Gleichmaessige Stetigkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Di 27.01.2009 | | Autor: | SHI |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in [/mm] R mit a<b und f:R->R mit D(f)=[a,b] eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung stetig ist.
(a) Zeigen Sie dass ein L > 0 existiert, so dass dür alle x \ in D(f) gilt: [mm] |f'(x)|\le [/mm] L.
(b) Folgern Sie für alle x,y [mm] \in [/mm] D(f) die Ungleichung |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| gilt.
(c) Beweisen sie nun, dass f gleichmaessig ist. |
zu a denke ich : an jeder Stelle im Intervall ist die Funktion ja ableitbar. Wie soll man nun die Zahl beweisen dass sie immer größer gleich dem Betrag Tangentensteigung im jeden Punkt ist. ???
b keine Ahnung irgedwie das sieht nach dem epsilon delta krietrium aus
c mit epsilon delta kriterium kann ich beweisen dass epsilon nur von delta abhängt.
Ich habe leider keine Ahnung wie man die Aufgabe angeht, oder mathematisch lösen kann.
Grüsse und Danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Di 27.01.2009 | | Autor: | pelzig |
a) Die Menge $M:=[a,b]$ ist kompakt, deshalb nimmt die stetige Funktion $|f'|$ darauf ein Maximum $L$ an, d.h. es gilt [mm] $|f'(x)|\le [/mm] L$ für jedes [mm] $x\in [/mm] M$
b) Nach dem Mittelwertsatz ist für beliebige [mm] $x,y\in[a,b]$ $$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\le |f'(\xi)|\le L\text{ für ein }\xi\text{ zwischen }x\text{ und }y$$ [/mm] c) [mm] $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|\le\varepsilon$ [/mm] für [mm] $|x-y|\le\varepsilon/L$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Di 27.01.2009 | | Autor: | SHI |
Okay, Danke schon mal für deine Überlegungen.
Kann ich das bei der (a) einfach so hinschreiben wie du, man weis ja das steige Funktionen ihr Minimum und Maximum auf abgeschlossen Intervallen haben. L ist doch irgend eine Zahl ?
ZU (b) wenn ich mir da zwei Werte aus dem Intervall rauspicke dort die Tangentensteigung bilde,bedeutet das dann das die Ableitung an einer Stelle zwischen x und y immer groesser gleich der Tangentensteigung über x,y,ist. Kann man das auch so stehen lassen wie es dort steht ?
zu (c): Hmm ich kann nicht so gut erkennen wieso das gleichmaessig stetig ist, kann ich so umformen dass ich dann habe |f(x)-f(y)|/|x-y| [mm] \le \varepsilon/L [/mm] ?. Wenn ja wieso ist das dann gelichmaessig stetig.
Oder setzt man |f(x)-f(y)| [mm] \le \varepsilon [/mm] und [mm] |x-y|\le \varepsilon/L [/mm] , wie erkenne ich soszusagen anschaulich warum hier gleichmaessige Stetigkeit vorliegt ? delta hängt ja nur von epsilion ab nach der Definition. Kannste mir das noch mal bittte anschaulich erklären ?
Vielen stetigen Dank im Voraus.
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Di 27.01.2009 | | Autor: | pelzig |
> Kann ich das bei der (a) einfach so hinschreiben wie du,
> man weis ja das steige Funktionen ihr Minimum und Maximum
> auf abgeschlossen Intervallen haben.
Erstens gilt obiges nur auf kompakten Mengen, Abgeschlossenheit reicht nicht und zweitens woher soll ich wissen, was du "einfach so hinschreiben darfst" und was nicht? Das hängt ebend davon ab was ihr in der VL schon so hattet.
> L ist doch irgend eine Zahl ?
Richtig.
> ZU (b) wenn ich mir da zwei Werte aus dem Intervall
> rauspicke dort die Tangentensteigung bilde,bedeutet das
> dann das die Ableitung an einer Stelle zwischen x und y
> immer groesser gleich der Tangentensteigung über x,y,ist.
Nein, der Mittelwertsatz sagt, dass die Sekantensteigung (das meinst du vermutlich mit Tangentensteigung?!) bei x und y GLEICH der Ableitung an einer (unbekannten) Stelle [mm] $\xi$ [/mm] zwischen x und y ist.
> zu (c): Hmm ich kann nicht so gut erkennen wieso das
> gleichmaessig stetig ist, kann ich so umformen dass ich
> dann habe |f(x)-f(y)|/|x-y| [mm]\le \varepsilon/L[/mm] ?. Wenn ja
> wieso ist das dann gelichmaessig stetig.
Hä?
> Oder setzt man |f(x)-f(y)| [mm]\le \varepsilon[/mm] und [mm]|x-y|\le \varepsilon/L[/mm]
> , wie erkenne ich soszusagen anschaulich warum hier
> gleichmaessige Stetigkeit vorliegt ? delta hängt ja nur von
> epsilion ab nach der Definition. Kannste mir das noch mal
> bittte anschaulich erklären ?
Ich habe gezeigt: Für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta=\delta(\varepsilon)$, [/mm] nämlich [mm] $\varepsilon/L$, [/mm] sodass gilt: [mm] $|x-y|\le \delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|\le\varepsilon$. [/mm] Das ist die Definition von gleichmäßiger Stetigkeit.
Gruß, Robert
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