqrt{c+y^2}-\sqrt{c+x^2} [/mm] < y-x$
Die Ungleichung [mm] $(\star)$ [/mm] ist aber (da beide Seiten der Ungleichung positiv sind; (I) beachte: Für $0 [mm] \le [/mm] r$ und $0 [mm] \le [/mm] s$ gilt:
$r < s$ [mm] $\gdw$ $r^2 [/mm] < [mm] s^2$) [/mm] äquivalent zu
[mm] $2c+x^2+y^2-2\sqrt{(c+y^2)(c+x^2)} [/mm] < [mm] y^2+x^2-2xy$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $c+xy < [mm] \sqrt{(c+y^2)(c+x^2)}$ [/mm] ist.
Um die letzte Ungleichung einzusehen:
Hier gilt $c+xy > 0$. Nun schau wieder auf (I), dann genügt es, zu zeigen, dass die Ungleichung auch stimmt, wenn man auf beiden Seiten quadriert. Dann forme noch weiterhin ein paar mal äquivalent um, und die Richtigkeit folgt wegen [mm] $(y-x)^2 [/mm] > 0$ für $y > x$.
Und wir haben oben [mm] $(\star)$ [/mm] ja *nur* für $0 [mm] \le [/mm] x < y$ gezeigt (damit hätten wir die gleichmäßige Stetigkeit auf [mm] $[0,\infty)$). [/mm] Die Funktion ist natürlich auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert, d.h., Du musst Dir noch überlegen, wie man die *restlichen Fälle* abklappert.
(Bzw.:
Man sieht so (aus Symmetriegründen) leicht ein, dass die Funktion auch auf [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] glm. stetig ist und wie folgert man damit nun, dass sie auch auf [mm] $(-\infty,\infty)=\IR$ [/mm] glm. stetig ist?)
Jedenfalls:
Selbst, wenn ihr den Mittelwertsatz noch nicht hattet, die sich daraus ergebende Ungleichung läßt sich auch elementar herleiten. Ich habe Dir oben den Anfang dafür vorgegeben, am Ende musst Du noch zwei, drei äquivalente Umformungen dazwischenschieben. Wenn Du irgendwo nicht weiterkommst, dann frage bitte nochmal nach.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Di 20.05.2008 | | Autor: | Somebody |
> Wenn Du die obigen Überlegungen nicht verstehst, dann frag'
> ggf. nochmal nach. Bzw. wenn der Mittelwertsatz noch nicht
> bekannt ist, so gebe ich Dir einfach den folgenden Tipp:
>
> Zeige, dass für jedes [mm]\delta > 0[/mm] und alle [mm]x,y \in \IR[/mm] mit
> [mm]|x-y|<\delta[/mm] folgt:
>
> [mm]|f(y)-f(x)| < |y-x|[/mm]
>
> Dazu:
<snip/>
Ich habe den Eindruck, dass es einfacher (direkter) wäre, den für das Beseitigen von Wurzeln aus einer Differenz üblichen Trick des Erweiterns mit der Summe dieser Wurzeln zu verwenden:
[mm]\left|\sqrt{c+y^2}-\sqrt{c+x^2}\right|=\frac{|y+x|\cdot |y-x|}{\sqrt{c+y^2}+\sqrt{c+x^2}}[/mm]
Nun ist aber (wegen $c>0$): [mm] $\sqrt{c+y^2}+\sqrt{c+x^2}>\max(|y|+|x|,\sqrt{c})$ [/mm] und daher muss
[mm]\frac{|y+x|}{\sqrt{c+y^2}+\sqrt{c+x^2}}\leq \frac{|y|+|x|}{\sqrt{c+y^2}+\sqrt{c+x^2}}< 1[/mm]
sein. Womit die Wahl [mm] $\delta [/mm] := [mm] \varepsilon$ [/mm] begründet ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Di 20.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Somebody,
> > Wenn Du die obigen Überlegungen nicht verstehst, dann frag'
> > ggf. nochmal nach. Bzw. wenn der Mittelwertsatz noch nicht
> > bekannt ist, so gebe ich Dir einfach den folgenden Tipp:
> >
> > Zeige, dass für jedes [mm]\delta > 0[/mm] und alle [mm]x,y \in \IR[/mm] mit
> > [mm]|x-y|<\delta[/mm] folgt:
> >
> > [mm]|f(y)-f(x)| < |y-x|[/mm]
> >
> > Dazu:
> <snip/>
>
> Ich habe den Eindruck, dass es einfacher (direkter) wäre,
> den für das Beseitigen von Wurzeln aus einer Differenz
> üblichen Trick des Erweiterns mit der Summe dieser Wurzeln
> zu verwenden:
>
> [mm]\left|\sqrt{c+y^2}-\sqrt{c+x^2}\right|=\frac{|y+x|\cdot |y-x|}{\sqrt{c+y^2}+\sqrt{c+x^2}}[/mm]
>
> Nun ist aber (wegen [mm]c>0[/mm]):
> [mm]\sqrt{c+y^2}+\sqrt{c+x^2}>\max(|y|+|x|,\sqrt{c})[/mm] und daher
> muss
>
> [mm]\frac{|y+x|}{\sqrt{c+y^2}+\sqrt{c+x^2}}\leq \frac{|y|+|x|}{\sqrt{c+y^2}+\sqrt{c+x^2}}< 1[/mm]
>
> sein. Womit die Wahl [mm]\delta := \varepsilon[/mm] begründet ist.
ja, in der Tat eine gute Idee. Aber wirklich viel *Ersparnis* bringt es nicht, nichtsdestotrotz behält man dabei in der Tat den Überblick viel besser, da man insbesondere sich nicht wirklich Gedanken zu Fallunterscheidungen machen muss 
Das *schnellste* wäre meiner Ansicht nach der MWS, der aber leider (noch) nicht benutzt werden darf...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel, Hallo Somebody,
vielen vielen Dank für Eure Antworten!!
Ich muss das leider ohne Mittelwertsatz zeigen. Meine erste Idee ging
da so in die Richtung von Somebody. Aber irgendwie mache ich da wohl
was falsch?
[mm] |\wurzel{c+x^2}-\wurzel{c+y^2}|=|\bruch{(\wurzel{c+x^2}-\wurzel{c+y^2})(\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2})}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}}|
[/mm]
[mm] =\bruch{|(c+x^2)-(c+y^2)|}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}}
[/mm]
Habe ich da schon einen Fehler?
Gruß,
Anna
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Hallo Anna,
> Hallo Marcel, Hallo Somebody,
>
> vielen vielen Dank für Eure Antworten!!
> Ich muss das leider ohne Mittelwertsatz zeigen. Meine
> erste Idee ging
> da so in die Richtung von Somebody. Aber irgendwie mache
> ich da wohl
> was falsch?
>
> [mm]|\wurzel{c+x^2}-\wurzel{c+y^2}|=|\bruch{(\wurzel{c+x^2}-\wurzel{c+y^2})(\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2})}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}}|[/mm]
> [mm]=\bruch{|(c+x^2)-(c+y^2)|}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Habe ich da schon einen Fehler?
Nein, alles richtig bis hierher.
Wenn du den Zähler weiter zusammenfasst (c hebt sich weg, 3. binom. Formel), kommst du genau auf den Term von Somebody
> Gruß,
> Anna
>
Dito
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
DANKE für Deine Antwort!
Also weiter:
[mm]=\bruch{|(c+x^2)-(c+y^2)|}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}}[/mm]
[mm]=\bruch{|x^2-y^2|}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}}[/mm]
[mm]=\bruch{|(x-y)(x+y)|}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}}[/mm]
[mm]=\bruch{|(x-y)| |(x+y)|}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}}[/mm]
Richtig soweit?
Allerdings verstehe ich nicht, wo im nächsten Schritt von Somebody
das |y-x| geblieben ist?
Gruß,
Anna
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Hallo Anna,
> Hallo schachuzipus,
>
> DANKE für Deine Antwort!
> Also weiter:
> [mm]=\bruch{|(c+x^2)-(c+y^2)|}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{|x^2-y^2|}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{|(x-y)(x+y)|}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{|(x-y)| |(x+y)|}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Richtig soweit?
Jo
> Allerdings verstehe ich nicht, wo im nächsten Schritt von
> Somebody
> das |y-x| geblieben ist?
Er hat es geshrieben als [mm] $\bruch{|(x+y)|}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}} [/mm] \ [mm] \cdot{}|x-y|$ [/mm] und den ersten Teil rausgepickt und als $<1$ abgeschätzt.
Also [mm] $...<1\cdot{}|x-y|=|x-y|$
[/mm]
>
> Gruß,
> Anna
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Di 20.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo schachuzipus,
> Er hat es geshrieben als
> [mm]\bruch{|(x+y)|}{\wurzel{c+x^2}+\wurzel{c+y^2}} \ \cdot{}|x-y|[/mm]
> und den ersten Teil rausgepickt und als [mm]<1[/mm] abgeschätzt.
achso! Klar! Danke!
Gruß,
Anna
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