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Hallo!
Kann mir jemand anhand folgendenden Beispiels zeigen, was wie man die gleichmässige resp. die nicht gleichmässige Stetigkeit zeigt??
Bsp.:
x [mm] \mapsto [/mm] 1/x auf (0,1)
Die Definition der gleichmässigen Stetigkeit ist ja:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] D: [mm] (|x-x'|)<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x')|<\varepsilon [/mm]
Die Umkehrung davon lautet:
[mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall \delta [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x,y [mm] \in [/mm] D: [mm] (|x-x'|)<\delta \wedge |f(x)-f(x')|\ge\varepsilon
[/mm]
Wie kann ich nun vorgehen???
Danke für eure Hilfe!
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Sa 30.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Anleitung:
Nimm an, f wäre glm. stetig. Zu [mm] \varepsilon [/mm] =1 ex. dann ein [mm] \delta [/mm] >0 mit der einschlägigen Eigenschaft.
Nimm x in (0,1) und setze x'=x [mm] +\delta/2
[/mm]
Berechne damit konkret |f(x)-f(x')|
Dann gilt also |f(x)-f(x')|<1
Nun lasse mal x gegen 0 gehen.
FRED
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Hallo Fred
Wieso wählst du denn [mm] \varepsilon=1?? [/mm] Könnte das auch 2 oder 0.5 oder so sein?? Und wieso wählst du [mm] x'=x+\delta/2?Könnte [/mm] ich dies auch anders wählen??
Und |f(x)-f(x')| = | [mm] (1/x)-(1/(x+\delta/2)|, [/mm] wie soll ich dies nun konkret berechnen und wiso folgt dann, dass dies kleiner ist als [mm] \varepsilon. [/mm] Und wieso muss ich nun das ganze gegen 0 gehen lassen (Davon steht ja nichts in der Definition!???)???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Sa 30.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
>
f ist nicht glm. stetig auf (0,1) ! Deswegen Wideerspruchsbeweis
> Wieso wählst du denn [mm]\varepsilon=1??[/mm] Könnte das auch 2
> oder 0.5 oder so sein?? Und wieso wählst du
> [mm]x'=x+\delta/2?Könnte[/mm] ich dies auch anders wählen??
> Und |f(x)-f(x')| = | [mm](1/x)-(1/(x+\delta/2)|,[/mm] wie soll ich
> dies nun konkret berechnen und wiso folgt dann, dass dies
> kleiner ist als [mm]\varepsilon.[/mm] Und wieso muss ich nun das
> ganze gegen 0 gehen lassen (Davon steht ja nichts in der
> Definition!???)???
Antwort auf all diese Fragen: weil der Widerspruchsbeweis damit funktioniert
FRED
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