Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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> Hallo zusammen!
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> Ich habe eine Frage zur gleichmäßigen Stetigkeit.
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> Also das Prinzip hab ich denke ich verstanden.
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> Und bei Wiki gibt es ja das Beispiel, dass die Funktion
> [mm]f:\IR\to\IR^+[/mm] , [mm]f(x)=x^2[/mm] nicht gleichmäßig stetig ist.
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> ![[]](/images/popup.gif) Wiki - Gleichmäßige Stetigkeit - Beispiel
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> Meine erste Frage:
> Was ist, wenn Die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm] ganz [mm]\IR[/mm] als
> Zielbereich hat und nicht nur [mm]\IR^+[/mm] , ist [mm]f(x)=x^2[/mm] dann
> immer noch nicht gleichmäßig stetig?
Hallo,
genau.
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> Meine zweite Frage:
> In dem Beispiel-Abschnitt bei Wiki steht ja, dass jede
> Einschränkung von f auf ein kompaktes Intervall
> gleichmäßig stetig ist.
> Das verstehe ich nicht.
Der Grund ist im Beispiel angegeben.
Wenn Du sagst: die Funktionswerte von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sollen nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] auseinanderliegen, so findest Du im kompakten Intervall einen passenden Abstand [mm] \delta [/mm] so, daß für sämtliche [mm] x_1,x_2 [/mm] des gesamten Intervalls, die nicht weiter als [mm] \delta [/mm] auseinanderliegen, die Funktionswerte [mm] f(x_1) [/mm] und [mm] f(x_2) [/mm] nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] auseinanderliegen.
Betrachtest Du nun f(x)=x² über [mm] \IR, [/mm] so siehst Du, daß für beliebig dicht zusammenliegende x-Werte die Funktionswerte immer weiter auseinanderliegen, je weiter man nach rechts geht.
> Wenn ich jetzt [mm]f(x)=x^2[/mm] im Definitionsbereich auf ein
> kompaktes Intervall einschränke, z.B. auf das Intervall
> [0;20], da wird [mm]x^2[/mm] doch nicht plötzlich gleichmäßig
> stetig.
Doch. Weil (ich sag's jetzt einfach mal so:) die Steilheit des Graphen innerhalb des Intervalls beschränkt ist.
Gruß v. Angela
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
